歷年考研數學一真題1987-20161987年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (5)已知三維向量空間的基底為則向量在此基底下的坐標是_.三、(本題滿分7分) (2)設矩陣和滿足關系式其中求矩陣五、選擇題(本題共4小題,每小題3分,滿分12分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(4)設為階方陣，且的行列式而是的伴隨矩陣，則等于(A)(B) (C) (D) 九、（本題滿分8分）問為何值時,現線性方程組 有唯一解,無解,有無窮多解?并求出有無窮多解時的通解.1988年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷二、填空題(本題共4小題,每小題3分,滿分12分.把答案填在題中橫線上) (4)設4階矩陣其中均為4維列向量,且已知行列式則行列式= _.三、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(5)維向量組線性無關的充要條件是(A)存在一組不全為零的數使(B)中任意兩個向量均線性無關(C)中存在一個向量不能用其余向量線性表示(D)中存在一個向量都不能用其余向量線性表示七、（本題滿分6分）已知其中求八、（本題滿分8分）已知矩陣與相似.(1)求與(2)求一個滿足的可逆陣1989年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (5)設矩陣則矩陣=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內) (5)設是階矩陣,且的行列式則中(A)必有一列元素全為0(B)必有兩列元素對應成比例(C)必有一列向量是其余列向量的線性組合(D)任一列向量是其余列向量的線性組合三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)七、（本題滿分6分）問為何值時,線性方程組有解,并求出解的一般形式.八、（本題滿分8分）假設為階可逆矩陣的一個特征值,證明(1)為的特征值.(2)為的伴隨矩陣的特征值. 1990年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (5)已知向量組則該向量組的秩是_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內) (5)已知、是非齊次線性方程組的兩個不同的解、是對應其次線性方程組的基礎解析、為任意常數,則方程組的通解(一般解)必是(A)(B) (C)(D) 七、（本題滿分6分）設四階矩陣且矩陣滿足關系式其中為四階單位矩陣表示的逆矩陣表示的轉置矩陣.將上述關系式化簡并求矩陣八、（本題滿分8分） 求一個正交變換化二次型成標準型.1991年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (5)設4階方陣則的逆陣=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內) (5)設階方陣、滿足關系式其中是階單位陣,則必有(A)(B) (C)(D) 七、（本題滿分8分）已知及(1)、為何值時不能表示成的線性組合?(2)、為何值時有的唯一的線性表示式?寫出該表示式.八、（本題滿分6分）設是階正定陣是階單位陣,證明的行列式大于1.1992年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (5)設其中則矩陣的秩=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內) (5)要使都是線性方程組的解,只要系數矩陣為(A)(B) (C)(D) 八、（本題滿分7分）設向量組線性相關,向量組線性無關,問:(1)能否由線性表出?證明你的結論.(2)能否由線性表出?證明你的結論.九、（本題滿分7分）設3階矩陣的特征值為對應的特征向量依次為又向量(1)將用線性表出.(2)求為自然數).1993年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (5)設階矩陣的各行元素之和均為零,且的秩為則線性方程組的通解為_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內) (5)已知為三階非零矩陣,且滿足則(A)時的秩必為1B)時的秩必為2 (C)時的秩必為1(D)時的秩必為2 七、（本題滿分8分）已知二次型通過正交變換化成標準形求參數及所用的正交變換矩陣.八、（本題滿分6分）設是矩陣是矩陣,其中是階單位矩陣,若證明的列向量組線性無關.1994年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (5)已知設其中是的轉置,則=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(5)已知向量組線性無關,則向量組(A)線性無關(B)線性無關 (C)線性無關(D)線性無關 八、（本題滿分8分）設四元線性齊次方程組()為 ,又已知某線性齊次方程組()的通解為(1)求線性方程組()的基礎解析. (2)問線性方程組()和()是否有非零公共解?