22.1.1 二次函數主備人：陳艷寧 復核人： 年級：九年級上冊【學習目標】1、了解二次函數的有關概念2、會確定二次函數關系式中各項的系數。3、確定實際問題中二次函數的關系式。【學習重難點】 1、會確定二次函數關系式中各項的系數。2、確定實際問題中二次函數的關系式。【學習過程】一、知識鏈接： 獨學對學展示質疑（補充）點評1、若在一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值， y都有唯一的值與它對應，那么就說y是x的 ，x叫做 。2、形如的函數是一次函數，當時，它是 函數；形如 的函數是反比例函數。二、知識準備：獨學群學展示質疑（補充）點評1、二次函數定義：一般地，形如 ，（ ，該式稱為一般式）的函數為二次函數。其中是自變量，是_，b是_，c是_思考：1、二次項系數為什么不等于0？2、一次項系數和常數項可以為0嗎？三、合作交流：獨學對（群）學展示質疑（補充）點評例1、下列函數中哪些是二次函數？哪些不是？若是二次函數，指出a、b、c（1）y=1-3x2； （2）y=x(x-5)； （3）y=3x(2-x)+3x2；例2、用16m長的籬笆圍成長方形圈養小兔，圈的面積y()與長方形的長x(m)之間的函數關系式為 。它是 函數。四、當堂訓練： 獨學對（群）學展示質疑（補充）點評1、觀察：；y200x2400x200；這六個式子中二次函數有 。（只填序號）2、若 是二次函數，則m _若 是二次函數，則m的值為_3、若物體運動的路段s（米）與時間t（秒）之間的關系為，則當t4秒時，該物體所經過的路程為 。4、二次函數當x2時，y3，則這個二次函數解析式為 5、為了改善小區環境，某小區決定要在一塊一邊靠墻（墻長25m）的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍住（如圖）若設綠化帶的BC邊長為x m，綠化帶的面積為y m2求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍22.1.2二次函數的圖象主備人：陳艷寧 復核人： 年級：九年級上冊【學習目標】1知道二次函數的圖象是一條拋物線；2會畫二次函數yax2的圖象；3掌握二次函數yax2的性質，并會靈活應用。（重點）【學習重難點】1、會畫二次函數yax2的圖象；2、掌握二次函數yax2的性質，并會靈活應用。【學習過程】一、知識鏈接：獨學對學展示補充點評1、畫一個函數圖象的一般過程是 ； ； 。2、一次函數的圖象是一條 ；反比例函數的圖象是 .3、二次函數的一般形式為： 二、合作學習：獨學對（群）學展示質疑（補充）點評（一）畫二次函數yx2的圖象列表：x3210123yx2（3）在圖（3）中描點，并連線（1）（2）1.思考：圖（1）和圖（2）中的連線正確嗎？為什么？連線中我們應該注意什么？答：2.歸納： 由圖象可知二次函數的圖象是一條曲線，它的形狀類似于投籃球時球在空中所經過的路線，即拋出物體所經過的路線，所以這條曲線叫做 線； 叫做拋物線的頂點。拋物線是軸對稱圖形，對稱軸是 ；的圖象開口_； 與 的交點叫做拋物線的頂點。拋物線的頂點坐標是 ；它是拋物線的最 點（填“高”或“低”），即當x=0時，y有最 值等于0.拋物線在對稱軸的左側，圖象從左往右呈 趨勢，在對稱軸的右側，圖象從左往右呈 趨勢；即0時，隨的增大而 。