許昌高中2021屆高二尖子生上學期期初考試數學試題（文科）一、選擇題1.已知等差數列的通項公式為， 則它的公差為 （ ）A. 2B. 3C. D. 【答案】C【解析】試題分析：由可得，所以公差故C正確考點：等差數列的定義2.在ABC中，若，則A與B的大小關系為（ ）A. B. C. D. A、B的大小關系不能確定【答案】A【解析】【詳解】因為在中，利用正弦定理，則可知ab，那么再利用大邊對大角，因此選A.3.已知，則取最大值時的值為()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】配湊成和為定值，再利用均值不等式。【詳解】當且僅當即時取等，所以選A.【點睛】法一：構造和為定值，再利用均值不等式。法二：根據函數的單調性求解。4.同學們，當你任意擺放手中筆的時候，那么桌面所在的平面一定存在直線與筆所在的直線 A. 平行B. 相交C. 異面D. 垂直【答案】D【解析】分析】由題設條件可知，可以借助投影的概念對及三垂線定理選出正確選項【詳解】解：由題意，若筆所在直線若與地面垂直，則在地面總有這樣的直線，使得它與筆所在直線垂直；若筆所在直線若與地面不垂直，則其必在地面上有一條投影線，在平面中一定存在與此投影線垂直的直線，由三垂線定理知，與投影垂直的直線一定與此斜線垂直，綜上，當你任意擺放手中筆的時候，那么桌面所在的平面一定存在直線與筆所在的直線垂直故選：D【點睛】本題考查空間中直線與平面之間的位置關系，解題的關鍵是熟練掌握線面垂直與三垂線定理，再結合直線與地面位置關系的判斷得出答案5.已知某等差數列共有項，其奇數項之和為，偶數項之和為，則其公差為()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】所有偶數項減所有的奇數項=10d【詳解】，選B.【點睛】每一個偶數項前面都有一個奇數項，他們的差值為d.6.設是由正數組成的等比數列，且，那么的值是().A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】同底對數相加，真數相乘。利用等比數列性質計算【詳解】又所以故選B【點睛】本題考查同底對數的運算，等差數列的性質，屬于基礎題。7.下列推理錯誤的是（）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】ABC正確，當c=0時D錯誤【詳解】A選項：在兩邊同時除以ab得到，正確B選項:又所以有，正確。C選項: 又，所以有即正確D選項：當c=0時不成立，錯誤故選D【點睛】本題考查不等式的性質，屬于基礎題。8.已知非零向量，若，則與的夾角（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據條件容易求出t=4，從而得出，從而得出可設與的夾角為，這樣根據 即可求出cos，進而得出的值【詳解】因t=4；，設與的夾角為，則：，故答案：A【點睛】本題主要考查向量的模及平面向量數量積公式、余弦定理的應用，屬于中檔題.平面向量數量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角， （此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量 的模（平方后需求）.9.在中，則的形狀為（）A. 正三角形B. 等腰三角形或直角三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【答案】D【解析】【分析】先用倍角公式降次，后化簡，再利用 展開化簡即得出答案【詳解】，選D.【點睛】根據所給式子判斷三角形的形狀，利用正余弦定理將邊化角或者角化邊化簡式子。10.若的解集為，則對于函數，有（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據一元二次不等式解集與一元二次方程根的關系可得且，從而將函數化為；根據開口方向和自變量距離對稱軸的距離遠近可得到函數值的大小關系.【詳解】由題意知：和為的兩根且，解得： 為開口向上的二次函數，對稱軸為：又 本題正確選項：【點睛】本題考查函數值的比較問題，關鍵是能夠根據一元二次不等式與一元二次方程的關系將函數化為二次函數，根據二次函數的對稱性和單調性得到函數值的大小關系.11.如圖，一艘船自西向東勻速航行，上午時到達一座燈塔的南偏西距塔海里的處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的處，則這艘船航行的速度為（）A. 海里/時B. 海里/時C. 海里/時D. 海里/時【答案】A【解析】【分析】根據已知條件，直接利用正弦定理解出MN.【詳解】，在 中有 海里/時，選A.【點睛】本題考查正弦定理的使用，屬于簡單題。12.數列an滿足an+1+（1）nan=2n1，則an的前60項和為（）A. 3690B. 3660C. 1845D. 1830【答案】D【解析】【詳解】由于數列an滿足an+1+（1）nan=2n1，故有 a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a50a49=97從而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，從第一項開始，依次取2個相鄰奇數項的和都等于2，從第二項開始，依次取2個相鄰偶數項的和構成以8為首項，以16為公差的等差數列an的前60項和為 152+（158+）=1830，故選D二、填空題(共20分）13.函數的定義域為_【答案】【解析】【分析】由題意得關于x的不等式組，求解不等式組即可確定函數的定義域.【詳解】函數有意義，則：，解得：，據此可得，函數的定義域為：.【點睛】求函數的定義域，其實質就是以函數解析式有意義為準則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集即可14.已知數列滿足，其前項和為，則_.【答案】【解析】【分析】根據遞推關系式可驗證出數列自第二項起，是以為周期的周期數列，從而將化為，整理可得結果.【詳解】當時，；當時，；當時，；當時，以此類推，可知數列自第二項起，是以為周期的周期數列本題正確結果：【點睛】本題考查根據數列遞推關系式判斷周期數列的問題，易錯點是忽略所求數列是自第二項開始為周期數列.15.