若有,則求出所有的非零公共解.若沒有,則說明理由.九、（本題滿分6分）設為階非零方陣是的伴隨矩陣是的轉置矩陣,當時,證明1995年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (5)設三階方陣滿足關系式且則=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內) (5)設則必有(A)(B) (C)(D) 八、（本題滿分7分）設三階實對稱矩陣的特征值為對應于的特征向量為求九、（本題滿分6分）設為階矩陣,滿足是階單位矩陣是的轉置矩陣求1996年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (5)設是矩陣,且的秩而則=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(5)四階行列式的值等于(A)(B) (C)(D) 八、（本題滿分6分）設其中是階單位矩陣是維非零列向量是的轉置.證明(1)的充分條件是(2)當時是不可逆矩陣.九、（本題滿分8分）已知二次型的秩為2,(1)求參數及此二次型對應矩陣的特征值.(2)指出方程表示何種二次曲面.1997年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(4)設為三階非零矩陣,且則=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內) (4)設則三條直線 (其中)交于一點的充要條件是(A)線性相關(B)線性無關(C)秩秩(D)線性相關線性無關七、(本題共2小題,第(1)小題5分,第(2)小題6分,滿分11分)(1)設是秩為2的矩陣是齊次線性方程組的解向量,求的解空間的一個標準正交基.(2)已知是矩陣的一個特征向量.1)試確定參數及特征向量所對應的特征值.2)問能否相似于對角陣?說明理由.八、（本題滿分5分）設是階可逆方陣,將的第行和第行對換后得到的矩陣記為(1)證明可逆.(2)求1998年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (4)設為階矩陣為的伴隨矩陣為階單位矩陣.若有特征值則必有特征值_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(4)設矩陣是滿秩的,則直線與直線(A)相交于一點(B)重合(C)平行但不重合（D)異面十、（本題滿分6分）已知二次曲面方程可以經過正交變換化為橢圓柱面方程求的值和正交矩陣十一、（本題滿分4分） 設是階矩陣,若存在正整數使線性方程組有解向量且 證明:向量組是線性無關的.十二、（本題滿分5分）已知方程組() 的一個基礎解析為試寫出線性方程組() 的通解,并說明理由.1999年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (4)設階矩陣的元素全為1,則的個特征值是 _.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內) (4)設是矩陣,是矩陣,則(A)當時,必有行列式(B)當時,必有行列式(C)當時,必有行列式 (D)當時,必有行列式十、(本題滿分8分)設矩陣其行列式又的伴隨矩陣有一個特征值,屬于的一個特征向量為求和的值.十一、(本題滿分6分)設為階實對稱矩陣且正定,為實矩陣,為的轉置矩陣,試證為正定矩陣的充分必要條件是的秩2000年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(4)已知方程組無解,則= _.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.(4)設維列向量組線性無關,則維列向量組線性無關的充分必要條件為(A)向量組可由向量組線性表示 (B)向量組可由向量組線性表示(C)向量組與向量組等價 (D)矩陣與矩陣等價十、(本題滿分6分)設矩陣的伴隨矩陣且,其中為4階單位矩陣,求矩陣.十一、(本題滿分8分)某適應性生產線每年1月份進行熟練工與非熟練工的人數統計,然后將熟練工支援其他生產部門,其缺額由招收新的非熟練工補齊.新、老非熟練工經過培訓及實踐至年終考核有成為熟練工.設第年1月份統計的熟練工與非熟練工所占百分比分別為和記成向量(1)求與的關系式并寫成矩陣形式:(2)驗證是的兩個線性無關的特征向量,并求出相應的特征值. (3)當時,求2001年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(4)設,則= _.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(4)設,則與(A)合同且相似 (B)合同但不相似(C)不合同但相似 (D)不合同且不相似九、(本題滿分6分)設為線性方程組的一個基礎解系,其中為實常數,試問滿足什么條件時也為的一個基礎解系?十、(本題滿分8分)已知三階矩陣和三維向量,使得線性無關,且滿足.(1)記求使.