9.6 雙曲線一、選擇題1已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a0，b0)的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點P在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（ ）A42 B.1C. D.1解析(數(shù)形結合法)因為MF1的中點P在雙曲線上，|PF2|PF1|2a，MF1F2為正三角形，邊長都是2c，所以cc2a，所以e1，故選D.答案D2. 已知雙曲線C ：-=1的焦距為10 ，點P （2,1）在C 的漸近線上，則C的方程為（ ）A-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1答案A3設雙曲線1(a0)的漸近線方程為3x2y0，則a的值為()A4 B3 C2 D1解析雙曲線1的漸近線方程為3xay0與已知方程比較系數(shù)得a2.答案C4設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為()A. B. C2 D3解析設雙曲線C的方程為1，焦點F(c,0)，將xc代入1可得y2，所以|AB|222a，b22a2，c2a2b23a2，e.答案B5設F1、F2是雙曲線y21的兩個焦點，P在雙曲線上，當F1PF2的面積為2時，的值為()A2 B3C4 D6解析 設點P(x0，y0)，依題意得，|F1F2|24，SPF1F2|F1F2|y0|2|y0|2，|y0|1，y1，x3(y1)6，(2x0，y0)(2x0，y0)xy43.答案 B6已知雙曲線1(a0，b0)的左頂點與拋物線y22px(p0)的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為(2，1)，則雙曲線的焦距為()A2 B2 C4 D4解析由題意得c.雙曲線的焦距2c2.答案B7如圖，已知點P為雙曲線1右支上一點，F(xiàn)1、F2分別為雙曲線的左、右焦點，I為PF1F2的內心，若SIPF1SIPF2SIF1F2成立，則的值為()A. B. C. D.解析 根據(jù)SIPF1SIPF2SIF1F2，即|PF1|PF2|F1F2|，即2a2c，即.答案 B二、填空題8雙曲線1的右焦點到漸近線的距離是_解析 由題意得：雙曲線1的漸近線為yx.焦點(3,0)到直線yx的距離為.答案 9已知雙曲線1左、右焦點分別為F1、F2，過點F2作與x軸垂直的直線與雙曲線一個交點為P，且PF1F2，則雙曲線的漸近線方程為_解析 根據(jù)已知|PF1|且|PF2|，故2a，所以2，.答案 yx10.已知雙曲線的兩條漸近線均和圓:相切,且雙曲線的右焦點為圓C的圓心,則該雙曲線的方程為_c=3,所以b=2,即,所以該雙曲線的方程為.答案 11如圖，已知雙曲線以長方形ABCD的頂點A、B為左、右焦點，且雙曲線過C、D兩頂點若AB4，BC3，則此雙曲線的標準方程為_解析設雙曲線的標準方程為1(a0，b0)由題意得B(2,0)，C(2,3)，解得雙曲線的標準方程為x21.答案x2112已知點(2,3)在雙曲線C：1(a0，b0)上，C的焦距為4，則它的離心率為_解析根據(jù)點(2,3)在雙曲線上，可以很容易建立一個關于a，b的等式，即1，考慮到焦距為4，這也是一個關于c的等式，2c4，即c2.再有雙曲線自身的一個等式a2b2c2，這樣，三個方程，三個未知量，可以解出a1，b，c2，所以，離心率e2.答案2三、解答題13已知雙曲線E的中心為原點，F(xiàn)(3,0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N(12，15)，則E的方程解析 設雙曲線的標準方程為1(a0，b0)，由題意知c3，a2b29，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：兩式作差得：，又AB的斜率是1，所以將4b25a2代入a2b29得a24，b25.所以雙曲線的標準方程是1.14求適合下列條件的雙曲線方程(1)焦點在y軸上，且過點(3，4)、.(2)已知雙曲線的漸近線方程為2x3y0，且雙曲線經(jīng)過點P(，2)解析(1)設所求雙曲線方程為1(a0，b0)，則因為點(3，4)，在雙曲線上，所以點的坐標滿足方程，由此得令m，n，則方程組化為解方程組得a216，b29.所求雙曲線方程為1.(2)由雙曲線的漸近線方程yx，可設雙曲線方程為(0)雙曲線過點P(，2)，故所求雙曲線方程為y2x21.15設A，B分別為雙曲線1(a0，b0)的左，右頂點，雙曲線的實軸長為4，焦點到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線yx2與雙曲線的右支交于M、N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使t，求t的值及點D的坐標解析(1)由題意知a2，一條漸近線為yx，即bx2y0，b23，雙曲線的方程為1.(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，則x1x2tx0，y1y2ty0，將直線方程代入雙曲線方程得x216x840，則x1x216，y1y212，t4，點D的坐標為(4，3)16已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，)(1)求雙曲線方程；(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：0；(3)求F1MF2的面積解析 (1) e，設雙曲線方程為x2y2.又雙曲線過(4，)點，16106，雙曲線方程為x2y26.(2)證明法一由(1)知ab，c2，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2，又點(3，m)在雙