（二）例1在圖（4）中，畫出函數，的圖象解：列表：x432101234x2-1.51-0.500.511.52（4）歸納：拋物線，的圖象的形狀都是 ；二次項系數_0；開口都 ；對稱軸都是_或x=_；頂點都是_；頂點都是拋物線的最_點（填“高”或“低”） ，a越大，拋物線的開口越 例2 請在圖（4）中畫出函數，的圖象列表：x-4-3-2-101234x3210123x2-1.51-0.500.511.52歸納：拋物線，的的圖象的形狀都是 ；二次項系數_0；開口都 ；對稱軸都是_或x=_；頂點都是_；頂點都是拋物線的最_點（填“高”或“低”） ，a越大，拋物線的開口越 三、合作交流：獨學對（群）學展示質疑（補充）點評歸納：1.拋物線的性質圖象（草圖）開口方向對稱軸頂點有最高(低)點增減性最值0當x0時，y隨著x的增大而 當x_時，y有最_值，是_0當x0時，y隨著x的增大而 當x_時，y有最_值，是_2當0時，越大，拋物線的開口越_；當0時， 越大，拋物線的開口越_；因此，越大，拋物線的開口越_。四、當堂訓練：獨學對（群）學展示質疑（補充）點評1函數的圖象開口向_，對稱軸是_，頂點是_；當x_時，有最_值是_2. 函數的圖象開口向_，對稱軸是_，頂點是_；當x_時，有最_值是_3. 二次函數的圖象開口向下，則m_當m= 時，拋物線開口向下4. 二次函數ymx有最高點，則m_5. 二次函數y(k1)x2的圖象如右圖所示，則k的取值范圍為_6.已知拋物線y=ax2開口向下，且|a|=3，則a= .7若二次函數的圖象過點（1，2），則的值是_8點（1，y1）、（2，y,2）在拋物線上，則y1 、y,2的大小關系是： 9點A（，b）是拋物線上的一點，則b= ；10函數具有的共同性質有： ； 11. 寫出一個二次函數關系式，它的圖像開口向下，頂點在原點，這函數關系式為： 12.二次函數與直線交于點P（1，b）（1）求a、b的值；（2）寫出二次函數的關系式，并指出x取何值時，該函數的y隨x的增大而減小22.1.3二次函數的圖象（一）主備人：陳艷寧 復核人： 年級：九年級上冊【學習目標】1、知道二次函數與的聯系； 2、掌握二次函數的性質，并會應用。【學習重難點】1、掌握二次函數的性質，并會應用。【學習過程】一、知識鏈接：獨學對學展示點評1、直線可以看做是由直線向 得到的。2、若一個一次函數的圖象是由平移得到，并且過點（-1,3），求這個函數的解析式。3、二次函數的圖像是一條 ，當0時，拋物線開口 ，當 0時，拋物線開口 ，拋物線的頂點是 ，對稱軸是 。二、合作探究 猜想：二次函數與的圖象之間又有何關系嗎？（一）在同一直角坐標系中，畫出二次函數，的圖象獨學對（群）學展示質疑（補充）點評1.填表：x3210123開口方向頂點對稱軸有最高（低）點最值當x_時，y有最_值，是_當x_時，y有最_值，是_當x_時，y有最_值，是_2可以發現，把拋物線向_平移_個單位，就得到拋物線；把拋物線向_平移_個單位，就得到拋物線.3拋物線，的形狀_開口大小 。（二）歸納：1、拋物線的性質圖象（草圖）開口方向對稱軸頂點有最高(低)點增減性最值0當x0時，y隨著x的增大而 當x_時，y有最_值，是_0當x0時，y隨著x的增大而 當x_時，y有最_值，是_2、拋物線與形狀相同，位置不同，是由向 平移得到的。（填上下或左右）二次函數圖象的平移規律：上 下 。3、的正負決定開口的 ；決定開口的 ，即不變，則拋物線的形狀 。因為平移沒有改變拋物線的開口方向和形狀，所以平移前后的兩條拋物線值 。三、當堂訓練：1拋物線向上平移3個單位，就得到拋物線_；拋物線向下平移4個單位，就得到拋物線_2拋物線向上平移3個單位后的解析式為 ，它們的形狀_，當= 時，有最 值是 。3寫出一個頂點坐標為（0，3），開口方向與拋物線的方向相反，形狀相同的拋物線解析式_4拋物線的對稱軸是直線 ，當x_時，y有最_值，是_5拋物線有A（1，y1）和B（3，y2）兩點，則y1 y2（填“”）6二次函數的經過點A（1，-1）、B（2，5）.