第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2-1 什么是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？大致可以分為哪些類型？答 定量地表達(dá)系統(tǒng)各變量之間關(guān)系的表達(dá)式，稱工礦企業(yè) 數(shù)學(xué)模型。從不同的角度，可以對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行大致的分類，例如：用來(lái)描述各變量間動(dòng)態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型為動(dòng)態(tài)模型，用來(lái)描述各變量間穩(wěn)態(tài)關(guān)系有數(shù)學(xué)模型為靜態(tài)模型；數(shù)學(xué)模型中各變量與幾何位置無(wú)關(guān)的稱為集中參數(shù)模型，反之與幾何位置有關(guān)的稱為分布參數(shù)模型；變量間關(guān)系表現(xiàn)為線性的稱為線性模型，反之非線性模型；模型參數(shù)與時(shí)間有關(guān)的稱為時(shí)變模型，與時(shí)間無(wú)關(guān)的稱為時(shí)不變或定常模型；以系統(tǒng)的輸入、輸出變量這種外部特征來(lái)描述系統(tǒng)特性的數(shù)學(xué)模型稱為輸入輸出模型，而以系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量描述的數(shù)學(xué)模型稱為狀態(tài)空間模型；等等。2-2 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的獲取有哪幾種方法？答 獲取系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法主要有機(jī)理分析法和實(shí)驗(yàn)測(cè)試法。機(jī)理分析法是通過(guò)對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部機(jī)理的分析，根據(jù)一些基本的物理或化學(xué)變化的規(guī)律而導(dǎo)出支配系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，這樣得到的模型稱為機(jī)理模型。實(shí)驗(yàn)測(cè)試法是通過(guò)對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)測(cè)試，然后根據(jù)測(cè)試數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)一定的數(shù)據(jù)處理而獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，這樣得到的模型可稱為實(shí)測(cè)模型或經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀Ｈ绻麑⑸鲜鰞煞N方法結(jié)合起來(lái)，即通過(guò)機(jī)理分析的方法預(yù)先得到數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)或函數(shù)形式，然后對(duì)其中的某些參數(shù)用實(shí)驗(yàn)辨識(shí)的方法來(lái)確定，這樣得到的數(shù)學(xué)模型可稱為混合模型。這是介于上述兩種方法之間的一種比較切合實(shí)際的應(yīng)用較為普遍的方法。2-3 通過(guò)機(jī)理分析法建立對(duì)象微分方程數(shù)學(xué)模型的主要步驟有哪些？答 主要步驟有：根據(jù)系統(tǒng)的控制方案和對(duì)象的特性，確定對(duì)象的輸入變量和輸出變量。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)象的輸出變量為系統(tǒng)的被控變量，輸入變量為作用于對(duì)象的操縱變量或干擾變量。根據(jù)對(duì)象的工藝機(jī)理，進(jìn)行合理的假設(shè)和簡(jiǎn)化，突出主要因素，忽略次要因素。