(2)計算行列式.2002年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(4)已知實二次型經正交變換可化為標準型,則=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(4)設有三張不同平面,其方程為()它們所組成的線性方程組的系數矩陣與增廣矩陣的秩都為2,則這三張平面可能的位置關系為九、(本題滿分6分)已知四階方陣, 均為四維列向量,其中線性無關,.若,求線性方程組的通解.十、(本題滿分8分)設為同階方陣,(1)若相似,證明的特征多項式相等.(2)舉一個二階方陣的例子說明(1)的逆命題不成立.(3)當為實對稱矩陣時,證明(1)的逆命題成立.2003年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上) (4)從的基到基的過渡矩陣為 .二、選擇題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(4)設向量組I:可由向量組II:線性表示,則(A)當時,向量組II必線性相關 (B)當時,向量組II必線性相關(C)當時,向量組I必線性相關 (D)當時,向量組I必線性相關(5)設有齊次線性方程組和,其中均為矩陣,現有4個命題: 若的解均是的解,則秩秩 若秩秩,則的解均是的解 若與同解,則秩秩 若秩秩, 則與同解以上命題中正確的是(A)(B)(C)(D)九 、(本題滿分10分)設矩陣,求的特征值與特征向量,其中為的伴隨矩陣,為3階單位矩陣.十 、(本題滿分8分)已知平面上三條不同直線的方程分別為 , , .試證這三條直線交于一點的充分必要條件為2004年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(5)設矩陣,矩陣滿足,其中為的伴隨矩陣,是單位矩陣,則=_ .二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(11)設是3階方陣,將的第1列與第2列交換得,再把的第2列加到第3列得,則滿足的可逆矩陣為(A) (B) (C) (D)(12)設為滿足的任意兩個非零矩陣,則必有(A)的列向量組線性相關的行向量組線性相關(B)的列向量組線性相關的列向量組線性相關 (C)的行向量組線性相關的行向量組線性相關(D)的行向量組線性相關的列向量組線性相關(20)(本題滿分9分)設有齊次線性方程組試問取何值時,該方程組有非零解,并求出其通解.(21)(本題滿分9分)設矩陣的特征方程有一個二重根,求的值,并討論是否可相似對角化.2005年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(5)設均為3維列向量,記矩陣,如果,那么 .二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(11)設是矩陣的兩個不同的特征值,對應的特征向量分別為,則,線性無關的充分必要條件是(A) (B) (C) (D)(12)設為階可逆矩陣,交換的第1行與第2行得矩陣分別為的伴隨矩陣,則(A)交換的第1列與第2列得 (B)交換的第1行與第2行得 (C)交換的第1列與第2列得 (D)交換的第1行與第2行得 (20)(本題滿分9分)已知二次型的秩為2.(1)求的值；(2)求正交變換,把化成標準形.(3)求方程=0的解.(21)(本題滿分9分)已知3階矩陣的第一行是不全為零,矩陣(為常數),且,求線性方程組的通解.2006年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(5)設矩陣,為2階單位矩陣,矩陣滿足,則= .(6)設隨機變量與相互獨立,且均服從區間上的均勻分布,則= .二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分. 每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(11)設均為維列向量,是矩陣,下列選項正確的是(A)若線性相關,則線性相關(B)若線性相關,則線性無關(C)若線性無關,則線性相關 (D)若線性無關,則線性無關.(12)設為3階矩陣,將的第2行加到第1行得,再將的第1列的-1倍加到第2列得,記,則(A)(B) (C)(D)(20)(本題滿分9分)已知非齊次線性方程組有3個線性無關的解,(1)證明方程組系數矩陣的秩.(2)求的值及方程組的通解.(21)(本題滿分9分)設3階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.(1)求的特征值與特征向量.(2)求正交矩陣和對角矩陣,使得.2007年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、選擇題(本題共10小題,每小題4分,滿分40分,在每小題給的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后括號內)(7)設向量組線性無關,則下列向量組線形相關的是(A) (B) (C) (D)(8)設矩陣,則與(A)合同,且相似 (B)合同,但不相似 (C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似二、填空題(1116小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上)(15)設矩陣,則的秩為_.