微分方程 第十二章 積分問題 微分方程問題 推廣 微分方程的基本概念 機動目錄上頁下頁返回結束 第一節 微分方程的基本概念 引例 幾何問題 物理問題 第十二章 引例1 一曲線通過點 1 2 在該曲線上任意點處的 解 設所求曲線方程為y y x 則有如下關系式 C為任意常數 由 得C 1 因此所求曲線方程為 由 得 切線斜率為2x 求該曲線的方程 機動目錄上頁下頁返回結束 引例2 列車在平直路上以 的速度行駛 制動時 獲得加速度 求制動后列車的運動規律 解 設列車在制動后t秒行駛了s米 已知 由前一式兩次積分 可得 利用后兩式可得 因此所求運動規律為 說明 利用這一規律可求出制動后多少時間列車才 能停住 以及制動后行駛了多少路程 即求s s t 機動目錄上頁下頁返回結束 常微分方程 偏微分方程 含未知函數及其導數的方程叫做微分方程 方程中所含未知函數導數的最高階數叫做微分方程 本章內容 n階顯式微分方程 微分方程的基本概念 一般地 n階常微分方程的形式是 的階 分類 或 機動目錄上頁下頁返回結束 使方程成為恒等式的函數 通解 解中所含獨立的任意常數的個數與方程 確定通解中任意常數的條件 n階方程的初始條件 或初值條件 的階數相同 特解 通解 特解 微分方程的解 不含任意常數的解 定解條件 其圖形稱為積分曲線 機動目錄上頁下頁返回結束 例1 驗證函數 是微分方程 的解 的特解 解 這說明 是方程的解 是兩個獨立的任意常數 利用初始條件易得 故所求特解為 故它是方程的通解 并求滿足初始條件 機動目錄上頁下頁返回結束 求所滿足的微分方程 例2 已知曲線上點P x y 處的法線與x軸交點為Q 解 如圖所示 令Y 0 得Q點的橫坐標 即 點P x y 處的法線方程為 且線段PQ被y軸平分 第二節目錄上頁下頁返回結束 轉化 可分離變量微分方程 機動目錄上頁下頁返回結束 第二節 解分離變量方程 可分離變量方程 第十二章 分離變量方程的解法 設y x 是方程 的解 兩邊積分 得 則有恒等式 當G y 與F x 可微且G y g y 0時 說明由 確定的隱函數y x 是 的解 則有 稱 為方程 的隱式通解 或通積分 同樣 當F x f x 0時 上述過程可逆 由 確定的隱函數x y 也是 的解 機動目錄上頁下頁返回結束 例1 求微分方程 的通解 解 分離變量得 兩邊積分 得 即 C為任意常數 或 說明 在求解過程中每一步不一定是同解變形 因此可能增 減解 此式含分離變量時丟失的解y 0 機動目錄上頁下頁返回結束 例2 解初值問題 解 分離變量得 兩邊積分得 即 由初始條件得C 1 C為任意常數 故所求特解為 機動目錄上頁下頁返回結束 例3 求下述微分方程的通解 解 令 則 故有 即 解得 C為任意常數 所求通解 機動目錄上頁下頁返回結束 練習 解法1分離變量 即 C 0 解法2 故有 積分 C為任意常數 所求通解 機動目錄上頁下頁返回結束 例4 子的含量M成正比 求在 衰變過程中鈾含量M t 隨時間t的變化規律 解 根據題意 有 初始條件 對方程分離變量 即 利用初始條件 得 故所求鈾的變化規律為 然后積分 已知t 0時鈾的含量為 已知放射性元素鈾的衰變速度與當時未衰變原 機動目錄上頁下頁返回結束 例5 成正比 求 解 根據牛頓第二定律列方程 初始條件為 對方程分離變量 然后積分 得 利用初始條件 得 代入上式后化簡 得特解 并設降落傘離開跳傘塔時 t 0 速度為0 設降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時間的函數關系 t足夠大時 機動目錄上頁下頁返回結束 例6 有高1m的半球形容器 水從它的底部小孔流出 開始時容器內盛滿了水 從小孔流出過程中 容器里水面的高度h隨時間t的變 解 由水力學知 