根據(jù)對(duì)象的工藝機(jī)理，從基本的物理、化學(xué)等定律出了，列寫描述對(duì)象運(yùn)動(dòng)規(guī)律的原始微分方程式（或方程式組）。消去中間變量，推導(dǎo)出描述對(duì)象輸入變量與輸出變量之間關(guān)系的方程式。根據(jù)要求，對(duì)上述方程式進(jìn)行增量化、線性化和無(wú)因次化的處理，最后得出無(wú)因次的、能夠描述對(duì)象輸入變量與輸出變量的增量之間關(guān)系的線性微分方程式（對(duì)于嚴(yán)重非線性的對(duì)象，可進(jìn)行分段線性化處理或直接導(dǎo)出非線性微分方程式）。2-4 試述傳遞函數(shù)的定義。如何由描述對(duì)象動(dòng)態(tài)特性的微分方程式得到相應(yīng)的傳遞函數(shù)？并寫出傳遞函數(shù)的一般形式。答 對(duì)于線性定常系統(tǒng)、對(duì)象或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的定義可以表述為：當(dāng)初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)、對(duì)象或環(huán)節(jié)輸出變量的拉氏變換式與輸入變量的拉氏變換式之比。如果已知系統(tǒng)、對(duì)象或環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型用下述線性常系數(shù)微分方程式來(lái)描述：式中y 為輸出變量， x為輸入變量， 表示y(t) 的n 階導(dǎo)數(shù)， 表示x(t) 的 m階導(dǎo)數(shù)。對(duì)于一般實(shí)際的物理系統(tǒng)， 。假定初始條件為零，對(duì)上式的等號(hào)兩邊進(jìn)行拉氏變換，得式中Y(s)是y(t) 的拉氏變換， X(s)是x(t) 的拉氏變換，于是可得傳遞函數(shù)：上式就是傳遞函數(shù)的一般形式。由此可見(jiàn)，傳遞函數(shù)一般可以表示為兩個(gè) 的多項(xiàng)式之比，而且分母 多項(xiàng)式的階次總是大于或等于分子 多項(xiàng)式的階次。2-5 試分別寫出下述典型環(huán)節(jié)的時(shí)域和復(fù)域的輸入輸出模型：放大環(huán)節(jié)、一階慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、二階振蕩環(huán)節(jié)、超前-滯后環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、純滯后環(huán)節(jié)、PID環(huán)節(jié)。答 環(huán)節(jié)的輸入輸出模型可以用微分方程和傳遞函數(shù)來(lái)表示。前者是它的時(shí)域形式，后者是它的復(fù)域形式。下面列表2-1說(shuō)明各典型環(huán)節(jié)的輸入輸出模型（以y(t) 表示輸出， x(t)表示輸入）。表2-1 典型環(huán)節(jié)的輸入輸出模型2-6 什么是控制系統(tǒng)的方塊圖？如何利用方塊圖來(lái)進(jìn)行控制系統(tǒng)的建模？答 方塊圖是控制系統(tǒng)中各個(gè)環(huán)節(jié)（元件）的功能和信號(hào)流向的圖解表示。根據(jù)各環(huán)節(jié)的信號(hào)流向，用帶有箭頭的信號(hào)線依次將各函數(shù)方塊連接起來(lái)便可以得到系統(tǒng)的方塊圖。利用方塊圖來(lái)進(jìn)行控制系統(tǒng)建模的主要步驟如下：繪制控制系統(tǒng)控制流程圖。根據(jù)控制系統(tǒng)功能，將控制系統(tǒng)劃分為若干個(gè)環(huán)節(jié)，例如被控對(duì)象、控制器、測(cè)量變送環(huán)節(jié)、執(zhí)行機(jī)構(gòu)（控制閥）等等。列寫各環(huán)節(jié)的微分方程或傳遞函數(shù)，即分別對(duì)各個(gè)環(huán)節(jié)建模，并將建模結(jié)果（傳遞函數(shù)）填入各相應(yīng)的方塊中。根據(jù)控制系統(tǒng)的信號(hào)走向（各輸入輸出通道）關(guān)系將各方塊用信號(hào)線連接起來(lái)，便得到控制系統(tǒng)的方塊圖。根據(jù)控制系統(tǒng)的類型和功能，確定控制系統(tǒng)的輸入輸出變量。