已知關于的不等式的解集是空集，則實數的取值范圍是 【答案】【解析】試題分析：由題意知恒成立，當時，不等式化為，顯然恒成立；當時，則，即，綜上實數的取值范圍是，故答案填.考點：1、二次不等式；2、極端不等式恒成立.【思路點晴】本題是一個關于二次不等式以及極端不等式恒成立的綜合性問題，屬于中檔題.解決本題的基本思路及切入點是：將不等式的解集是空集的問題，轉化為不等式恒成立的問題，在此應特別注意二次項的系數是否為零的問題，因此需要對其進行討論，再結合二次函數的圖象以及判別式，即可求得實數的取值范圍.16.已知中，角的對邊分別為，滿足.若，則周長的最大值為_【答案】【解析】【分析】利用正弦定理邊化角解出A角，在利用再利用正弦定理角化邊求出周長最大值。【詳解】利用正弦定理 有：所以， ,又 又 【點睛】一般求周長或面積的最值，將其轉化為求三角函數的最值問題。三、解答題（70分）17.已知在中，角，的對邊分別為，且（1）求角的大小：（2）若，求的面積【答案】（1）（2）4【解析】分析：（1）利用正弦定理化簡已知等式，整理后根據求出，即可確定出A的度數；（2）利用余弦定理列出關系式，把a，b，cosA的值代入求出c的值，再由b，sinA的值，利用三角形面積公式求出即可詳解：在中，由正弦定理得 即，又角為三角形內角，所以，即，又因為，所以（2）在中，由余弦定理得：，則 即解得（舍）或所以點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據正、余弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉化的方向.第二步：定工具，即根據條件和所求合理選擇轉化的工具，實施邊角之間的互化.第三步：求結果.18.某工廠修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為4 800立方米，深度為3米池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元設池底長方形長為x米（1）求底面積，并用含x的表達式表示池壁面積；（2）怎樣設計水池能使總造價最低?最低造價是多少?【答案】（1)1600,（平方米）；（2）池底設計為邊長40米的正方形時總造價最低，最低造價為268800元.【解析】【詳解】（1）根據題意，由于修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積4 800立方米，深度為3米可得底面積為1600，池壁面積s=.（2）同時池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元設池底長方形長為x米，則可知總造價s=,x=40時，則.故可知當x=40時，則有可使得總造價最低,最低造價是268800元.考點：不等式求解最值點評：主要是考查了不等式求解最值的運用，屬于基礎題.19.已知等差數列和等比數列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5（）求的通項公式；（）求和：【答案】（1）an=2n1.（2）【解析】試題分析：（）設等差數列的公差為，代入建立方程進行求解；（）由是等比數列，知依然是等比數列，并且公比是，再利用等比數列求和公式求解.試題解析：（）設等差數列an的公差為d.因為a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n1.（）設等比數列的公比為q.因為b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以.從而.【名師點睛】本題考查了數列求和，一般數列求和的方法：（1）分組轉化法，一般適用于等差數列+等比數列的形式；（2）裂項相消法求和，一般適用于，,等的形式；（3）錯位相減法求和，一般適用于等差數列等比數列的形式；（4）倒序相加法求和，一般適用于首末兩項的和是一個常數，這樣可以正著寫和與倒著寫和，兩式相加除以2即可得到數列求和. 20.某小組為了研究晝夜溫差對一種稻谷種子發芽情況的影響，他們分別記錄了4月1日至4月5日的每天星夜溫差與實驗室每天每100顆種子的發芽數，得到如下資料：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日溫差91011812發芽數（顆）3830244117利用散點圖，可知線性相關。（1）求出關于的線性回歸方程，若4月6日星夜溫差，請根據你求得的線性同歸方程預測4月6日這一天實驗室每100顆種子中發芽顆數；（2）若從4月1日 4月5日的五組實驗數據中選取2組數據，求這兩組恰好是不相鄰兩天數據的概率.（公式：）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先求出溫差x和發芽數y的平均值，即得到樣本中心點，利用最小二乘法得到線性回歸方程的系數，根據樣本中心點在線性回歸直線上，得到的值，得到線性回歸方程；再令x5時，得y值；（2）利用列舉法求出基本事件的個數，即可求出事件“這兩組恰好是不相鄰兩天數據”的概率【詳解】（1） ，由公式，求得，所以y關于x的線性回歸方程為,當， （2）設五組數據為1,2,3,4,5則所有取值情況有：（12），（13），（14），（15），（23），（24），（25），（34），（35），（45），即基本事件總數為10設“這兩組恰好是不相鄰兩天數據”為事件A，則事件A包含的基本事件為（13），（14），（15），（24），（25），（35）所以P（A），故事件A的概率為【點睛】本題考查求線性回歸方程，考查古典概型概率的計算，準確計算是關鍵，屬于中檔題21.在等比數列中，（1）求數列的通項公式；（2），,數列的前項和，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用等比數列通項公式可求得公比，根據可得到結果；（2）根據（1）的結論得到，采用裂項相消法求得；根據的單調性即可證得結論.【詳解】（1）設等比數列公比為，則，解得：（2）由（1）知：單調遞增且 又 綜上所述：【點睛】本題考查等比數列通項公式的求解、裂項相消法求解數列的前項和；