15.2.1 分式的乘除教學設計大連世紀中學 趙天杰一、教材說明分式的乘除是義務教育課程標準實驗教科書（新人教版）數學八年級上冊第十五章第二單元第一節內容，是在學生已經學習了分式的基本概念、分式與整式的區別及分式的基本性質、約分和通分基礎上引入的，本單元共7課時，其中分式的乘除及乘方2課時，分式加減2課時，整數指數冪2課時，單元復習1課時，本節為第一課時，既是對前面所學的分數乘除運算的引申，分式約分知識的應用，又為以后學習分式乘除混合運算、乘方、加減、解分式方程等知識作鋪墊，在對學生數學思維訓練、能力培養上都有舉足輕重的作用。二、學情分析教學對象是八年級學生，在學習本章前，學生已經掌握了分數的運算法則，了解了分式概念及性質，能夠運用分式基本性質熟練地進行包括分式約分、通分在內的分式恒等變形。分式乘除與分式的乘除運算雖然本質相同，但由于字母代數的普遍性導致運算分式運算較之分數運算復雜，學生在整式乘除與因式分解中存在一定的知識遺漏，可能導致在分式運算中出現注意局部、忽視整體，對于分子、分母含有多項式的不善于因式分解或雖然想到了進行因式分解但分解錯誤等問題，因此，含有多項式的分式參與運算是分式乘除的難點；從思維方面看，八年級學生思維水平仍以經驗型為主，理論型思維尚處于萌芽階段，因此，在教學時，必須從學生已有的認知基礎和經驗出發，即從回顧分數乘除運算法則入手，引申到分式的乘除法則，進一步體現由數到式的數學發展過程。三、教學目標1.知識和能力：掌握分式乘除運算的運算法則，會進行分式乘除運算。2.過程和方法：經歷類比分數乘除法的運算法則探索分式乘除法的運算法則的過程；在參與探索活動的過程中，掌握分式乘除法的運算法則和運用法則進行分式乘除法運算的方法。3.情感態度和價值觀：體會分式乘除與分數乘除運算之間的關系，感受因式分解在分式乘除法中的作用，發展有條理的思考和語言表達能力；在分式乘除法運算過程中，通過交流探討，在掌握知識的基礎上，進一步認識事物之間的內在聯系，獲得成就感；發展創新意識和應用數學的意識。四. 教學重難點教學重點：掌握分數乘法法則，會用分式乘除的法則進行運算。教學難點：含有多項式的分式乘除運算。五.教學過程1回顧分式,引出課題教師：同學們，請你回顧一下分式我們已經學習了哪些內容？學生：分式的概念，分式基本性質教師：利用分式的基本性質我們又學習了什么？學生：通分和約分教師：根據以往的學習經驗,你們覺的本節課我們學習分式的什么內容?學生：加，減，乘，除，乘方。（乘方一定等學生出來）教師：今天我們就來學習分式的運算。（寫在黑板左上角）請同學們先看以下倆個問題。把答案寫在學案卷上。預設：通分約分乘方一定要等學生說出來。2感受學習分式乘除法的必要性問題1 一個水平放置的長方體容器，其容積為V，底面的長為a，寬為b。（1）這個長方體容器的高為_；（2）當容器內的水占容積的時，水面的高度為多少？預設1：學生的結果為乘后的分式時，老師可以適時提出這樣問題。1.你是怎樣得到這個結果？2.誰和誰乘到一起？評價：這類學生的數學思維較高，老師應該給予充分肯定，如“你的數學思路非常清晰，很有天分?！鳖A設2：學生的結果為倆個分式相乘。老師比較樂于出現這樣的結果，為分式乘法埋下伏筆。評價：這類學生符合新授課的常規思路，所以求知欲望較為強烈，老師應該正確引導讓其積極參與，如“列式非常正確，很好?！眴栴}2大拖拉機m 天耕地a hm2，小拖拉機n天耕地b hm2，大拖拉機的工作效率是小拖拉機的工作效率的多少倍？分析：（1）大拖拉機的工作效率為_ hm2 /天；（2）小拖拉機的工作效率為_ hm2 /天；（3）大拖拉機的工作效率是小拖拉機的工作效率的多少倍?預設1：若第一問題學生的結果為乘后的分式時，更多的學生會受其影響，嘗試解出最終的答案，老師依然可以適時提出這樣問題。1.你是怎樣得到這個結果？2.此時誰和誰乘到一起？評價：這類學生的擅長模仿，老師應該給予充分肯定，如“你是一個善于發現規律的孩子，很棒。”預設2：學生的結果為倆個分式相除。老師比較樂于出現這樣的結果，為分式除法埋下伏筆。評價：這類學生符合新授課的常規思路，老師應該正確引導讓其積極參與，如“列式非常正確，很好。”3類比分數乘除法則，歸納分式乘除法則教師：（將所得的倆個式子寫在黑板右上角）這就是分式的乘除。從上面的問題可知，為討論數量關系有時需要進行分式的乘除運算，這就是我們本節課要學習的內容，分式的乘除。（黑板中間寫上課題）那這倆個式子大家想怎么算？請說說你的想法？學生：第一個式子應給乘在一起，第二個式子應該乘它的倒數。（大部分同學會這樣說）教師：那具體是誰和誰相乘呢？學生：分子乘分子，分母乘分母。教師：你是通過什么產生了這種想法？學生：分數的乘除。