利用方塊圖的簡(jiǎn)化規(guī)則來(lái)求出等效傳遞函數(shù)，或借助于信號(hào)流圖中的梅遜（Mason）增益公式來(lái)求出信號(hào)流圖的總增益，于是便可以得到控制系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)學(xué)模型。2-7 在方塊圖中，方塊之間的基本連接形式有哪幾種？從這幾種基本連接形式出了，可歸納出哪些方塊圖的基本運(yùn)算法則？答 方塊圖的基本連接形式有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種，下面分別介紹它們的連接形式與相應(yīng)的基本運(yùn)算法則。串聯(lián) 圖2-1表示三個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)。圖2-1 方塊的串聯(lián)若干個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，總的傳遞函數(shù)等于各方塊傳遞函數(shù)的乘積。相應(yīng)于圖2-1，則有：并聯(lián) 圖2-2表示三個(gè)環(huán)節(jié)關(guān)聯(lián)。若干個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)時(shí)，總的傳遞函數(shù)等于各方塊傳遞函數(shù)之代數(shù)和。相應(yīng)于圖2-2，則有： 圖2-2 方塊的并聯(lián) 圖2-3 負(fù)反饋連接 圖2-4 正反饋連接反饋 圖2-3表示負(fù)反饋連接，圖2-4表示正反饋連接。負(fù)反饋連接時(shí)，其閉環(huán)傳遞函數(shù) 為：式中G(s)稱為前向通道傳遞函數(shù)，H(s)稱為反饋通道傳遞函數(shù)， G(s)H(s)稱為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。當(dāng)反饋通道傳遞函數(shù)H(s)=1時(shí)，稱為單位反饋系統(tǒng)，此時(shí)有：正反饋連接時(shí)，如圖2-4所示，則有：2-8 方塊圖的等效變換有哪些基本運(yùn)算規(guī)則？答 系統(tǒng)的方塊圖有時(shí)不一定只是環(huán)節(jié)串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種基本連接的簡(jiǎn)單組合，而可能具有較復(fù)雜的連接方式，這時(shí)可以通過(guò)方塊圖的等效變換，將方塊圖逐步簡(jiǎn)化為上述三種基本連接關(guān)系，然后再運(yùn)用其相應(yīng)的傳遞函數(shù)求得整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，從而建立系統(tǒng)的復(fù)域模型。方塊圖等效變換的基本運(yùn)算規(guī)則列表2-2如下。表2-2 方塊圖等效變換的基本運(yùn)算規(guī)則2-9 試說(shuō)明信號(hào)流圖的基本構(gòu)成，并回答信號(hào)流圖的基本運(yùn)算規(guī)則有哪些？答 信號(hào)流圖是類似于方塊圖的又一種表示變量之間關(guān)系的圖示建模法。在信號(hào)流圖中，有以下一些基本構(gòu)成及相應(yīng)的術(shù)語(yǔ)。節(jié)點(diǎn) 用來(lái)表示變量的點(diǎn)。此變量等于所有進(jìn)入該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)代數(shù)和，從節(jié)點(diǎn)流出的信號(hào)值都等于這個(gè)變量值。支路 連接兩節(jié)點(diǎn)間的有向線段。輸入節(jié)點(diǎn)或源點(diǎn) 只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為輸入節(jié)點(diǎn)或源點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于輸入變量。在畫信號(hào)流圖時(shí)，一般將其放在左面。輸出節(jié)點(diǎn)或阱點(diǎn) 只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)稱為輸出節(jié)點(diǎn)或阱點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于輸入變量。