吉林省吉林市普通中學2020屆高三數學第二次調研測試（1月）試題 理本試卷共22小題，共150分，共4頁，考試時間120分鐘。注意事項：1答題前，考生務必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，認真核對條形碼、姓名、準考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上。2選擇題答案使用2B鉛筆填涂,如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案的標號；非選擇題答案必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請按照題號在各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效。4. 保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮 紙刀。一、選擇題：本大題共12題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求。1. 集合的子集的個數是A. B. C. D.2. 已知為虛數單位，復數滿足，則復數在復平面內對應的點在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 如果一組數據的中位數比平均數小很多，則下列敘述一定錯誤的是A.數據中可能有異常值 B.這組數據是近似對稱的 C.數據中可能有極端大的值 D.數據中眾數可能和中位數相同4. “”是“”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件5. 對兩個變量進行回歸分析，給出如下一組樣本數據 ：,下列函數模型中擬合較好的是 A. B. C. D. 6.已知實數滿足線性約束條件，則的最小值為A.B.C. D. 7. 已知圓與拋物線的準線相切，則的值為A. B. C. D.8. 如圖，正方體中，分別為所在棱的中點，則下列各直線中，不與平面平行的是A.直線 B.直線 C.直線 D.直線9. 我國宋代數學家秦九韶（1202-1261）在數書九章（1247）一書中提出“三斜求積術”，即：以少廣求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積. 其實質是根據三角形的三邊長求三角形面積，即. 若的面積，則等于A. B. C.或 D. 或10. 已知雙曲線的焦距為. 點為雙曲線的右頂點，若點到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的離心率是A. B. C. D.11. 已知，則A. B. C. D.12. 如圖，在中，點分別為的中點，若，且滿足，則等于A. B. C. D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。請把答案填在答題卡中相應位置。13. 在空間直角坐標系中，則四面體的外接球的體積為_.14. 直線過圓的圓心，則的最小值是_.15. 若函數在區間上恰有個不同的零點，則正數的取值范圍是_.16. 關于函數有下列四個命題：函數在上是增函數；函數的圖象關于中心對稱；不存在斜率小于且與數的圖象相切的直線；函數的導函數不存在極小值.其中正確的命題有_. （寫出所有正確命題的序號）三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17. （10分）已知數列是公比為正數的等比數列，其前項和為，滿足，且成等差數列.（1）求的通項公式；（2）若數列滿足，求的值.18. （12分）如圖，三棱柱的側棱垂直于底面，且,是棱的中點. （1）證明：；（2）求二面角的余弦值.19. （12分）已知中，角所對的邊分別為，,且滿足.（1）求的面積；（2）若求的最大值.20. （12分）為滿足人們的閱讀需求，圖書館設立了無人值守的自助閱讀區，提倡人們在閱讀后將圖書分類放回相應區域. 現隨機抽取了某閱讀區500本圖書的分類歸還情況，數據統計如下（單位：本）.文學類專欄科普類專欄其他類專欄文學類圖書1004010科普類圖書3020030其他圖書201060（1）根據統計數據估計文學類圖書分類正確的概率；（2）根據統計數據估計圖書分類錯誤的概率；（3）假設文學類圖書在“文學類專欄”、“科普類專欄”、“其他類專欄”的數目分別為，其中，當的方差最大時，求的值，并求出此時方差的值.21. （12分）設函數.（1）若函數在是單調遞減的函數，求實數的取值范圍；（2）若，證明：.22. （1