九年級相似三角形動點問題 相似三角形動點問題一選擇題（共1小題）1如圖，小正方形的邊長均為1，每個小格的頂點稱為格點，以格點連線為邊的三角形叫格點三角形在如圖55的方格中，作格點三角形和ABC相似，則所作的格點三角形中，最小面積和最大面積分別為（）A0.5，2.5B0.5，5C1，2.5D1，5解：如圖所示，DEF和GHI分別是面積最小和面積最大的三角形因為DEF，GHI和ABC都相似，AB=，DE=1，GH=，所以它們的相似比為DE：AB=1：，GH：AB=：，又因為相似三角形的面積比等于相似比的平方，而ABC的面積為21=1，故DEF和GHI面積分別為0.5，5故選B二填空題（共10小題）2如圖，P是RtABC斜邊AB上的動點（P異于A、B），C=90，B=30，過點P的直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，當=或或時，截得的三角形面積為ABC面積的716358解：設P（lx）截得的三角形面積為S，S=SABC，則相似比為1：2，第1條l1，此時P為斜邊AB中點，l1AC，第2條l2，此時P為斜邊AB中點，l2BC，第3條l3，此時BP與BC為對應邊，且=，第4條l4，此時AP與AC為對應邊，且 ，=，=，當=或或時，截得的三角形面積為RtABC面積的，故答案為：或或3如圖，在正方形ABCD中，M是BC邊上的動點，N在CO上，且，若AB=1，設BM=x，當x=或時，以A、B、M為頂點的三角形和以N、C、M為頂點的三角形相似相似三角形的性質；正方形的性質7，AB=1CN=1=，BM=x，CM=1x，當CN與BM是對應邊時，=，即=解得x=，當CN與AB是對應邊時，=，即=，解得x=綜上所述，x的值是或故答案為：或4.在ABC中，P是AB上的動點（P異于A、B），過點P的直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點P的ABC的相似線，簡記為P（lx）（x為自然數）（1）如圖，A=90，B=C，當BP=2PA時，P（l1）、P（l2）都是過點P的ABC的相似線（其中l1BC，l2AC），此外，還有1條；（2）如圖，C=90，B=30，當=或或時，P（lx）截得的三角形面積為ABC面積的分析：（1）過點P作l3BC交AC于Q，則APQABC，l3是第3條相似線；（2）按照相似線的定義，找出所有符合條件的相似線總共有4條，注意不要遺漏解：（1）存在另外 1 條相似線如圖1所示，過點P作l3BC交AC于Q，則APQABC；故答案為：1；（2）設P（lx）截得的三角形面積為S，S=SABC，則相似比為1：2如圖2所示，共有4條相似線：第1條l1，此時P為斜邊AB中點，l1AC，=；第2條l2，此時P為斜邊AB中點，l2BC，=；第3條l3，此時BP與BC為對應邊，且=，=；第4條l4，此時AP與AC為對應邊，且=，=，=故答案為：或或5如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，動點D從A點出發到B點止，動點E從C點出發到A點止點D運動的速度為1cm/秒，點E運動的速度為2cm/秒如果兩點同時運動，那么當以點A、D、E為頂點的三角形與ABC相似時，運動的時間是3秒或4.8秒71動點型；分析：如果以點A、D、E為頂點的三角形與ABC相似，由于A與A對應，那么分兩種情況：D與B對應；D與C對應根據相似三角形的性質分別作答解：如果兩點同時運動，設運動t秒時，以點A、D、E為頂點的三角形與ABC相似，則AD=t，CE=2t，AE=ACCE=122t當D與B對應時，有ADEABCAD：AB=AE：AC，t：6=（122t）：12t=3；當D與C對應時，有ADEACBAD：AC=AE：AB，t：12=（122t）：6，t=4.8故當以點A、D、E為頂點的三角形與ABC相似時，運動的時間是3秒或4.8秒三解答題（共19小題）1如圖，在ABC中，AB=6cm，AC=12cm，動點M從點A出發，以1cm秒的速度向點B運動，動點N從點C出發，以2cm秒的速度向點A運動，若兩點同時運動，是否存在某一時刻t，使得以點A、M、N為頂點的三角形與ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由動點型分析：首先設經過t秒時，AMN與ABC相