在畫信號(hào)流圖時(shí)，一般將其放在信號(hào)流圖的最右面。混合節(jié)點(diǎn) 既具有輸入支路又具有輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為混合節(jié)點(diǎn)。傳輸 兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的增益稱為傳輸。在信號(hào)流圖中，輸入節(jié)點(diǎn)與輸出節(jié)點(diǎn)之間的傳輸稱為信號(hào)流圖的總傳輸。通路 沿支路箭頭方向而穿過(guò)各相連支路的途徑稱為通路。如果通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的稱為開(kāi)通路；如果通路又回到了起點(diǎn)，并且與其他節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，就稱為閉通路或回路；如果從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通路上，通過(guò)任何節(jié)點(diǎn)不多于一次，則該通路稱為前向通路。不接觸回路 如果一個(gè)（或一些）回路與另一個(gè)（或另一些）回路，它們沒(méi)有任何的公共節(jié)點(diǎn)，就稱它們?yōu)椴唤佑|回路。信號(hào)流圖的基本連接形式及其運(yùn)算規(guī)則如表2-3所示。表2-3 信號(hào)流圖的基本運(yùn)算規(guī)則2-10 試簡(jiǎn)述梅遜公式及其應(yīng)用。答 梅遜增益公式為：式中 p-信號(hào)流圖的輸入節(jié)點(diǎn)與輸出節(jié)點(diǎn)之間的總增益；-第k條前向通道的總增益；-第k條前向通道特征式的余因子，即與第k條前向通道不相接觸的回路的信號(hào)流圖的特征式；-信號(hào)流圖的特征式，可寫為：其中 -所有不同回路的增益之和；-每?jī)蓚€(gè)互不接觸回路增益乘積之和；-第三個(gè)互不接觸回路增益乘積之和。在建立復(fù)雜系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型時(shí)，可以通過(guò)變量置換、消去中間變量的方法來(lái)建立系統(tǒng)的輸入-輸出模型，亦可以通過(guò)方塊圖的等效變換來(lái)建立系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型。但是，借助于信號(hào)流圖，特別是梅遜公式，可以更加方便地求出信號(hào)流圖的總傳輸，從而得到系統(tǒng)的等交往傳遞函數(shù)或輸入-輸出模型。在運(yùn)用梅遜公式時(shí)應(yīng)注意，梅遜公式只能用于輸入節(jié)點(diǎn)和輸出節(jié)點(diǎn)之間，而不適用于任意兩個(gè)混合節(jié)點(diǎn)之間。2-11 試簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)模型各種表達(dá)式之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。答 線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要有微分方程、傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程三種形式，這三種形式之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系，相互之間在一定條件下可以轉(zhuǎn)化，下面簡(jiǎn)述微分方程與傳遞函數(shù)之間轉(zhuǎn)化的方法。微分方程與傳遞函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化是通過(guò)位氏變換與拉氏反變換來(lái)實(shí)現(xiàn)的。例已知微分方程為：在初始條件為0時(shí)，對(duì)上式兩端取拉氏變換，則有：所以，相應(yīng)的傳遞函數(shù)模型為：顯然，如果已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，只要通過(guò)拉氏反變換，就可以得到描述系統(tǒng)輸入輸出之間關(guān)系的微分方程式。