求該函數的表達式；若點C(-2，),D（，7）也在函數的上，求、的值。22.1.3二次函數的圖象（二）主備人：陳艷寧 復核人： 年級：九年級上冊【學習目標】1、會畫二次函數的圖象；2、知道二次函數與的聯系；3、掌握二次函數的性質，并會應用。【學習重難點】1、知道二次函數與的聯系；2、掌握二次函數的性質，并會應用。【學習過程】一、知識回顧：獨學對學展示質疑（補充）點評1、將二次函數的圖象向上平移2個單位，所得圖象的解析式為 。2、將拋物線的圖象向下平移3個單位后的拋物線的解析式為 。3、二次函數圖象上、下平移的規律：上 下 。4、拋物線的頂點坐標是 ；對稱軸是 。二、合作探究：獨學對（群）學展示質疑（補充）點評1、畫出二次函數，的圖象；先列表：432101234歸納：（1）的開口向 ，對稱軸是直線 ，頂點坐標是 。圖象有最 點，即= 時，有最 值是 ；在對稱軸的左側，即 時，隨的增大而 ；在對稱軸的右側，即 時隨的增大而 。 可以看作由向 平移 個單位形成的。（2）的開口向 ，對稱軸是直線 ，頂點坐標是 ， 圖象有最 點，即= 時，有最 值是 ；在對稱軸的左側，即 時，隨的增大而 ；在對稱軸的右側，即 時隨的增大而 。可以看作由向 平移 個單位形成的。三、知識梳理：獨學對（群）學展示質疑（補充）點評（一）拋物線特點：1.當時，開口向 ；當時，開口 ；2. 頂點坐標是 ；3. 對稱軸是直線 。（二）拋物線與形狀相同，位置不同，是由 平移得到的。（填上下或左右）結合學案和課本第33-34頁可知二次函數圖象的平移規律：左 右 ，上 下 。（三）的正負決定開口的 ；決定開口的 ，即不變，則拋物線的形狀 。因為平移沒有改變拋物線的開口方向和形狀，所以平移前后的兩條拋物線值 。四、課堂訓練：獨學對（群）學展示質疑（補充）點評1拋物線的開口_；頂點坐標為_；對稱軸是直線_；當 時，隨的增大而減小；當 時，隨的增大而增大。2. 拋物線的開口_；頂點坐標為_；對稱軸是直線_；當 時，隨的增大而減小；當 時，隨的增大而增大。3. 拋物線的開口_；頂點坐標為_；對稱軸是_；4.拋物線向右平移4個單位后，得到的拋物線的表達式為_5. 拋物線向左平移3個單位后，得到的拋物線的表達式為_6將拋物線向右平移1個單位后，得到的拋物線解析式為_7拋物線與y軸的交點坐標是_，與x軸的交點坐標為_8. 寫出一個頂點是（5，0），形狀、開口方向與拋物線都相同的二次函數解析式_22.1.3二次函數的圖象（三）主備人：陳艷寧 復核人： 年級：九年級上冊【學習目標】1、會畫二次函數的頂點式的圖象；2、掌握二次函數的性質；【學習重難點】1、掌握二次函數的性質。【學習過程】一、知識鏈接：獨學對學展示質疑（補充）點評1、二次函數圖象的平移規律：上 下 ，左 右 。2、將二次函數的圖象向上平移2個單位，所得圖象的解析式為 。3、將拋物線的圖象向左平移3個單位后的拋物線的解析式為 。4、拋物線開口方向是 ，頂點坐標為 ，對稱軸為 ；拋物線頂點坐標為 ，對稱軸為 ；拋物線頂點坐標為 ，對稱軸為 。二、合作探究：獨學對（群）學展示質疑（補充）點評在右圖中做出的圖象：觀察：1、 拋物線開口向 ；頂點坐標是 ；對稱軸是直線 。2、拋物線和的形狀 ，位置 。（填“相同”或“不同”）3、拋物線是由如何平移得到的？答： 。三、知識梳理：獨學對學展示質疑（補充）點評結合上圖和課本第36頁例3歸納：（一）拋物線的特點：1、當時，開口向 ；當時，開口 ；2、對稱軸是直線 ；3.頂點坐標是 。