第3章 Jordan標準形介紹 JordanCanonicalForm 1 第3章 Jordan標準形介紹 Problem 矩陣A到底和一個多簡單的矩陣相似 Solution 理想情況下 A為對角形并非所有的矩陣都可以對角化 Jordan標準形理論 Jordan標準形的應用 2 第3章 Jordan標準形介紹 本章的主要結論 Theorem任何復數域上的n階矩陣A都和一個Jordan標準形相似 Jordan標準形 Jordan塊 3 2 1求矩陣的Jordan標準形的道路之一 利用如下的流程圖 A l lE A 行列式因子 不變因子 初級因子 Jordan塊 J A 4 1 行列式因子 Step1 計算所有的k階子式 Step2 求所有的k階子式的首一最大公因式即為Dn 高階行列式因子可以整除低階的行列式因子 5 2 不變因子 高階不變因子可以整除低階的不變因子 6 3 初級因子 對次數非零的不變因子進行因式分解 所得的一次因式的方冪即為初級因子Remark 來自于不同不變因子的一次因式不能進行合并 7 4 初級因子和Jordan塊的關系 一一對應初級因子Jordanblock 8 9 2 2求矩陣的Jordan標準形的道路之二 利用如下的流程圖 A l lE A 不變因子 初級因子 Jordan塊 J A Smith標準形 10 1 矩陣及其初等變換 矩陣的初等變換 交換兩行 列 某行 列 乘非零數 某行 列 的多項式p 倍加到另行 列 和矩陣的初等變換差不多 11 2 矩陣的Smith標準形Problem 矩陣經初等變換可以變成什么樣的矩陣 Answer Smith標準形Theorem Smith標準形 12 Ex1求下面矩陣的Smith標準形Keystep 一階行列式因子 一階不變因子 13 3 Smith標準形和不變因子 為A的不變因子 一切的理論依據 Theorem P071 定理3 2 5 定理3 2 6 相似的矩陣有相同的行列式因子 Ex2 P071 例3 2 6 求Jordan標準形的第二種方法 14 4 矩陣的三種因子之間的轉換關系 Key 最后一個不變因子包含所有的一次因式 Ex3 P059 例3 1 4 15 2 3求相似變換的矩陣P Problem 如何求可逆陣P 使得PAP 1 J Solution 待定系數法 Example P060例3 1 5 16 2 4最小多項式 minimalpolynomials Def 矩陣多項式 例設 17 1Cayley HamiltonTheorem 1858 設A為n階復方陣 f l lE A 則f A 0Application 對矩陣多項式進行降次Example P074例3 3 1 18 哈密頓 W R Hamilton WilliamRowan 1805 1865 愛爾蘭人 哈密頓自幼聰明 被稱為神童 他3歲英語已讀得非常好 4歲時是不錯的地理學者 5歲時能閱讀和翻譯拉丁語 希臘語和希伯來語 喜歡用希臘語朗誦荷馬史詩 8歲掌握了意大利語和法語 覺得英語過于平庸 用拉丁文的六韻步詩體 10歲不到開始學習阿拉伯語 梵語 波斯語 同時學習馬來語 孟加拉語 古敘利亞語 他極想學習漢語 但是太難搞到書 14歲時 因在都柏林歡迎波斯大使宴會上用波斯語與大使交談而出盡風頭 主要貢獻 力學 數學 光學 19 2矩陣的零化多項式 AnnihilatingpolynomialsofMatrices 問題 A Cn n A 0 是否存在非零多項式g 使得g A 0 Definition 零化多項式 如果g A 0 則g 被稱為矩陣A的零化多項式 Cayley Hamilton定理保證 矩陣的零化多項式存在 20 3最小多項式 Definition 最小多項式 mA 是最小多項式 mA A 0mA 在化零多項式中次數最低 mA 最高次項系數是1 mA 整除任何化零多項式 21 3最小多項式 求解最小多項式方法一 最小多項式的結構P075定理3 3 4最小多項式與特征多項式有相同的根 區別在于最小多項式的根的重數比后者要低 f E A mA 22 例1 P076 例3 3 2 例2設A R4 4 mA 求矩陣A的所有可能的Jordan矩陣 例3設是矩陣A的化零多項式 證明A可以相似于對角矩陣 23 相似問題中的一些矩陣結果 1 冪等矩陣 冪零矩陣和乘方矩陣冪等矩陣 idempotent A2 A冪零矩陣 nilpotent A 0 k為正整數 Ak 0乘方矩陣 involutary A2 I A為冪零矩陣的充要條件是A的特征值都是零 A為乘方矩陣的充要條件是A相似于矩陣 A為冪等矩陣的充要條件是A相似于矩陣 24 2設A為階方陣 證明矩陣A和AT相似 證明思想 證明A和AT相似 證明Jordan矩陣JA和JAT相似 證明JA和JAT的Jordan塊J和JT相似 證明方法 取逆向單位矩陣S 證明 SJ JTS backwardidentity 25 4 設矩陣A Fm n 矩陣B Fn