似，可得AM=t，CN=2t，AN=122t（0t6），然后分別從當MNBC時，AMNABC與當AMN=C時，ANMABC去分析，根據相似三角形的對應邊成比例即可求得答案解：存在t=3秒或4.8秒，使以點A、M、N為頂點的三角形與ABC相似（無此過程不扣分）設經過t秒時，AMN與ABC相似，此時，AM=t，CN=2t，AN=122t（0t6），（1）當MNBC時，AMNABC，（1分）則，即，（3分）解得t=3；（5分）（2）當AMN=C時，ANMABC，（6分）則，即，（8分）解得t=4.8；（10分）故所求t的值為3秒或4.8秒2已知AOB=90，OM是AOB的平分線，按以下要求解答問題：（1）將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與邊OA，OB交于點C，D在圖甲中，證明：PC=PD；在圖乙中，點G是CD與OP的交點，且PG=PD，求POD與PDG的面積之比；（2）將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，一直角邊與邊OB交于點D，OD=1，另一直角邊與直線OA，直線OB分別交于點C，E，使以P，D，E為頂點的三角形與OCD相似，在圖丙中作出圖形，試求OP的長分析：（1）可通過構建全等三角形來求解；可根據相似比來求面積比（2）分兩種情況進行討論：當C在OA上上時；當C在OA延長線上時；解：（1）證明：過P作PHOA，PNOB，垂足分別為H，N，得HPN=90HPC+CPN=90CPN+NPD=90HPC=NPDOM是AOB的平分線PH=PN又PHC=PND=90PCHPDNPC=PDPC=PDPDG=45POD=45PDG=PODGPD=DPOPODPDG（2）若PC與邊OA相交，PDECDO令PDEOCDCDO=PEDCE=CDCOEDOE=ODOP=ED=OD=1若PC與邊OA的反向延長線相交過P作PHOA，PNOB，垂足分別為H，N，PEDEDC令PDEODCPDE=ODCOEC=PEDPDE=HCPPH=PN，RtPHCRtPNDHC=ND，PC=PDPDC=45PDO=PCH=22.5OPC=180POCOCP=22.5OP=OC設OP=x，則OH=ON=HC=DN=ODON=1HC=HO+OC=+x1=+xx=即OP=3如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，動點P從A出發以每秒2cm的速度向終點B運動，同時動點Q也從點A出發以每秒1cm的速度向終點E運動設運動的時間為t秒解答下列問題：（1）當0t3時，以A、P、Q為頂點的三角形能與ADE相似嗎？（不必說理由）（2）連接DQ，試求當t為何值時？ADQ為等腰三角形（3）求t為何值時？直線PQ平分矩形ABCD的面積716358 分析：（1）不能相似，因為相似時，只能AQP=90，QPA=30，而ADE中的銳角不能為30；（2）分為三種情況：當AD=AQ=3cm時，當DA=DQ時，過D作DMAE于M，當QA=QD時，求出AQ長即可；（3）連接AC，取AC中點O（即AO=OC），當直線PQ過O時，直線PQ平分矩形ABCD的面積，根據ROCPOA，求出CR=AP=2t，得出RE=2t2，EQ=5t，根據RQEPQA得出=，代入求出即可解：（1）不能相似；（2）四邊形ABCD是矩形，DC=AB=6cm，ADC=90，分為三種情況：當AD=AQ=3cm時，此時t=3； 當DA=DQ時，過D作DMAE于M，在RtADE中，AD=3，DE=DCCE=6cm2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，由三角形的面積公式得：SADE=ADDE=AEDM，DM=cm，在RtADM中，由勾股定理得：AM=（cm），DMAQ，AD=DQ，AQ=2AM=cm（三線合一定理），即t=； 