水從孔口流出的流量為 即 求水 小孔橫截面積 化規律 設在 內水面高度由h降到 機動目錄上頁下頁返回結束 對應下降體積 因此得微分方程定解問題 將方程分離變量 機動目錄上頁下頁返回結束 兩端積分 得 利用初始條件 得 因此容器內水面高度h與時間t有下列關系 機動目錄上頁下頁返回結束 內容小結 1 微分方程的概念 微分方程 定解條件 2 可分離變量方程的求解方法 說明 通解不一定是方程的全部解 有解 后者是通解 但不包含前一個解 例如 方程 分離變量后積分 根據定解條件定常數 解 階 通解 特解 y x及y C 機動目錄上頁下頁返回結束 找出事物的共性及可貫穿于全過程的規律列方程 常用的方法 1 根據幾何關系列方程 如 P263 5 2 2 根據物理規律列方程 如 例4 例5 3 根據微量分析平衡關系列方程 如 例6 2 利用反映事物個性的特殊狀態確定定解條件 3 求通解 并根據定解條件確定特解 3 解微分方程應用題的方法和步驟 機動目錄上頁下頁返回結束 思考與練習 求下列方程的通解 提示 1 分離變量 2 方程變形為 機動目錄上頁下頁返回結束 備用題已知曲線積分 與路徑無關 其中 求由 確定的隱函數 解 因積分與路徑無關 故有 即 因此有 機動目錄上頁下頁返回結束 齊次方程 機動目錄上頁下頁返回結束 第三節 一 齊次方程 二 可化為齊次方程 第十二章 一 齊次方程 形如 的方程叫做齊次方程 令 代入原方程得 兩邊積分 得 積分后再用 代替u 便得原方程的通解 解法 分離變量 機動目錄上頁下頁返回結束 例1 解微分方程 解 代入原方程得 分離變量 兩邊積分 得 故原方程的通解為 當C 0時 y 0也是方程的解 C為任意常數 機動目錄上頁下頁返回結束 例2 解微分方程 解 則有 分離變量 積分得 代回原變量得通解 即 說明 顯然x 0 y 0 y x也是原方程的解 但在 C為任意常數 求解過程中丟失了 機動目錄上頁下頁返回結束 可得 OMA OAM 例3 在制造探照燈反射鏡面時 解 設光源在坐標原點 則反射鏡面由曲線 繞x軸旋轉而成 過曲線上任意點M x y 作切線MT 由光的反射定律 入射角 反射角 取x軸平行于光線反射方向 從而AO OM 要求點光源的光線反 射出去有良好的方向性 試求反射鏡面的形狀 而AO 于是得微分方程 機動目錄上頁下頁返回結束 利用曲線的對稱性 不妨設y 0 積分得 故有 得 拋物線 故反射鏡面為旋轉拋物面 于是方程化為 齊次方程 機動目錄上頁下頁返回結束 頂到底的距離為h 說明 則將 這時旋轉曲面方程為 若已知反射鏡面的底面直徑為d 代入通解表達式得 機動目錄上頁下頁返回結束 h k為待 二 可化為齊次方程的方程 作變換 原方程化為 令 解出h k 齊次方程 定常數 機動目錄上頁下頁返回結束 求出其解后 即得原方 程的解 原方程可化為 令 可分離變量方程 注 上述方法可適用于下述更一般的方程 機動目錄上頁下頁返回結束 例4 求解 解 令 得 再令Y Xu 得 令 積分得 代回原變量 得原方程的通解 機動目錄上頁下頁返回結束 得C 1 故所求特解為 思考 若方程改為 如何求解 提示 第四節目錄上頁下頁返回結束 一階線性微分方程 機動目錄上頁下頁返回結束 第四節 一 一階線性微分方程 二 伯努利方程 第十二章 一 一階線性微分方程 一階線性微分方程標準形式 若Q x 0 稱為非齊次方程 1 解齊次方程 分離變量 兩邊積分得 故通解為 稱為齊次方程 機動目錄上頁下頁返回結束 對應齊次方程通解 齊次方程通解 非齊次方程特解 2 解非齊次方程 用常數變易法 則 故原方程的通解 即 即 作變換 兩端積分得 機動目錄上頁下頁返回結束 例1 解方程 解 先解 即 積分得 即 用常數變易法求特解 令 則 代入非齊次方程得 解得 故原方程通解為 