（二）拋物線與形狀 ，位置不同，是由平移得到的。（三）平移前后的兩條拋物線值 。四、當堂訓練：獨學對（群）學展示質疑（補充）點評1、二次函數的圖象可由的圖象（ ）A.向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到 B.向左平移1個單位，再向上平移2個單位得到C.向右平移1個單位，再向下平移2個單位得到 D.向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到2、拋物線開口 ，頂點坐標是 ，對稱軸是 ，當x 時，y有最 值為 。開口方向頂點對稱軸最值3、填表：4、函數的圖象可由函數的圖象沿x軸向 平移 個單位，再沿y軸向 平移 個單位得到。5、若把函數的圖象分別向下、向左移動2個單位，則得到的函數解析式為 。6、頂點坐標為（2，3），開口方向和大小與拋物線相同的解析式為（ ）A B CD7、一條拋物線的形狀、開口方向與拋物線相同，對稱軸和拋物線相同，且頂點縱坐標為0，求此拋物線的解析式.8、二次函數和的圖像的關系如下圖所示，請利用“平移”知識把下圖補充完整。 的圖像的圖像的圖像的圖像（ ）（ ）（ ）（ ） 22.1.3二次函數的圖象（四）主備人：陳艷寧 復核人： 年級：九年級上冊【學習目標及學習重難點】會用二次函數的性質解決問題；【學習過程】一、知識鏈接：獨學對學展示質疑（補充）點評1、拋物線開口向 ，頂點坐標是 ，對稱軸是 ，當x 時，y有最 值為 。當 時，隨的增大而增大.2、拋物線是由如何平移得到的？答： 。二、合作探究：獨學對（群）學展示質疑（補充）點評1、拋物線的頂點坐標為（2，-3），且經過點（3,2）求該函數的解析式？分析：如何設函數解析式？寫出完整的解題過程。2、仔細閱讀課本第36頁例4：分析：由題意可知：池中心是點 ，水管是線段 ，點 是噴頭，線段 的長度是1米，線段 的長度是3米。轉化成數學問題即為已知拋物線的頂點坐標為（ ， ）及拋物線與x軸的交點坐標為（ ， ），求拋物線與y軸交點點A的 坐標。解：設拋物線的解析式為 ，根據題意得三、當堂訓練：獨學對（群）學展示質疑（補充）點評1、如圖，某隧道橫截面的上下輪廓線分別由拋物線對稱的一部分和矩形的一部分構成，最大高度為6米，底部寬度為12米. AO= 3米，現以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系.(1) 直接寫出點A及拋物線頂點P的坐標；(2) 求出這條拋物線的函數解析式；2、如圖拋物線與軸交于A,B兩點，交軸于點D，拋物線的頂點為點C。（1）求ABD的面積。（2）求ABC的面積。22.1.4二次函數的圖象主備人：陳艷寧 復核人： 年級：九年級上冊【學習目標】1、能通過配方把二次函數化成的形式，從而確定開口方向、對稱軸和頂點坐標。2、熟記二次函數的頂點坐標公式；3、會畫二次函數一般式的圖象【學習重難點】1、會通過配方把二次函數化成的形式；2、熟記二次函數的頂點坐標公式。【學習過程】一、知識鏈接：獨學對學展示質疑（補充）點評1、拋物線的頂點坐標是 ；對稱軸是直線 ；當= 時有最 值是 ；當 時，隨的增大而增大；當 時，隨的增大而減小。2、二次函數解析式中，很容易確定拋物線的頂點坐標為 ，所以這種形式被稱作二次函數的頂點式。3、用配方法解一元二次方程的一般步驟為： 。一元二次方程配方后得： 。二、合作探究：（一）、問題：獨學群學展示質疑（補充）點評（1）一元二次方程配方后可變為。所以二次函數可以寫成： 。則的頂點坐標是 ，對稱軸是 。（2）像這樣我們可以把一個一般形式的二次函數用 的方法轉化為 式從而直接得到它的圖像性質。