基本公式：（1）N排N列的實心方陣人數為N2人；（2）M排N列的實心長方陣人數為MN人；（3）N排N列的方陣，最外層有4N-4人；（4）在方陣或者長方陣中，相鄰兩圈人數，外圈比內圈多8人；（5）空心正M邊形陣，若每邊有N個人，則共有MN-M個人；（6）方陣中：方陣人數(最外層人數41)2。方陣問題兩大常見思維方法：（1）重疊點思維：若有邊與邊的重疊情況，把各邊點數相加時重疊點計算了兩次，因此需要再減去重疊點個數，才是最終的全部數目；（2）逆向法思維：如果需要計算“某種形狀”的“某種外層”的數目，用整體數目減去內部的數目是一種常用的思維方法。【例1】（國家2002A類-9、國家2002B類-18）某學校學生排成一個方陣，最外層的人數是60人，問這個方陣共有學生多少人？（）A. 256人 B. 250人 C. 225人 D. 196人答案A解析根據公式：方陣人數(最外層人數41)2（6041）2256（人）。【例2】（浙江2003-18）某校的學生剛好排成一個方陣，最外層的人數是96人，則這個學校共有學生（）。A. 600人 B. 615人 C. 625人 D. 640人 強華教育公務員考試輔導 答案C解一根據公式：方陣人數(最外層人數41)2（9641）2625（人）。解二數字特性法：方陣的人數應該是一個完全平方數，所以結合選項，選擇C。【例3】（廣西2008-11）參加閱兵式的官兵排成一個方陣，最外層的人數是80人，問這個方陣共有官兵多少人？（）A 441 B. 400 C. 361 D. 386答案A解析根據公式：方陣人數(最外層人數41)2（8041）2441（人）。【例4】（國家2005一類-44、國家2005二類-44）小紅把平時節省下來的全部五分硬幣先圍成一個正三角形，正好用完，后來又改圍成一個正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價值是多少？（） A. 1元 B. 2元 C. 3元 D. 4元答案C解一設正方形每邊x枚硬幣，三角形每邊y枚硬幣，一共有N枚硬幣，根據公式可得方程組：N=4x4N=3y-3N=60y-x=5，因為每枚硬幣5分，所以總價值3元。注釋 這里圍成的三角形和正方形都指的是空心的。解二根據數字特性法：硬幣能圍成正三角形硬幣的個數是3的倍數硬幣的價值可以三等分根據選項選擇C。 公務員考試網 【例5】（北京社招2006-16）用10張同樣長的紙條粘接成一條長61厘米的紙條，如果每個接頭處都重疊1厘米，那么每條紙條長多少厘米？（）A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5答案C解析重疊點思維：假設每張紙條有x厘米長，總長度應該是10x，但一共有9個接口，每個接口處都重疊1厘米，因此重復計算了9厘米，據此可得：10x-9=61x=7。【例6】參加中學生運動會團體操表演的運動員排成一個正方形隊列，若減少一行一列，則要減少49人，則參加團體操表演的運動員共（）人。A. 576 B. 625 C. 676 D. 2401答案B解析重疊點思維：假設每邊有x人，則一行一列共有（2x-1）人（注意該行與列的交叉點上的人被重復計算了兩遍），有方程：2x-1=49，解得x=25。共有252=625人。【例7】（廣東2005下-11）要在一塊邊長為48米的正方形地里種樹苗，已知每橫行相距3米，每豎列相距6米，四角各種一棵樹，問一共可種多少棵樹苗?（）A. 128棵 B. 132棵 C. 153棵 D. 157棵答案C解析根據公式：棵數=總長間隔+1。邊長為48米，每橫行相距3米，共有483+1=17行；邊長為48米，每橫行相距6米，共有486+1=9列；可得：179=153（棵），一共可種樹苗153棵。 【例8】一些解放軍戰士組成一個長方陣，經一次隊列變換后，增加了6行，減少了10列，恰組成一個方陣，一個人也不多，一個人也不少。則原長方形陣共有（）人。A. 196 B. 225 C. 256 D. 289答案B解析設該正方形陣每邊x人，則原長方形陣為（x-6）行，（x+10）列。x2=（x-6）（x+10）x=15，因此共有152=225人，選擇B。【例9】奧運會前夕，在廣場中心周圍用2008盆花圍成了一個兩層的空心方陣。則外層有（）盆花。A. 251 B. 253 C. 1000 D. 1008答案D解一設外層有m盆，內層有n盆，根據公式：m-n=8。