機動目錄上頁下頁返回結束 例2 求方程 的通解 解 注意x y同號 由一階線性方程通解公式 得 故方程可 變形為 所求通解為 機動目錄上頁下頁返回結束 在閉合回路中 所有支路上的電壓降為0 例3 有一電路如圖所示 電阻R和電 解 列方程 已知經過電阻R的電壓降為Ri 經過L的電壓降為 因此有 即 初始條件 由回路電壓定律 其中電源 求電流 感L都是常量 機動目錄上頁下頁返回結束 解方程 由初始條件 得 利用一階線性方程解的公式可得 機動目錄上頁下頁返回結束 因此所求電流函數為 解的意義 機動目錄上頁下頁返回結束 二 伯努利 Bernoulli 方程 伯努利方程的標準形式 令 求出此方程通解后 除方程兩邊 得 換回原變量即得伯努利方程的通解 解法 線性方程 伯努利目錄上頁下頁返回結束 例4 求方程 的通解 解 令 則方程變形為 其通解為 將 代入 得原方程通解 機動目錄上頁下頁返回結束 內容小結 1 一階線性方程 方法1先解齊次方程 再用常數變易法 方法2用通解公式 化為線性方程求解 2 伯努利方程 機動目錄上頁下頁返回結束 思考與練習 判別下列方程類型 提示 可分離變量方程 齊次方程 線性方程 線性方程 伯努利方程 機動目錄上頁下頁返回結束 備用題 1 求一連續可導函數 使其滿足下列方程 提示 令 則有 利用公式可求出 機動目錄上頁下頁返回結束 2 設有微分方程 其中 試求此方程滿足初始條件 的連續解 解 1 先解定解問題 利用通解公式 得 利用 得 故有 機動目錄上頁下頁返回結束 2 再解定解問題 此齊次線性方程的通解為 利用銜接條件得 因此有 3 原問題的解為 機動目錄上頁下頁返回結束 雅各布第一 伯努利 書中給出的伯努利數在很多地方有用 伯努利 1654 1705 瑞士數學家 位數學家 標和極坐標下的曲率半徑公式 1695年 版了他的巨著 猜度術 上的一件大事 而伯努利定理則是大數定律的最早形式 年提出了著名的伯努利方程 他家祖孫三代出過十多 1694年他首次給出了直角坐 1713年出 這是組合數學與概率論史 此外 他對 雙紐線 懸鏈線和對數螺線都有深入的研究 全微分方程 機動目錄上頁下頁返回結束 第五節 一 全微分方程 二 積分因子法 第十二章 判別 P Q在某單連通域D內有連續一階偏導數 為全微分方程 則 求解步驟 方法1湊微分法 方法2利用積分與路徑無關的條件 1 求原函數u x y 2 由du 0知通解為u x y C 一 全微分方程 則稱 為全微分方程 又叫做恰當方程 機動目錄上頁下頁返回結束 例1 求解 解 因為 故這是全微分方程 則有 因此方程的通解為 機動目錄上頁下頁返回結束 例2 求解 解 這是一個全微分方程 用湊微分法求通解 將方程改寫為 即 故原方程的通解為 或 機動目錄上頁下頁返回結束 二 積分因子法 思考 如何解方程 這不是一個全微分方程 就化成例2的方程 使 為全微分方程 在簡單情況下 可憑觀察和經驗根據微分倒推式得到 為原方程的積分因子 但若在方程兩邊同乘 若存在連續可微函數 積分因子 例2目錄上頁下頁返回結束 常用微分倒推公式 積分因子不一定唯一 例如 對 可取 機動目錄上頁下頁返回結束 例3 求解 解 分項組合得 即 選擇積分因子 同乘方程兩邊 得 即 因此通解為 即 因x 0也是方程的解 故C為任意常數 機動目錄上頁下頁返回結束 備用題解方程 解法1積分因子法 原方程變形為 取積分因子 故通解為 此外 y 0也是方程的解 機動目錄上頁下頁返回結束 解法2化為齊次方程 原方程變形為 積分得 將 代入 得通解 此外 y 0也是方程的解 機動目錄上頁下頁返回結束 解法3化為線性方程 原方程變形為 其通解為 即 此外 y 0也是方程的解 機動目錄上頁下頁返回結束 可降階高階微分方程 機動目錄上頁下頁返回結束 第六節 一 型的微分方程 