2-12 試分析幾種簡(jiǎn)單系統(tǒng)（對(duì)象）的數(shù)學(xué)模型，以說(shuō)明它們之間的相似性。水力系統(tǒng)； 電系統(tǒng)；機(jī)械系統(tǒng)； 傳熱系統(tǒng)；氣動(dòng)阻容組件； 溶液制備系統(tǒng)。解 圖2-9表示一個(gè)水槽，假定水槽的截面積為A ，輸出閥的線性阻力系數(shù)為R ，則根據(jù)物料平衡有：式中V 表示水槽內(nèi)水的蓄存量， 。另外，經(jīng)過(guò)線性化后 與h 成線性關(guān)系，即，將 v與 代入原始方程并整理后有：令T=RA,K=R，則有： 其相應(yīng)的傳遞函數(shù)為： 圖2-9 水槽 圖2-10 RC電路 圖2-11 彈簧阻尼器系統(tǒng)圖2-10是一 電路，根據(jù)基本電路定律有：兩式聯(lián)立，可得： 令T=RC ，則上式可寫為：其相應(yīng)的傳遞函數(shù)為： 圖2-11所示這一彈簧阻尼器系統(tǒng)。在彈簧的上端有一位多 ，其下端就會(huì)有一位移 。由于彈簧所受的力與變形成正比，故有：F=k(x-y)式中F為力， 為彈簧的剛度。對(duì)于阻尼器來(lái)說(shuō)，假設(shè)其產(chǎn)生的摩擦力與運(yùn)動(dòng)速度成正比，有：式中 為阻尼器的粘性摩擦系數(shù)。由于作用在阻尼器上的力與作用在彈簧上的力是相等的，所以有：可寫成： 其相應(yīng)的傳遞函數(shù)為如果令，則：圖2-12所示為一水銀溫度計(jì)。為了建立溫度計(jì)的測(cè)量值與被測(cè)溫度之間的數(shù)學(xué)模型，我們忽略溫度計(jì)玻璃本身的熱容，只考慮溫度計(jì)內(nèi)水銀的熱容。水銀具有的熱量Q為：Q=McT式中 M水銀的重量； c水銀的比熱容。單位時(shí)間由周圍環(huán)境（溫度為 ）傳給水銀溫度計(jì)的熱量應(yīng)該等水銀內(nèi)蓄存熱量的變化率，因此可寫成下列式子：式中 a水銀溫度計(jì)的等效導(dǎo)熱系數(shù)；F水銀溫度計(jì)的外表面積。上述方程式可改寫為：如令 ，則有： 其相應(yīng)有傳遞函數(shù)G(s)為： 圖2-12 水銀溫度計(jì)圖2-13所示為一氣動(dòng)阻容組件，由一個(gè)氣阻R與一個(gè)氣容C組成。當(dāng)輸入壓力 增加時(shí)，氣體將通過(guò)氣阻慢慢進(jìn)入氣室，使氣室內(nèi)的壓力也逐漸增加，直至為止。當(dāng)氣壓變化不大，氣流氣量不大時(shí)，通過(guò)氣阻的氣流量將與氣阻兩端的壓差成正比，即： 式中 R氣阻值； 圖2-13 氣動(dòng)阻容組件 G通過(guò)氣阻的氣體質(zhì)量流由于氣體進(jìn)入氣室，將使氣室中的氣體密度增加，根據(jù)物料平衡，單位時(shí)間進(jìn)入氣容的氣體量應(yīng)該等于氣室中氣體蓄存量的變化率，即：（2-2）式中 V氣室體積； P氣室內(nèi)氣體密度。因?yàn)闅怏w壓力不高，氣室中的氣體可近似看做理想氣體，故符合理想氣體狀態(tài)方程，即：（2-3）式中 n氣室中氣體分子的摩爾數(shù)；通過(guò)氣體常數(shù)；氣室中氣體的絕對(duì)溫度；氣室中氣體的絕對(duì)壓力。氣室中氣體密度等于單位體積中的氣體質(zhì)量，即：式中 M氣室中氣體的平均分子量。將式（2-3）代入上式并求導(dǎo)得：（2-4）將式（2-4）和式（2-1）同時(shí)代入式（2-2），可得：或 令 ，則有： （2-5）式中T 時(shí)間常數(shù)。圖2-14所示為一溶液制備槽。 x為單位時(shí)間加入的溶質(zhì)量， q為單位時(shí)間加入的溶劑量。槽中溶液由溢流管引出，因此槽中的溶液體積為一常數(shù) 。考慮到加入的溶搟很少，故流出量等于溶劑的加入量 由于攪拌均勻，故流出液的濃度等于槽中溶液濃度c ，而流入液的濃度假設(shè)為0。根據(jù)物料平衡，單位時(shí)間進(jìn)入槽中的溶質(zhì)量減去單位時(shí)間流出槽的溶質(zhì)量應(yīng)該等于槽中溶質(zhì)蓄存量的變化率，因此有： （2-6）如果流入流出量 q為一常數(shù)，且令：則有： 式中 T時(shí)間常數(shù)； K放大系數(shù)。圖2-14 溶液制備槽以上通過(guò)機(jī)理推導(dǎo)的方法分別建立了六個(gè)系統(tǒng)（或?qū)ο螅┑臄?shù)學(xué)模型。