帶電粒子在磁場中運動的極值和多解問題 1 解決此類問題的關鍵是 找準臨界點 2 找臨界點的方法是 以題目中的 恰好 最大 最高 至少 等詞語為突破口 借助半徑R和速度v 或磁場B 之間的約束關系進行動態運動軌跡分析 確定軌跡圓和邊界的關系 找出臨界點 然后利用數學方法求解極值 3 常用結論如下 1 剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切 2 當速度v一定時 弧長 或弦長 越長 圓周角越大 則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長 3 當速率v變化時 圓周角越大 運動時間越長 考點一帶電粒子在勻強磁場中的運動的極值問題 如圖所示 無重力空間中有一恒定的勻強磁場 磁感應強度的方向垂直于xOy平面向外 大小為B 沿x軸放置一個垂直于xOy平面的較大的熒光屏 P點位于熒光屏上 在y軸上的A點放置一放射源 可以不斷地沿平面內的不同方向以大小不等的速度放射出質量為m 電荷量 q的同種粒子 這些粒子打到熒光屏上能在屏上形成一條亮線 P點處在亮線上 已知OA OP l 求 1 若能打到P點 則粒子速度的最小值為多少 2 若能打到P點 則粒子在磁場中運動的最長時間為多少 例1 如圖所示 一帶電質點 質量為m 電量為q 以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區域 為了使該質點能從x軸上的b點以垂直于Ox軸的速度v射出 可在適當的地方加一個垂直于xy平面 磁感應強度為B的勻強磁場 若此磁場僅分布在一個圓形區域內 試求這圓形磁場區域的最小半徑 重力忽略不計 若磁場為矩形 或正三角形又如何 求圓形磁場最小半徑 關鍵在于 找到射入點和射出點 并畫出運動軌跡 考點二帶電粒子在磁場中運動的多解問題帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動 由于多種因素的影響 使問題形成多解 多解形成原因一般包含下述幾個方面 1 帶電粒子電性不確定受洛倫茲力作用的帶電粒子 可能帶正電 也可能帶負電 當粒子具有相同速度時 正 負粒子在磁場中運動軌跡不同 導致多解 如圖5所示 帶電粒子以速率v垂直進入勻強磁場 若帶正電 其軌跡為a 若帶負電 其軌跡為b AC 圖8 例如圖所示 在NOQ范圍內有垂直于紙面向里的勻強磁場 在MOQ范圍內有垂直于紙面向外的勻強磁場 M O N在一條直線上 MOQ 60 這兩個區域磁場的磁感應強度大小均為B 離子源中的離子帶電荷量為 q 質量為m 通過小孔O1進入兩板間電壓為U的加速電場區域 可認為初速度為零 離子經電場加速后由小孔O2射出 再從O點進入磁場區域 此時速度方向沿紙面垂直于磁場邊界MN 不計離子的重力 1 若加速電場兩板間電壓U U0 求離子進入磁場后做圓周運動的半徑R0 2 在OQ上有一點P P點到O點距離為L 若離子能通過P點 求加速電壓U和從O點到P點的運動時間 方法技巧 求解帶電粒子在磁場中運動多解問題的技巧 1 分析題目特點 確定題目多解性形成原因 2 作出粒子運動軌跡示意圖 全面考慮多種可能性 3 若為周期性重復的多解問題 尋找通項式 若是出現幾種解的可能性 注意每種解出現的條件 如圖甲所示 M N為豎直放置彼此平行的兩塊平板 板間距離為d 兩板中央各有一個小孔O O 正對 在兩板間有垂直于紙面方向的磁場 磁感應強度隨時間的變化如圖乙所示 設垂直紙面向里的磁場方向為正方向 有一群正離子在t 0時垂直于M板從小孔O射入磁場 已知正離子質量為m 帶電荷量為q 正離子在磁場中做勻速圓周運動的周期與磁感應強度變化的周期都為T0 不考慮由于磁場變化而產生的電場的影響 不計離子所受重力 求 1 磁感應強度B0的大小 2 要使正離子從O 孔垂直于N板射出磁場 正離子射入磁場時的速度v0的可能值 圖18 圖17 例3可控熱核聚變反應堆產生能的方式和太陽類似 因此 它被俗稱為 人造太陽 熱核反應的發生 需要幾千萬度以上的高溫 然而反應中的大量帶電粒子沒有通常意義上的容器可裝 人類正在積極探索各種約束裝置 磁約束托卡馬克裝置就是其中一種 如圖15所示為該裝置的簡化模型 有一個圓環形區域 區域內有垂直紙面向里的勻強磁場 已知其截面內半徑為R1 1 0m 磁感應強度為B 1 0T 被約束粒子的比荷為q m 4 0 107C kg 該帶電粒子從中空區域與磁場交界面的P點以速度v0 4 0 107m s沿環的半徑方向射入磁場 不計帶電粒子在運動過程中的相互作用 不計帶電粒子的重力 1 為約束該粒子不穿越磁場外邊界 求磁場區域的最小外半徑R2 2 若改變該粒子的入射速度v 使v v0 求該粒子從P點進入磁場開始到第一次回到P點所需要的時間t 甲 乙 例 如圖所示 一個帶電量為正的粒子 從A點正對著圓心O以速度v射入半徑為R的絕緣圓筒中 圓筒內存在垂直紙面向里的勻強磁場 磁感應強度的大小為B 要使帶電粒子與圓筒內壁碰撞多次并繞筒一圈后仍從A點射出 求正離子在磁場中運動的時間t 設粒子與圓筒內壁碰撞時無能量和電量損失 不計粒子的重力 變式考題 分析與解 設粒子與圓筒碰 n 1 次有 n 2 2 n 由幾何關系得 tan 2 R r 正離子在磁場中運動的時間t n r v t n 2 Rtan n v 再變 若將上題中的 并繞筒一圈 五字去掉呢 n 2k 2k n 0 tan 2 R rt n r v t n 2k Rtan k n v 2kk 1 2 3 還能變嗎 1 筒變成正三角形 矩形 2 原題中的v方向可以變嗎 如 不沿半徑方向呢 試一試 出道題考考你的同桌 B C D E 4 如圖所示 一個質量為m 電量為q的正離子 在小孔S處正對著圓心O以速度v射入半徑為R的絕緣圓筒中 圓筒內存在垂直紙面向里的勻強磁場 磁感應強度的大小為B 要使帶電粒子與圓筒內壁碰撞多次后仍從A點射出 求正離子在磁場中運動的時間t 設粒子與圓筒內壁碰撞時無能量和電量損失 不計粒子的重力 解 粒子經過與圓筒發生n n 2 3 4 次與圓筒碰撞從原孔射出 其在圓筒磁場中運動的軌跡為n 1段對稱分布的圓弧 每段圓弧的圓心角為 正離子在磁場中運動的時間 5 如圖所示 在半徑為R的圓筒內有勻強磁場 質量為m 帶電量為q的正離子在小孔S處 以速度v0向著圓心射入 施加的磁感應強度為多大 此粒子才能在最短的時間內從原孔射出 設相碰時電量和動能均無損失 解 粒子經過n 2 3 4 次與圓筒碰撞從原孔射出 其運動軌跡具有對稱性 當發生最少碰撞次數n 2時 當發生碰撞次數n 3時 可見發生碰撞次數越多 所用時間越長 故當n 2時所用時間最短 思考 求碰撞次數n 2時粒子在磁場中運動的時間 圖11 課堂探究 突破考點 課堂探究 突破考點 返回 例2