（3）用配方法把下列二次函數化成頂點式： （4）歸納：二次函數的一般形式可以用配方法轉化成頂點式： 。因此，拋物線的頂點坐標是 ；對稱軸是 。（5）用頂點坐標和對稱軸公式也可以直接求出拋物線的頂點坐標和對稱軸，這種方法叫做公式法。（6）用公式法寫出下列拋物線的對稱軸和頂點坐標。 （二）、用描點法畫出的圖像. 獨學群學展示質疑（補充）點評（1）列表（2）描點，并連線。 （3）觀察：圖象開口向 ，對稱軸是 ，有最 點，即= 時，有最 值是 即頂點坐標為（ ， ）； 時，隨的增大而增大； 時，隨的增大而減小。該拋物線與軸交于點 。該拋物線與軸有 個交點.三、歸納解析式開口方向頂點坐標對稱軸有最高(低)點最大（小）值增減性yax2000000000022.1.5用待定系數法求二次函數的解析式 *主備人：陳艷寧 復核人： 年級：九年級上冊【學習目標】1.能根據已知條件選擇合適的二次函數解析式；2.會用待定系數法求二次函數的解析式。【學習重難點】1、會用待定系數法求二次函數的解析式。【學習過程】一、知識鏈接：獨學對學展示質疑（補充）點評1、二次函數的一般式為： ，頂點式為： 。2、二元一次方程組的消元方法有： 。3、一次函數經過點A(-1，2)和點B(2，5)，求該一次函數的解析式。分析：要求出函數解析式，需求出k，b的值，因為有兩個待定系數，所以需要知道兩個點的坐標，列出關于k，b的二元一次方程組即可。解：二、合作探究：獨學群學展示質疑（補充）點評例1、已知一個二次函數的圖像過（0,-3）、（4,5）、（-1,0）三點，求這個函數的解析式。分析：如何設函數解析式，頂點式還是一般式？答： ；所設解析式中有 個待定系數，它們分別是 ，所以一般需要 個點的坐標；請你寫出完整的解題過程。解：設這個二次函數的解析式為由條件得解得二次函數的解析式為對應習題：已知一個二次函數的圖象過（1，5）、（）、（2，11）三點，求這個二次函數的解析式。例2、已知二次函數的圖像頂點為（1，-4）， 并經過點（0，-3），求此二次函數的解析式。分析：有頂點坐標，又過任意一點，如何設函數解析式？頂點式還是一般式？ 。解：設二次函數的解析式為 。由條件得點（0，-3）在拋物線上，所以 ，得 。所以所求的二次函數的解析式為 。變式訓練：已知一個二次函數的圖像過點（0，-3），（4，5），對稱軸為直線x=1，求這個函數的解析式。分析：設所求的二次函數的解析式為，將（0，-3）和（4，5）代入，求出a，k即可。也可以運用公式小結：已知頂點坐標（h，k）或對稱軸方程x=h和最值k時，優先選用頂點式。三、知識歸納用待定系數法求二次函數的解析式通常用以下2種方法：設頂點式和一般式。1已知拋物線過三點，通常設函數解析式為 ； 2已知拋物線頂點坐標及一點，通常設函數解析式為 。四、當堂訓練：獨學群學展示質疑（補充）點評1已知二次函數的圖象的頂點坐標為（2，3），且圖像過點（3，1），求這個二次函數的解析式2已知二次函數的圖象過點（1，2），則的值為_3一個二次函數的圖象過（0，1）、（1,0）、（2，3）三點，求這個二次函數的解析式。22.2二次函數與一元二次方程主備人：陳艷寧 復核人： 年級：九年級上冊【學習目標及學習重難點】1、 體會二次函數與一元二次方程之間的聯系；2、 理解二次函數圖象與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系。【學習過程】一、知識鏈接：獨學對學展示質疑（補充）點評1、x軸上的點的坐標特點為縱坐標為 ；y軸上的點的坐標特點為橫坐標為 。2、直線與軸交于點 ，與軸交于點 。