當QA=QD時，過Q作QNAD于N，則AN=ND=，ADC=ANQ=90QNDC，DN=AN，EQ=AQ=AE=5cm=cm，即t=綜合上述，當t為3秒或秒或秒時，ADQ是等腰三角形（3）連接AC，取AC中點O（即AO=OC），當直線PQ過O時，直線PQ平分矩形ABCD的面積，四邊形ABCD是矩形，DCAB，OCR=OAP，在ROC和POA中，ROCPOA（ASA），CR=AP=2t，CE=2，RE=2t2，EQ=5t，DCAB，RQEPQA，=，=，解得：t1=3，t2=0（舍去）即t=3秒時，直線PQ平分矩形ABCD的面積4已知：RtOAB在直角坐標系中的位置如圖所示，P（3，4）為OB的中點，點C為折線OAB上的動點，線段PC把RtOAB分割成兩部分在圖上畫出所有線段PC，使分割得到的三角形與RtOAB相似，并直接寫出點C的坐標7163分析：根據平行于三角形一邊的直線分成的三角形與原三角形相似，可得PCAB，PCOA時，分割得到的三角形與RtOAB相似，根據網格結構寫出此時點C的坐標即可；又當PCOB時，分割得到的三角形與RtOAB也相似，根據網格結構，利用勾股定理求出OB的長度，然后根據相似三角形對應邊成比例列式求出BC的長度，再求出AC的長度，從而得到此時點C的坐標解：如圖，PCAB時，OCPOAB，此時點C的坐標為（3，0），PCOA時，PCBOAB，此時點C的坐標為（6，4），PCOB時，CPBOAB，根據勾股定理得，OB=10，P（3，4）為OB的中點，PB=OB=5，=，即=，解得BC=，AC=ABBC=8=，此時點C的坐標為（6，），綜上所述，點C的坐標為（3，0），（6，4），（6，）5如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm某一時刻，動點M從A點出發沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，問：（1）經過多少時間，AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由動點型分析：（1）關于動點問題，可設時間為x，根據速度表示出所涉及到的線段的長度，找到相等關系，列方程求解即可，如本題中利用，AMN的面積等于矩形ABCD面積的作為相等關系；（2）先假設相似，利用相似中的比例線段列出方程，有解的且符合題意的t值即可說明存在，反之則不存在解：（1）設經過x秒后，AMN的面積等于矩形ABCD面積的，則有：（62x）x=36，即x23x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）經檢驗，可知x1=1，x2=2符合題意，所以經過1秒或2秒后，AMN的面積等于矩形ABCD面積的（4分）（2）假設經過t秒時，以A，M，N為頂點的三角形與ACD相似，由矩形ABCD，可得CDA=MAN=90，因此有或（5分）即，或（6分）解，得t=；解，得t=（7分）經檢驗，t=或t=都符合題意，所以動點M，N同時出發后，經過秒或秒時，以A，M，N為頂點的三角形與ACD相似6RtABC中，C=90，AC=6厘米，BC=8厘米，動點P從點A開始在線段AC上以1厘米/秒的速度向點C移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以2厘米/秒的速度向點A移動，當一個動點先運動到終點時，整個運動過程結束設點P、Q移動的時間為t秒（1）設APQ的面積為y（厘米2），請你求出y與t的函數關系式，寫出自變量t的取值范圍，并求出當t為何值時，APQ的面積最大；（2）在整個運動過程中，是否會存在以點A、P、Q為頂點的三角形與ABC相似？若存在，請你求出此時t的值；若不存在，請你說明理由71分析：（1）根據已知條件求出AB的長，再過點Q作QHAC，交AC與點H，的長QHABCA，求出，即可求出QH的值，最后求SAPQ的值；（2）存在在以點A、P、Q為頂點的三角形與ABC相似，此小題要分兩種情況進行討論，當APQ=90時，APQABC，求出t的值；當PQA=90時，APQABC，求出t的值，經檢驗它們都符合題意即可解：（1）BC=8，AC=6，得AB=10，AP=t，CP=6t，BQ=2t，AQ=102t，過點Q作QHAC，交AC與點H，QHABCA，QH=8t，SAPQ=APQH=t（8t）=4tt2；當t=時，面積有最大值，是4（）2=5=；（2）當APQ=90時，APQABC，則，t=；當PQA=90時，APQABC，則，則，解得t=，當t為或時，經檢驗，它們都符合題意，此時AQP和ABC相似，故存在以點A、P、Q為頂點的三角形與ABC相似7如圖，在正方形網格上有若干個三角形，找出與ABC相似的三角形分析：可利用正方形的邊把對應的線段表示出來，