盡管這些系統(tǒng)的物理過(guò)程很不相同，但導(dǎo)得的數(shù)學(xué)模型卻是驚人的相似。如果以 x表示輸入的變化量，y 表示輸出的變化量，則描述x,y 之間的關(guān)系的都是一階微分方程式，即：其傳遞函數(shù)亦具有相同的形式，即：這是一個(gè)典型的一階慣性環(huán)節(jié)。由于各種物理過(guò)程的相似性，所以給系統(tǒng)的模擬與仿真提供了方便與可能。同時(shí)，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，也有得于進(jìn)行系統(tǒng)的研究和分析。2-13 圖2-16是一個(gè)有源四端網(wǎng)絡(luò)，試建立網(wǎng)絡(luò)的下列形式的數(shù)學(xué)模型。微分方程式；傳遞函數(shù)；圖2-16 有源四端網(wǎng)絡(luò)解：要建立該網(wǎng)絡(luò)的微分方程數(shù)學(xué)模型，一般應(yīng)按下列步驟進(jìn)行。根據(jù)題意，確定模型輸入、輸出變量。本例可選 為輸入變量，電阻R上的壓降 作為輸出變量，目的是要建立起能夠描述變化時(shí)， 是如何變化的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)基本的物理、化學(xué)規(guī)律列寫原始方程式。本列中可根據(jù)電路基本規(guī)律列寫下列方程：（2-12）（2-13）（2-14）消去中間變量，使方程式中只含輸入變量與輸出變量。本例中就要設(shè)法消去中間變量 ，使方程式中只含 與 ，消中間變量的步驟可以這樣進(jìn)行，先由式（2-12）、式（2-13）消去 得：（2-16）由式（2-13）求導(dǎo)，可得：將式（2-14）代入上式可得求導(dǎo)可得： （2-17）將式（2-17）代入（2-16），可得將式（2-15）代入上式并整理可得：（2-18）式（2-18）就是描述 與 關(guān)系的微分方程式。為了求得輸入輸出之間的傳遞函數(shù)，可以將式（2-18）在零初始條件下兩取拉氏變換，可得：式中 分別為 的位氏變換。于是可得傳遞函數(shù)為：（2-19）為了避免推導(dǎo)微分方程式中消去中間變量的繁瑣過(guò)程，可以通過(guò)畫方塊圖的方法直接求出輸入輸出之間的傳遞函數(shù)，為此，將四個(gè)原始方程式（2-12）、式（2-13）、式（2-14）、式（2-15）分別在零初始條件下取拉氏變換，得：（2-20）（2-21）（2-22）（2-23）根據(jù)上述四個(gè)方程，可以分別畫出其方塊圖如圖2-17（a）、(b)、(c)、(d)所示。然后根據(jù)信號(hào)的傳遞關(guān)系將圖2-17中的各方塊用信號(hào)線連接起來(lái)，便成為整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的方塊圖，如圖2-18 圖2-17 方塊圖圖2-18 整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的方塊圖為了求得 與 之間的傳遞函數(shù)，可以通過(guò)方塊圖等效變換，先將兩個(gè)相加點(diǎn)的次序交換，然后求出內(nèi)回路的傳遞函數(shù) 為：于是方塊圖就可以簡(jiǎn)化為圖2-19所示。進(jìn)一步簡(jiǎn)化方塊圖，可畫為圖2-20所示。整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為： 圖2-19 方塊圖圖2-20 方塊圖由此可見(jiàn)，通過(guò)畫方塊圖，可以比較方便地得到與式（2-19）相同的結(jié)果。由圖2-18，也可以直接運(yùn)用梅遜公式，得出系統(tǒng)的總增益。由圖可見(jiàn)，共有兩個(gè)回路，且互相接觸，其增益分別為：系統(tǒng)只有一條前向通道，且與兩個(gè)回路均接觸，故有：根據(jù)梅遜公式，可得總增益：此結(jié)果也與式（2-19）相同。2-14 試求圖2-25所示方塊圖的傳遞函數(shù) 。解 由于考慮的是單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，所以在輸入為X(s) 時(shí)，則假定F(s)=0 ；在輸入為F(s) 時(shí)，則假定X(s)=0 。