第三章 線性方程組主要內容、結構、體系線性方程組理論是線性代數最基本的內容之一.它不僅是中學里一次方程組討論的最一般的推廣，而且稱得上是整個線性代數的一個縮影.學好本章對于學好以后各章起著關鍵性的作用.對于一般線性方程組，其主要理論問題有：1有沒有解？有解的條件是什么？2有解時，解的個數是多少？如何求出解？3解不止一個時，解之間有沒有聯系？圍繞這些問題，本章主要有四部分內容.第一部分內容是1介紹的消元法，它是中學里“加減消元法”的一般化，是解具體線性方程組的一個最基本和最有效的方法.第二部分內容是介紹討論一般線性方程組所用的主要工具：n維向量與矩陣的秩（24）.首先，2把向量概念推廣到n維向量，并介紹了它的簡單性質.3詳細而深入地討論了n維向量的線性相關性.這些內容，在本章雖然只是以討論線性方程組的工具的面目出現的，但其本身極端重要，在線性代數中將隨時用到它們.它是本章的重點之一，也是一個難點.在2，3討論的基礎上，4給出矩陣的概念及計算秩的方法.第三部分內容全面回答了線性方程組的理論問題（56）. 5利用矩陣的秩給出了有解的充要條件及解的個數的結論，同時介紹了基于克蘭姆法則的又一個求解方法.6則研究了線性方程組解的性質與結構.這部分內容是本章的中心內容.第四部分內容（7）是介紹線性方程組理論的一個應用給出二元高次方程組的一個一般解法，這對于指導中學數學教學有一定的作用.知識點分類（必會、掌握、了解）理解維向量組的線性相關性、向量組和矩陣的秩、基礎解系等概念及性質，掌握線性方程組有解判別定理，會求齊次線性方程組的基礎解系及一般線性方程組的所有解.難點疑點重點是向量組的線性相關性、線性方程組有解判別定理和解的結構，難點是向量組的極大線性無關組和方程組解的結構.主要方法利用定義討論向量組的線性相關性，兩個向量組的等價和向量組極大線性無關組與秩. 利用初等行變換求矩陣的秩.運用線性方程組有解判別定理判別方程組是否有解.求齊次線性方程組的基礎解系，齊次線性方程組解的結構和一般線性方程組解的結構.例1求矩陣的秩.解：用初等行變換將A化為階梯陣所以當時，當時，.例2 判斷向量能否由向量組線性表出，若能，寫出它的一個線性組合其中，.解：設，即有方程組（1）對方程組（1）的增廣矩陣作初等行變換化階梯陣所以方程組（1）有解（1）的一般解為令，得（1）的一個解（1,0，1），從而有例3已知向量組，（1）試求這個向量組的秩和一個極大線性無關組；（2）寫出每個向量用（1）中求出的極大線性無關組線性表出的表達式.解：以為列向量作矩陣，并對矩陣進行初等行變換.由于初等行變換不改變列向量組的線性關系，也不改變矩陣的秩，由B看出，秩（B）秩（A）2.B的前兩列是B的列向量組的一個極大線性無關組.（1）向量組的秩為2，且為這個向量組的一個極大線性無關組（極大線性無關組也可取或或或或）.（2）由矩陣B易得線性表達式，.例4求齊次線性方程組 的一個基礎解系解：對齊次線性方程組的系數矩陣A 進行初等行變換： 則原方程組的解為： （其中為自由未知量）令，得；令，得從而原方程的基礎解系為：，原方程組的一般解為：例5求解方程組.解：可見，所以原方程組有解，并有，（其中為自由未知量）取，則 ，即得原方程組的一個特解下面求導出組的基礎解系：導出組與 同解取，得；取，得于是原方程組的通解為：例6問取何值時，齊次線性方程組有非零解?解: 當時，所以由Cramer法則得方程組有非零解例7設線性方程組，(1)試求的兩個特解；(2)用的導出組的基礎解系與的特解表出的全部解.解 (1)對的增廣矩陣進行初等行變換，由此，得的一般解（其中為自由未知量）.令，得一個解為，令，得一個解為.(2) 為求的導出組的基礎解系，只要把上面得到的的最簡階梯陣的最后一列劃去，得矩陣這就是的導出組的系數矩陣經初等行變換而得的最簡階梯陣，從而可得導出組的一般解：（其中為自由未知量）.令，得一個解為，令，得一個解為，即為導出組的基礎解系.故的全部解為 （其中為任意常數）.例8如果向量可由向量組線性表出，證明：表示法唯一的充要條件是線性無關.證明：必要性由題設知 用反證法. 設線性相關，那么存在一組不全為零的數，使 將與相加，得由于不全為零，這樣就得到了的兩種不同的表示法，這與題設矛盾，所以線性無關. 充分性設有兩種表示方法： 將兩式相減，得由于線性無關，所以此即，唯一性得證.例9設向量可由向量組線性表出，但不能由線性表出，證明：（1）不能由線性表出；（2）能由線性表出.證明：（1）反設能由線性表出： 由題設向量可由向量組線性表出，設為 將代入，得這與不能由線性表出的題設矛盾，故得不能由線性表出.（2）由于題設不能由線性表出，故上面的式中，從而這就是說，能由線性表出.經典例題分析例10解線性方程組 解：方程組的系數行列式 ，所以由Cramer法則得方程組有唯一解（1，2，3，1）.例11 取什么值時，線性方程組有解？當有解時，求一般解.