3、一元二次方程，當 時，方程有兩個不相等的實數根；當 時，方程有兩個相等的實數根；當 時，方程沒有實數根；4、解下列方程（1） （2） （3）4、觀察二次函數的圖象，寫出它們與軸的交點坐標：函數圖象交點與軸交點坐標是 與軸交點坐標是 與軸交點坐標是 3.對比第1題各方程的解，你發現什么？ 三、知識梳理：獨學群學展示質疑（補充）點評一元二次方程的實數根就是對應的二次函數與軸交點的 .（即把代入）二次函數與一元二次方程的關系如下：（一元二次方程的實數根記為）二次函數與一元二次方程 與軸有 個交點 0，方程有 的實數根與軸有 個交點；這個交點是 點 。 0，方程有 實數根與軸有 個交點 0，方程 實數根.二次函數與軸交點坐標是 .四、當堂訓練：獨學群學展示質疑（補充）點評1、二次函數，當1時，_；當0時，_2、拋物線與軸的交點坐標是 ，與軸的交點坐標是 ；3、二次函數，當_時，3（4） （8）4、如圖，一元二次方程的解為 ，不等式的解集為_。5、已知拋物線的頂點在x軸上，則_6、已知拋物線與軸有兩個交點，則的取值范圍是_7、如圖，根據圖象填空：（1）_0； （2） 0； （3） 0； （4） 0 ；(5) ； （6）。22.3復習二次函數解析式的求法主備人：陳艷寧 復核人： 年級：九年級上冊學習目標及學習重難點： 1、復習用待定系數法求已知圖象上三個點坐標的二次函數的關系式。2、使學生掌握已知拋物線的頂點坐標或對稱軸等條件求出函數的關系式。3、能根據不同條件選擇不同的方法求二次函數的關系式。學習過程：一、知識準備：獨學對學展示質疑（補充）點評1、求二次函數的關系式，常見的類型有： (1)一般式： (2)頂點式： ，其頂點是( ， )；2、用待定系數法求已知三點坐標的二次函數關系式的一般步驟為：（1）設函數解析式為： ；（2）把已知三點坐標代入解析式組成方程組；（3）解方程組；（4）下結論。3、二次函數yax2bxc的對稱軸是直線 ，頂點坐標是 ； 二、合作探究：獨學群學展示質疑（補充）點評例1、已知二次函數的圖象經過A(0，1)，B(1，3)，C(1，1），求二次函數的關系式。解：設二次函數的關系式為 ，根據題意得：解之得二次函數的解析式為例2、已知一個二次函數的圖象過點(0，1)，它的頂點坐標是(8，9)，求這個二次函數的關系式。 分析：這個二次函數的圖象頂點坐標是(8，9)，因此，可以設函數關系式為： ，由于二次函數的圖象過點(0，1)，將(0，1)代入所設函數關系式，即可求出a的值。解：例3、已知拋物線對稱軸是直線x2，且經過(3，1)和(0，5)兩點，求二次函數的關系式。解：設所求二次函數的關系式為ya(x2)2k，由于二次函數的圖象經過( ， )和( ， )兩點，可以得到 解這個方程組，得： 所以，所求二次函數的關系式為y2(x2)23，即y2x28x5。例4、已知拋物線的頂點是(2，4)，它與y軸的一個交點的縱坐標為4，求函數的關系式。 分析：拋物線與y軸的一個交點的縱坐標為4，所以拋物線過點( ， )，又因為拋物線的頂點是(2，4)，所以可通過二次函數頂點式求函數的關系式。解：設所求的函數關系式為 ，依題意，得所求二次函數的關系式為 ，即 。例5、已知二次函數當x3時，有最大值1，且當x0時，y3，求二次函數的關系式。解：設二次函數關系式為ya(xh)2k，依題意得： 。 因為二次函數圖象過點( ， )，所以有 解得a所以，所求二次函數的關系為 ，即yx2x3歸納：已知二次函數的最大值或最小值，就是已知該函數的 坐標，進而可應用頂點式求函數關系式。三、當堂訓練：獨學群學展示質疑（補充）點評1、已知二次函數yx2pxq的圖象的頂點坐標是