二 型的微分方程 三 型的微分方程 第十二章 一 令 因此 即 同理可得 依次通過n次積分 可得含n個任意常數的通解 型的微分方程 機動目錄上頁下頁返回結束 例1 解 機動目錄上頁下頁返回結束 例2 質量為m的質點受力F的作用沿ox軸作直線 運動 在開始時刻 隨著時間的增大 此力F均勻地減 直到t T時F T 0 如果開始時質點在原點 解 據題意有 t 0時 設力F僅是時間t的函數 F F t 小 求質點的運動規律 初初速度為0 且 對方程兩邊積分 得 機動目錄上頁下頁返回結束 利用初始條件 于是 兩邊再積分得 再利用 故所求質點運動規律為 機動目錄上頁下頁返回結束 型的微分方程 設 原方程化為一階方程 設其通解為 則得 再一次積分 得原方程的通解 二 機動目錄上頁下頁返回結束 例3 求解 解 代入方程得 分離變量 積分得 利用 于是有 兩端再積分得 利用 因此所求特解為 機動目錄上頁下頁返回結束 例4 繩索僅受 重力作用而下垂 解 取坐標系如圖 考察最低點A到 密度 s 弧長 弧段重力大小 按靜力平衡條件 有 故有 設有一均勻 柔軟的繩索 兩端固定 問該繩索的平衡狀態是怎樣的曲線 任意點M x y 弧段的受力情況 兩式相除得 機動目錄上頁下頁返回結束 則得定解問題 原方程化為 兩端積分得 則有 兩端積分得 故所求繩索的形狀為 懸鏈線 機動目錄上頁下頁返回結束 三 型的微分方程 令 故方程化為 設其通解為 即得 分離變量后積分 得原方程的通解 機動目錄上頁下頁返回結束 例5 求解 代入方程得 兩端積分得 一階線性齊次方程 故所求通解為 解 機動目錄上頁下頁返回結束 M 地球質量m 物體質量 例6 靜止開始落向地面 求它落到地面時的速度和所需時間 不計空氣阻力 解 如圖所示選取坐標系 則有定解問題 代入方程得 積分得 一個離地面很高的物體 受地球引力的作用由 機動目錄上頁下頁返回結束 兩端積分得 因此有 注意 號 機動目錄上頁下頁返回結束 由于y R時 由原方程可得 因此落到地面 y R 時的速度和所需時間分別為 機動目錄上頁下頁返回結束 說明 若此例改為如圖所示的坐標系 解方程可得 問 此時開方根號前應取什么符號 說明道理 則定解問題為 機動目錄上頁下頁返回結束 例7 解初值問題 解 令 代入方程得 積分得 利用初始條件 根據 積分得 故所求特解為 得 機動目錄上頁下頁返回結束 為曲邊的曲邊梯形面積 上述兩直線與x軸圍成的三角形面 例8 二階可導 且 上任一點P x y 作該曲線的 切線及x軸的垂線 區間 0 x 上以 解 于是 在點P x y 處的切線傾角為 滿足的方程 積記為 99考研 機動目錄上頁下頁返回結束 再利用y 0 1得 利用 得 兩邊對x求導 得 定解條件為 方程化為 利用定解條件得 得 故所求曲線方程為 機動目錄上頁下頁返回結束 內容小結 可降階微分方程的解法 降階法 逐次積分 令 令 機動目錄上頁下頁返回結束 思考與練習 1 方程 如何代換求解 答 令 或 一般說 用前者方便些 均可 有時用后者方便 例如 2 解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題 答 1 一般情況 邊解邊定常數計算簡便 2 遇到開平方時 要根據題意確定正負號 機動目錄上頁下頁返回結束 速度 大小為2v 方向指向A 提示 設t時刻B位于 x y 如圖所示 則有 去分母后兩邊對x求導 得 又由于 設物體A從點 0 1 出發 以大小為常數v 備用題 的速度沿y軸正向運動 物體B從 1 0 出發 試建立物體B的運動軌跡應滿 足的微分方程及初始條件 機動目錄上頁下頁返回結束 代入 式得所求微分方程 其初始條件為 機動目錄上頁下頁返回結束 機動目錄上頁下頁返回結束 高階線性微分方程解的結構 第七節 