解 對方程組的增廣矩陣進行初等行變換，化為最簡階梯陣由此可見，當且僅當且時，原方程組有解.這時原方程組與方程組同解.其一般解為（其中為自由未知量）.例12 對的不同取值，討論線性方程組的解的情況.解法一 (1)當即時，則 ，從而原方程組無解.(2) 當時， (i)當時，原方程組與同解.此時，一般解為（為自由未知量），一個基礎解系為，.(ii) 當時，結論：(1) 當時，原方程組無解.(2) 當時，原方程組有無窮多解，其一般解為（為自由未知量），一個基礎解系為，.(3) 當且時，原方程組有唯一解，.解法二 原方程組的系數矩陣行列式為(1) 當時，原方程組為，由得：，所以原方程組無解.(2) 當時，原方程組為，所以原方程組為齊次線性方程組，其一般解為（為自由未知量），一個基礎解系為，.(3) 當且時，所以原方程組有唯一解，.例13 證明線性方程組有解.證法一 對線性方程組的系數矩陣和增廣矩陣進行初等行變換，得所以 所以線性方程組有解.證法二：必要性設線性方程組有解為，則有 . 充分性 如果，則可取，則，即線性方程組有解為.例14 設為矩陣，是在中劃去第列所得的子式.證明：齊次線性方程組的解為.證明：因為，所以的每一個基礎解系僅有個非零解，從而的任一個非零解都構成的一個基礎解系. 下面我們證明是的一個非零解.令 ，則，所以 ，所以 ，故是的一個解.因為，故至少有一個，故是的一個非零解.例15證明線性方程組有解當且僅當齊次方程組的每一個解有，其中.證明： 必要性 設有解，則，設是的任一解，則. 充分性 考察齊次方程組因為的每一個解滿足，所以式與同解，從而 ，故線性方程組有解.例16 設向量組 線性無關，向量可由向量組線性表出，向量不能由向量組線性表出.證明：線性無關，其中是任意數.證明：設有數使 則必. 事實上，若，則由上式，可由線性表出，而又可由向量組線性表出，由此，可由向量組線性表出，與題設矛盾，故成立.由，式即為由于向量組 線性無關，所以，這樣得到式只有全為零才成立，這就證明了線性無關.練習題（基本題，提高題，考研題）基本題1使向量組，線性無關的的值是 . 2設，則當 時有唯一解，當 時有無窮多解.3是某齊次線性方程組的基礎解系，是一組向量，當且僅當 與 等價時，也是該齊次線性方程組的基礎解系.4維向量組線性無關的充要條件是（ ）使.A存在不全為零的數；B存在全不為零的數；C不存在全不為零的數；D當且僅當.5當（ ）時維向量組線性相關.A； B； C； D.6若，則（ ）.A的階子式不全為零； B的階子式（如有的話）全為零； C只有一個不為零的階子式； D的列向量組的秩為.7已知向量，.（1）試求用線性表出的表達式；（2）判斷能否有兩種方法用線性表出，并敘述理由.8已知，.（1）試求這個向量組的一個極大線性無關組與秩；（2）寫出每個向量用極大線性無關組線性表出的表達式.9計算下列矩陣的秩. （1）（2）（3）（4）10證明：若線性相關，而線性無關，則（1）可由線性表出；（2）不能由線性表出.11設向量組線性無關，證明：當且僅當n是奇數時，向量組：也線性無關.12設有個向量：，且，證明：（1）若線性無關，則也線性無關；（2）若線性相關，則也線性相關.13設向量組線性相關，且它們都不是零向量，證明：其中至少有兩個向量，這兩個向量的每一個都可由其余向量線性表出.14證明：向量組線性無關的充要條件是存在向量可由線性表出，但不能由其中的個向量線性表出.15設向量組線性無關，而線性相關.證明：若與向量組不等價，則與中有且僅有一個向量可由線性表出.提高題1 設，且，則k= 2設，令，求的一個基礎解系.3設矩陣，證明矩陣方程有解當且僅當.4設齊次線性方程組有非零解，證明存在使得無解.5設有向量組，其中，且每個都 不能被線性表出，證明：線性無關.6設有兩個向量組：； . 證明：（1）若向量組線性無關，則也線性無關；（2）若，且對任意的，向量組都線性無關，則也線性無關.7設是一組n維向量，證明：線性無關的充要條件是任一n維向量都可被它們線性表出.8設是r個互不相同的數，證明：向量組 線性無關.9設是n個互不相同的數，令證明: 任一n維向量都可由線性表出，且表法唯一.10已知向量組線性無關， 證明：線性無關的充要條件是.11設是線性方程組的一個解，是的導出方程組的一個基礎解系.令.證明：的任一解，都可表成，其中.考研題1設方程組的導出組為，(1)下列命題正確的一個是 有惟一解僅有零解有解有解有非零解有無窮多解有非零解有無窮多解(2) 設是的一個解，是的一個基礎解系，則下列命題錯誤的一個是 是的一組線性無關的解的每個解都可以表成的線性組合是的一個解的所有解都可以表成的線性組合2當取何值(或滿足何種關系式)時，元線性方程組有解？有多少解？3設是s個線性無關的n維向量，證明：存在含n個未知量的齊次線性方程組，使是它的一個基礎解系.4設 是非齊次的線性方程組（即至少有一個），且系數陣A的秩為r.證明：若有解，則它有個線性無關的解向量，使