教師：非常好！分式與分數具有類似的形式，我們可以類比分數的運算法則認識分式的運算法則。你還記得分數的乘除法法則么？學生：分數乘分數等于分子乘分子比上分母乘分母。分數除分數等于乘以這個數的倒數。教師：同學們已經非常接近了，我們一起來回顧以下分數的乘除法法則吧。預設：此時學生應該會很容易通過類比分數的乘除法則來得到分式的乘除法則。用ppt打出相應法則。分式的乘除法則： 乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。 除法法則：分式除以分式，把除式的分子，分母顛倒位置后，與被除式相乘。教師：上述法則可以用式子表示為 = = =（寫在黑板上）（用時10分鐘）4運用分式的乘除法則教師：學習了法則我們就用法則來解決相應運算，接下來我們一起運用分式乘除法法則來完成這倆道例題。設計意圖：思考對于學生來說是必不可少的環節，是學生為數不多自主學習的機會。通過對分數乘法法則的抽象，體會倆者的本質相同。例1 計算：(1) 教師：第一個問依據法則該怎么算呢？誰來試一試？學生：可能會直接說式子也可能會說法則文字內容，都可以教師：這是最終結果么？學生：不是，應該約分。結果為。教師：非常好！運算結果應該化為最簡分式。同意？(2)教師：第二個問依據法則該怎么算呢？誰來試一試？學生：可能會直接說式子也可能會說法則文字內容，都可以教師：這是最終結果么？學生：不是，應該約分。結果為。教師：不論乘除運算結果都應該化為最簡分式。同學們請迅速完成學案卷上的練習1（找倆名同學上黑板完成）。 (1) (2) 8x2y預設：學生基本能夠自主完成，個別同學可能存在不會找公因式去約分，教師應該對有問題的同學給以提醒，給全對的同學給與鼓勵。教師：非常好，當分子與分母是單項式時，可直接利用分式的乘除法法則，再約分。（用時6分鐘）教師：這倆名同學能夠熟練地運用法則來解決問題，而且能夠積極參與非常好！接下來我們來看例2. 例2計算：(1) 教師：同學們請看例2和例1有什么不同？學生：例2含有多項式。教師：那這個式子你們想怎么算？學生：1.先因式分解，在用乘法法則；(出現直接就板演) 2.現用乘法法則，在因式分解。(若出現這種算法就讓其余學生表述其他算法)教師:因式分解的目的是什么?學生:為了約分教師：可見分子分母是多項式時，通常先分解因式，在進行約分。 (2)教師：同學們請看第二個問，有了前面問題的經驗，我們應該怎么計算？學生：先把除轉化為乘，再分解因式。教師：誰來嘗試說一下？學生：此時由學生口述教師：提示需要符號變化的先變號。教師：非常好！不論乘除運算結果都應該化為最簡分式。同學們請迅速完成學案卷上的練習2.（找倆名同學上黑板完成）。練習2(1) (2) 預設：學生大部分能夠自主完成，少數同學可能存在不會分解因式去約分或者忘記符號變化，教師應該對有問題的同學給以提醒，給全對的同學給與鼓勵。教師：這倆名同學能夠運用老師教的方法來解決數學問題，非常好，當分子分母是多項式時，通?，F分解因式，再約分。結果一定化為最簡分式。學完了分式的乘除法法則，我們就用所學知識來解決這個問題。（用時9分鐘）例3 如圖，“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為a m的正方形去掉一個邊長為1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為(a1) m的正方形，兩塊試驗田的小麥都收獲了500 kg.(1)哪種小麥的單位面積產量高？(2)高的單位面積產量是低的單位面積產量的多少倍？教師：那誰來解釋一下什么是單位面積產量？(先讀題1分鐘)學生：學生可以舉例表示。教師：那你能表示出豐收一號和豐收二號的單位面積產量么？學生：這時候大部分同學可以表示出來，學生口述，老師板演。教師：怎樣說明誰的產量更高呢？先思考(1分鐘)大家可以相互交流(2分鐘)時間。（此時教師積極參與各組的討論）（3分鐘后，由學生利用投影展示自己的做法）教師：非常好，同學們的方法讓我也受益匪淺。老師給大家準備了一段微課，請同學們觀看。（若沒有用數形結合的方法，就展示微課）教師總結：當我們遇到有實際背景的問題，解題時先要弄清題意，根據題意列出算式，再進行運算。設計意圖：學生可能遇到的困難有倆種。一是存在列式困難的可能性，二是存在分子相同分母不同的分時之間的大小比較。其中第二種是大部分同學存在的困難，能夠提出疑慮就是對本題存在的價值體現，再通過探究解決自身疑慮可以達到難點的突破。而微課的展示能夠把圖形之間的關系用動態的方式演示可以讓很多不理解的同學立刻明白過來。（用時12分鐘）5.小結教師與學生一起回顧本節課所學的