(21)(本題滿分11分)設線性方程組與方程 有公共解,求的值及所有公共解.(22)(本題滿分11分)設3階實對稱矩陣的特征向量值是的屬于特征值的一個特征向量,記其中為3階單位矩陣.(1)驗證是矩陣的特征向量,并求的全部特征值與特征向量.(2)求矩陣.2008年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內.)(5)設為階非零矩陣,為階單位矩陣. 若,則(A)不可逆,不可逆(B)不可逆,可逆(C)可逆,可逆 (D)可逆,不可逆二、填空題(9-14小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.)(13)設為2階矩陣,為線性無關的2維列向量,則的非零特征值為.(20)(本題滿分11分),為的轉置,為的轉置.證明:(1). (2)若線性相關,則.(21)(本題滿分11分)設矩陣,現矩陣滿足方程,其中,(1)求證.(2)為何值,方程組有唯一解,求.(3)為何值,方程組有無窮多解,求通解.2009年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內.)(5)設是3維向量空間的一組基,則由基到基的過渡矩陣為(A)(B) (C)(D)(6)設均為2階矩陣,分別為的伴隨矩陣,若,則分塊矩陣的伴隨矩陣為(A)(B) (C)(D)二、填空題(9-14小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.)(13)若3維列向量滿足,其中為的轉置,則矩陣的非零特征值為 .(20)(本題滿分11分)設,(1)求滿足的.的所有向量,. (2)對(1)中的任意向量,證明無關.(21)(本題滿分11分)設二次型.(1)求二次型的矩陣的所有特征值; (2)若二次型的規范形為,求的值.2010年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內.)(5)設為型矩陣為型矩陣,若則(A)秩秩(B)秩秩 (C)秩秩(D)秩秩(6)設為4階對稱矩陣,且若的秩為3,則相似于(A)(B) (C)(D) 二、填空題(9-14小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.)(13)設若由形成的向量空間的維數是2,則= .(20)(本題滿分11分)設已知線性方程組存在兩個不同的解.(1)求(2)求方程組的通解.(21)(本題滿分11分)設二次型在正交變換下的標準形為且的第三列為(1)求(2)證明為正定矩陣,其中為3階單位矩陣.2011年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內.)5、設A為3階矩陣，把A的第二列加到第一列得到矩陣B ，再交換B的第二行與第3行得到單位陣E，記，則A=（ ）A B C D 6、設是4階矩陣，為A的伴隨矩陣。若是的一個基礎解系，則的基礎解系可為（ ）A B C D 二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定的位置上。13、若二次曲面的方程，經正交變換化為，則20、（本題滿分11分）設向量組，不能由向量組，線性表示；（1） 求的值；（2） 將用線性表示；21、（本題滿分11分）A為3階實對稱矩陣，A的秩為2，且求（1）A的特征值與特征向量 （2） 矩陣A2012年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.（5）設其中為任意常數，則下列向量組線性相關的是（ ）（A） （B） （C） （D）（6）設為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且，則（ ）（A） （B） （C） （D）二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（13）設X為三維單位向量，E為三階單位矩陣，則矩陣的秩為_。（20）（本題滿分10分）設，（）求（）已知線性方程組有無窮多解，求，并求的通解。（21）（本題滿分10分）三階矩陣，為矩陣的轉置，已知，且二次型。1）求 2）求二次型對應的二次型矩陣，并將二次型化為標準型，寫出正交變換過程。2013碩士研究生入學考試數學一5.設A,B,C均為n階矩陣，若AB=C，且B可逆，則（ ）A.矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價B矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價C矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價D矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價6.矩陣與相似的充分必要條件為（ ）A. B. 為任意常數 C. D. 為任意常數13.設A=(aij)是3階非零矩陣，為A的行列式，Aij為aij的代數余子式.若aij+Aij=0(i，j=1,2,3），則A。20.（本題滿分11分）設，當a