二 線性齊次方程解的結構 三 線性非齊次方程解的結構 四 常數變易法 一 二階線性微分方程舉例 第十二章 一 二階線性微分方程舉例 當重力與彈性力抵消時 物體處于平衡狀態 例1 質量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上 力作用下作往復運動 解 阻力的大小與運動速度 下拉物體使它離開平衡位置后放開 若用手向 物體在彈性力與阻 取平衡時物體的位置為坐標原點 建立坐標系如圖 設時刻t物位移為x t 1 自由振動情況 彈性恢復力 物體所受的力有 虎克定律 成正比 方向相反 建立位移滿足的微分方程 機動目錄上頁下頁返回結束 據牛頓第二定律得 則得有阻尼自由振動方程 阻力 2 強迫振動情況 若物體在運動過程中還受鉛直外力 則得強迫振動方程 機動目錄上頁下頁返回結束 求電容器兩兩極板間電壓 例2 聯組成的電路 其中R L C為常數 所滿足的微分方程 提示 設電路中電流為i t 上的電量為q t 自感電動勢為 由電學知 根據回路電壓定律 設有一個電阻R 自感L 電容C和電源E串 極板 機動目錄上頁下頁返回結束 在閉合回路中 所有支路上的電壓降為0 串聯電路的振蕩方程 如果電容器充電后撤去電源 E 0 則得 機動目錄上頁下頁返回結束 化為關于 的方程 故有 n階線性微分方程的一般形式為 方程的共性 為二階線性微分方程 例1 例2 可歸結為同一形式 時 稱為非齊次方程 時 稱為齊次方程 復習 一階線性方程 通解 非齊次方程特解 齊次方程通解Y 機動目錄上頁下頁返回結束 證畢 二 線性齊次方程解的結構 是二階線性齊次方程 的兩個解 也是該方程的解 證 代入方程左邊 得 疊加原理 定理1 機動目錄上頁下頁返回結束 說明 不一定是所給二階方程的通解 例如 是某二階齊次方程的解 也是齊次方程的解 并不是通解 但是 則 為解決通解的判別問題 下面引入函數的線性相關與 線性無關概念 機動目錄上頁下頁返回結束 定義 是定義在區間I上的 n個函數 使得 則稱這n個函數在I上線性相關 否則稱為線性無關 例如 在 上都有 故它們在任何區間I上都線性相關 又如 若在某區間I上 則根據二次多項式至多只有兩個零點 必需全為0 可見 在任何區間I上都線性無關 若存在不全為0的常數 機動目錄上頁下頁返回結束 兩個函數在區間I上線性相關與線性無關的充要條件 線性相關 存在不全為0的 使 線性無關 常數 思考 中有一個恒為0 則 必線性 相關 證明略 線性無關 機動目錄上頁下頁返回結束 定理2 是二階線性齊次方程的兩個線 性無關特解 則 數 是該方程的通解 例如 方程 有特解 且 常數 故方程的通解為 自證 推論 是n階齊次方程 的n個線性無關解 則方程的通解為 機動目錄上頁下頁返回結束 三 線性非齊次方程解的結構 是二階非齊次方程 的一個特解 Y x 是相應齊次方程的通解 定理3 則 是非齊次方程的通解 證 將 代入方程 左端 得 復習目錄上頁下頁返回結束 是非齊次方程的解 又Y中含有 兩個獨立任意常數 例如 方程 有特解 對應齊次方程 有通解 因此該方程的通解為 證畢 因而 也是通解 機動目錄上頁下頁返回結束 定理4 分別是方程 的特解 是方程 的特解 非齊次方程之解的疊加原理 定理3 定理4均可推廣到n階線性非齊次方程 機動目錄上頁下頁返回結束 定理5 是對應齊次方程的n個線性 無關特解 給定n階非齊次線性方程 是非齊次方程的特解 則非齊次方程 的通解為 齊次方程通解 非齊次方程特解 機動目錄上頁下頁返回結束 常數 則該方程的通解是 設線性無關函數 都是二階非齊次線 性方程 的解 是任意 例3 提示 都是對應齊次方程的解 二者線性無關 反證法可證 89考研 機動目錄上頁下頁返回結束 例4 已知微分方程 個解 求此方程滿足初始條件 