則：m-n=8m+n=2008m=1008n=1000解二設該方陣外層每邊x盆，根據“逆向法思維”：x2-（x-4）2=2008x=253，外層每邊有253盆，根據公式：外層共有2534-4=1008。【例10】（江蘇2009-74）有一列士兵排成若干層的中空方陣，外層共有68人，中間一層共有44人，則該方陣士兵的總人數是（）。A. 296人 B. 308人 C. 324人 D. 348人答案B解一最外層68人，中間一層44人，則最內層為4426820人（成等差數列）。因此一共有：68-20817（層），總人數為447308。 強華教育公務員考試輔導解二中間一層共44人，總人數是44層數，是44的倍數，結合選項直接鎖定B。【例11】有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層的人數共48人，最內層人數為24人，則該方陣共有（）人。A. 120 B. 144 C. 176 D. 194答案B解一設最外層每邊x人，最內層每邊y人，根據公式：4x-4=484y-4=24x=13y=7因此外層每邊13人，內部空心部分每邊7-25人，根據“逆向法思維”：共有132-52=144人。解二總人數（48+24）層數236層數，是36的倍數，直接鎖定B。解三根據公式：相鄰兩圈相差8，因此很容易得到這幾圈分別為48、40、32、24，直接加起來即可。【例12】有若干人，排成一個空心的四層方陣。現在調整陣形，把最外邊一層每邊人數減少16人，層數由原來的四層變成八層，則共有（）人。A. 160 B. 1296 C. 640 D. 1936答案C解析設調整前最外層每邊x人，調整后每邊y人，根據“逆向法思維”：x-y=16x2-（x-8）2=y2-（y-16）2x=44y=28因此：442-（44-8）2=640（人）。 過河問題基本知識點1.M個人過河，船上能載N個人，由于需要一人劃船，故共需過河M-1N-1次（分子、分母分別減“1”是因為需要1個人劃船，如果需要n個人劃船就要同時減去n）；2.“過一次河”指的是單程，“往返一次”指的是雙程；3.載人過河的時候，最后一次不再需要返回。【例1】（廣東2005上-10）有37名紅軍戰士渡河，現僅有一只小船，每次只能載5人，需要幾次才能渡完？（）A. 7次 B. 8次 C. 9次 D. 10次答案C解析根據公式：37-15-13649次。【例2】（北京應屆2006-24）49名探險隊員過一條小河，只有一條可乘7人的橡皮船，過一次河需3分鐘。全體隊員渡到河對岸需要多少分鐘？（）A. 54 B. 48 C. 45 D. 39答案C解析根據公式：全部渡過需要49-17-14868次，前七次渡河需要往返各一次；第八次渡河則只需過河一次，所以八次渡河共需過十五次河（即15個單程），每次過河需要3分鐘，所以共需要45分鐘。【例3】有42個人需要渡河，現僅有一只小船，每次只能載6人，但需要3個人劃船。請問一共需要幾次才能渡完？（） / A. 10次 B. 11次 C. 12次 D. 13次答案D解析根據公式：42-36-33913次。【例4】有一只青蛙掉入一口深10米的井中。每天白天這只青蛙跳上4米晚上又滑下3米，則這只青蛙經過多少天可以從井中跳出?（）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10答案A解析除最后一天外，青蛙每天白天跳上4米，而晚上又滑下3米，一晝夜來回共上升1米，所以第六天到了“第6米”的地方，第七天的時候，再向上跳四米，那么白天就可以跳出井外，所以答案應該選擇A。注釋本題相當于一個“過河問題”，一共10個人，船上能承載4個人，但需要3個人劃船，所以共需要10-34-3=7天。【題5】有一只青蛙掉入一口深20米的井中。每天白天這只青蛙跳上5米晚上又滑下3米，則這只青蛙經過多少天可以從井中跳出?（）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10答案C解析看作“過河問題”，20-35-3=8.5，所以需要9天。【例6】（國家2007-54）32名學生需要到河對岸去野營，只有一條船，每次最多載4人（其中需1人劃船），往返一次需5分鐘，如果9時整開始渡河，9時17分時，至少有（）人還在等待渡河。 #中國公務員考試信息網A. 15 B. 17 C. 19 D. 22 答案C解析由于9時開始渡河，往返一次需5分鐘，9點、9點5分、9點10分、9點15分，船各運一批人