利用三邊對應成比例兩個三角形相似，分別計算各邊的長度即可解題解：觀察可以發現AC=AB，故該三角形中必須有一條邊與鄰邊的比值為EBF中，BF=，EF=，BF=5，DIB中，DI=2，DB=2，BI=2，HFE中，HF=，HE=2，EF=，ABC中，AB=1，AC=，BC=，計算對應邊比值即可求得EBFDIBHFEABC8如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AD=2，BC=10，對角線AC=4，動點E從點B出發，以2cm/s的速度向點C運動，運動時間為t（s）（0t5）那么當t為何值時，以A、E、C為頂點的三角形與ADC相似71分析：由于ADBC，得DAC=BCA；若以A、E、C為頂點的三角形與ADC相似，可得兩種情況：ADCCEA，此時對應邊AD=AD，則兩三角形全等，AD=EC=2；ADCCAE，此時AD：AC=AC：CE，根據所得的比例式，即可求出CE的長；根據上述兩種情況所得出的CE的值，再除以B點的速度，即可求出時間t的值解：ADBC，DAC=BCA；當ADCCEA時，即EC=AD=2，t=22=1s；當ADCCAE時，即CE=AC2AD=8，t=82=4s；故當t為1s或4s時，以A、E、C為頂點的三角形與ADC相似9如圖，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm動點M從點A出發，以每秒1cm的速度沿AC向終點C移動，同時動點P從點B出發，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM，設移動時間為t（單位：秒，0t2.5）當t為何值時，以A，P，M為頂點的三角形與ABC相似？分析：根據勾股定理求出AB，根據相似得出兩種情況，根據相似得出比例式，代入比例式求出即可解：如圖，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm根據勾股定理，得AB=5cm，以A，P，M為頂點的三角形與ABC相似，分兩種情況：當AMPABC時，=，即=，解得t=；當APMABC時，=時，即=，解得t=，綜上所述，當t=或t=時，以A、P、M為頂點的三角形與ABC相似選作題1在ABC中，C=90（1）如圖1，P是AC上的點，過點P作直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似例如：過點P作PDBC交AB于D，則截得的ADP與ABC相似請你在圖中畫出所有滿足條件的直線（2）如圖2，Q是BC上異于點B，C的動點，過點Q作直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，直接寫出滿足條件的直線的條數（不要求畫出具體的直線） 716358 分析：（1）根據平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似，可以作DPBC，PEAB；又由有兩個角對應相等的三角形相似，可以過點P作PGAB交AC于點G，過點P作PFC=A即可；（2）本題需要根據BQ的取值范圍不同，所畫的直線條數不同討論即可解：（1）如圖所示：（2）當0BQ時，滿足條件的直線有3條；當BQ6時，滿足條件的直線有4條2已知：如圖，在平面直角坐標系中，A、B兩點分別在x軸，y軸的正半軸上，點A（6，0），BAO=30（1）求點B的坐標；（2）點P是線段AB上的動點，若使POA為等腰三角形，求點P的坐標；（3）在第一象限內是否存在點Q，使得以Q、O、B為頂點的三角形與OAB相似？若存在，請求出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由分析：（1）在直角三角形AOB中，由OA與tan30的值求出OB的長，即可確定出B的坐標；（2）P為線段AB上的動點，若使POA為等腰三角形，則有OP=PA或PA=AO兩種情況，如圖1所示，當OP1=P1A時，連接OP1，作P1C1OA，則C1為AO的中點，P1C1為AOB的中位線，求出P1C1與OC1的長，確定出此時P1的坐標；當P2A=AO時，連接OP2，作P2C2OA，可得出P2A=AO=6，P2AO=30，在RtP2AC中，求出P2C與AC2的長，進而確定出OC2的長，確定出此時P2的坐標