的特解 解 是對應齊次方程的解 且 常數 因而線性無關 故原方程通解為 代入初始條件 故所求特解為 有三 機動目錄上頁下頁返回結束 四 常數變易法 復習 常數變易法 對應齊次方程的通解 設非齊次方程的解為 代入原方程確定 對二階非齊次方程 情形1 已知對應齊次方程通解 設 的解為 由于有兩個待定函數 所以要建立兩個方程 機動目錄上頁下頁返回結束 令 于是 將以上結果代入方程 得 故 的系數行列式 P10目錄上頁下頁返回結束 積分得 代入 即得非齊次方程的通解 于是得 說明 將 的解設為 只有一個必須滿足的條件即方程 因此必需再附加一 個條件 方程 的引入是為了簡化計算 機動目錄上頁下頁返回結束 情形2 僅知 的齊次方程的一個非零特解 代入 化簡得 設其通解為 積分得 一階線性方程 由此得原方程 的通解 代入 目錄上頁下頁返回結束 例5 的通解為 的通解 解 將所給方程化為 已知齊次方程 求 利用 建立方程組 積分得 故所求通解為 目錄上頁下頁返回結束 例6 的通解 解 對應齊次方程為 由觀察可知它有特解 令 代入非齊次方程后化簡得 此題不需再作變換 特征根 設 的特解為 于是得 的通解 故原方程通解為 二階常系數非齊次方程 代入 可得 機動目錄上頁下頁返回結束 常系數 機動目錄上頁下頁返回結束 第八節 齊次線性微分方程 基本思路 求解常系數線性齊次微分方程 求特征方程 代數方程 之根 轉化 第十二章 二階常系數齊次線性微分方程 和它的導數只差常數因子 代入 得 稱 為微分方程 的特征方程 1 當 時 有兩個相異實根 方程有兩個線性無關的特解 因此方程的通解為 r為待定常數 所以令 的解為 則微分 其根稱為特征根 機動目錄上頁下頁返回結束 2 當 時 特征方程有兩個相等實根 則微分方程有一個特解 設另一特解 u x 待定 代入方程得 是特征方程的重根 取u x 則得 因此原方程的通解為 機動目錄上頁下頁返回結束 3 當 時 特征方程有一對共軛復根 這時原方程有兩個復數解 利用解的疊加原理 得原方程的線性無關特解 因此原方程的通解為 機動目錄上頁下頁返回結束 小結 特征方程 實根 以上結論可推廣到高階常系數線性微分方程 機動目錄上頁下頁返回結束 若特征方程含k重復根 若特征方程含k重實根r 則其通解中必含對應項 則其通解中必含 對應項 特征方程 推廣 機動目錄上頁下頁返回結束 例1 的通解 解 特征方程 特征根 因此原方程的通解為 例2 求解初值問題 解 特征方程 有重根 因此原方程的通解為 利用初始條件得 于是所求初值問題的解為 機動目錄上頁下頁返回結束 例3 解 位移滿足 質量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上 在無外力作用下做自由運動 初始 求物體的運動規律 立坐標系如圖 設t 0時物體的位置為 取其平衡位置為原點建 因此定解問題為 自由振動方程 機動目錄上頁下頁返回結束 方程 特征方程 特征根 利用初始條件得 故所求特解 方程通解 1 無阻尼自由振動情況 n 0 機動目錄上頁下頁返回結束 解的特征 簡諧振動 A 振幅 初相 周期 固有頻率 機動目錄上頁下頁返回結束 僅由系統特性確定 方程 特征方程 特征根 小阻尼 n k 這時需分如下三種情況進行討論 2 有阻尼自由振動情況 大阻尼 n k 臨界阻尼 n k 解的特征 解的特征 解的特征 機動目錄上頁下頁返回結束 n k 小阻尼自由振動解的特征 由初始條件確定任意常數后變形 運動周期 振幅 衰減很快 隨時間t的增大物體趨于平衡位置 機動目錄上頁下頁返回結束 n k 大阻尼解的特征 1 無振蕩現象 此圖參數 2 對任何初始條件 即隨時間t的增大物體總趨于平衡位置 機動目錄上頁下頁返回結束 n k 臨界阻尼解的特征 任意常數由初始條件定 