圖2-25經(jīng)適當(dāng)變換后，分別如圖2-26(a)、（b）、(c)、(d)、(e)、(f)所示。注意在上述變換過(guò)程中，運(yùn)用了線路中的負(fù)號(hào)可在線路上前后移動(dòng)，并可超過(guò)函數(shù)方塊的規(guī)則。經(jīng)過(guò)上述變換后，根據(jù)反饋連接傳遞函數(shù)的計(jì)算方法，分別由圖2-26的(a)、（b）、(c)、(d)、(e)、(f)很容易寫出下述傳遞函數(shù)： 圖2-25 方塊圖 圖2-26 方塊圖對(duì)于 和 ，由于此時(shí) E(s)和Z(s) 不是輸入節(jié)點(diǎn)，系統(tǒng)并沒(méi)有構(gòu)成閉環(huán)，故：注意此時(shí)由于方塊圖的單向性， 與 不是簡(jiǎn)單的倒數(shù)關(guān)系。2-15 已知系統(tǒng)的方塊圖如圖2-27所示。圖2-27 方塊圖試通過(guò)方塊圖的等效變換，求出 ；試畫出相應(yīng)的信號(hào)流圖，并運(yùn)用梅遜公式，求得 。解 這是一個(gè)多回路的方塊圖，且在 、 、 之間有相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的交叉。為了從內(nèi)回路到外回路逐步化簡(jiǎn)，首先要消除交叉連接。方法之一是將 之后的相加點(diǎn)前移至 之前，然后兩相加點(diǎn)交換，將圖2-27等效變換為圖2-28(a)。然后對(duì)圖2-28(a)中的由 、 、 組成的簡(jiǎn)單反饋系統(tǒng)進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得到圖2-28(b)。進(jìn)一步對(duì)內(nèi)回路進(jìn)行化簡(jiǎn)，便可得到圖2-28(c)。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算和化簡(jiǎn)，最后便可得到一個(gè)簡(jiǎn)單的反饋控制系統(tǒng)，如圖2-28(d)所示。圖2-28 方塊圖由圖2-28(d)便可計(jì)算得：（2-43）方法之二是將 前的相加點(diǎn)后移至 之后，然后相加點(diǎn)交換，便可得到如圖2-29所示的等效方塊圖，然后對(duì)內(nèi)回路逐個(gè)化簡(jiǎn)，便可得到式（2-43）相同的傳遞函數(shù)。圖2-29 等效方塊圖方法之三是將 之后的分支點(diǎn)移至 之后，然后分支點(diǎn)交換，便可得到如圖2-30所示的等效方塊圖，然后對(duì)內(nèi)回路逐個(gè)化簡(jiǎn)，也可得到式（2-43）所表示的傳遞函數(shù)。圖2-30 等效方塊圖值得注意的是在方塊圖中，一條線路上的相加點(diǎn)與分支點(diǎn)的前后次序是不能任意交換的。對(duì)于圖2-27所示的方塊圖，如將 前的相加點(diǎn)后移，然后與分支點(diǎn)交換，就會(huì)得到與圖2-27不等效的方塊圖，如圖2-31所示。圖2-31 方塊圖貼圖產(chǎn)2-31導(dǎo)得的傳遞函數(shù)為：該結(jié)果與式（2-43）不相同，顯然是錯(cuò)誤的。將圖2-27所示的方塊圖畫成信號(hào)流圖，如圖2-32所示。根據(jù)梅遜公式： 可以求得總增益p ，即為該系統(tǒng)的 。圖2-32 信號(hào)流圖該信號(hào)流圖中共有三個(gè)回路，且均互相接觸，其增益分別為：圖中僅有一條前向通路，其增該信號(hào)流圖的特征式為由于前向通道 p1與三個(gè)回路均接觸，故其余因式 。因此，該信號(hào)流圖的總增益為：此結(jié)果與式（2-43）的結(jié)果完全相同。2-16系統(tǒng)的方塊圖如圖2-33所示。圖2-33 方塊圖通過(guò)方塊圖等效變換，求出 ；畫出該系統(tǒng)的信號(hào)流圖，由梅遜公式求出系統(tǒng)總增益p 。解 由于該方塊圖中存在相加點(diǎn)、分支點(diǎn)交叉，所以首先要消除交叉連接。為此，可以將與 之間的相加點(diǎn)與分支點(diǎn)分別前移與后移，得到如圖2-34所示的等效方塊圖。圖2-34 等效方塊圖由該圖，運(yùn)用串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方塊圖傳遞函數(shù)運(yùn)算法則，就可得到：經(jīng)過(guò)逐步化簡(jiǎn)，可得 ：（2-44）將圖2-33所示的方