最多只與t軸交于一點 即隨時間t的增大物體總趨于平衡位置 2 無振蕩現象 機動目錄上頁下頁返回結束 例4 的通解 解 特征方程 特征根 因此原方程通解為 例5 解 特征方程 特征根 原方程通解 不難看出 原方程有特解 推廣目錄上頁下頁返回結束 例6 解 特征方程 即 其根為 方程通解 機動目錄上頁下頁返回結束 例7 解 特征方程 特征根為 則方程通解 機動目錄上頁下頁返回結束 內容小結 特征根 1 當 時 通解為 2 當 時 通解為 3 當 時 通解為 可推廣到高階常系數線性齊次方程求通解 機動目錄上頁下頁返回結束 思考與練習 求方程 的通解 答案 通解為 通解為 通解為 第九節目錄上頁下頁返回結束 備用題 為特解的4階常系數線性齊次微分方程 并求其通解 解 根據給定的特解知特征方程有根 因此特征方程為 即 故所求方程為 其通解為 機動目錄上頁下頁返回結束 常系數非齊次線性微分方程 機動目錄上頁下頁返回結束 第九節 一 二 第十二章 二階常系數線性非齊次微分方程 根據解的結構定理 其通解為 求特解的方法 根據f x 的特殊形式 的待定形式 代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數 待定系數法 機動目錄上頁下頁返回結束 一 為實數 設特解為 其中為待定多項式 代入原方程 得 1 若 不是特征方程的根 則取 從而得到特解 形式為 為m次多項式 Q x 為m次待定系數多項式 機動目錄上頁下頁返回結束 2 若 是特征方程的單根 為m次多項式 故特解形式為 3 若 是特征方程的重根 是m次多項式 故特解形式為 小結 對方程 此結論可推廣到高階常系數線性微分方程 即 即 當 是特征方程的k重根時 可設 特解 機動目錄上頁下頁返回結束 例1 的一個特解 解 本題 而特征方程為 不是特征方程的根 設所求特解為 代入方程 比較系數 得 于是所求特解為 機動目錄上頁下頁返回結束 例2 的通解 解 本題 特征方程為 其根為 對應齊次方程的通解為 設非齊次方程特解為 比較系數 得 因此特解為 代入方程得 所求通解為 機動目錄上頁下頁返回結束 例3 求解定解問題 解 本題 特征方程為 其根為 設非齊次方程特解為 代入方程得 故 故對應齊次方程通解為 原方程通解為 由初始條件得 機動目錄上頁下頁返回結束 于是所求解為 解得 機動目錄上頁下頁返回結束 二 第二步求出如下兩個方程的特解 分析思路 第一步將f x 轉化為 第三步利用疊加原理求出原方程的特解 第四步分析原方程特解的特點 機動目錄上頁下頁返回結束 第一步 利用歐拉公式將f x 變形 機動目錄上頁下頁返回結束 第二步求如下兩方程的特解 是特征方程的k重根 k 0 1 故 等式兩邊取共軛 為方程 的特解 設 則 有 特解 機動目錄上頁下頁返回結束 第三步求原方程的特解 利用第二步的結果 根據疊加原理 原方程有特解 原方程 均為m次多項式 機動目錄上頁下頁返回結束 第四步分析 因 均為m次實 多項式 本質上為實函數 機動目錄上頁下頁返回結束 小結 對非齊次方程 則可設特解 其中 為特征方程的k重根 k 0 1 上述結論也可推廣到高階方程的情形 機動目錄上頁下頁返回結束 例4 的一個特解 解 本題 特征方程 故設特解為 不是特征方程的根 代入方程得 比較系數 得 于是求得一個特解 機動目錄上頁下頁返回結束 例5 的通解 解 特征方程為 其根為 對應齊次方程的通解為 比較系數 得 因此特解為 代入方程 所求通解為 為特征方程的單根 因此設非齊次方程特解為 機動目錄上頁下頁返回結束 例6 解 1 特征方程 有二重根 所以設非齊次方程特解為 2 特征方程 有根 利用疊加原理 可設非齊次方程特解為 設下列高階常系數線性非齊次方程的特解形式 機動目錄上頁下頁返回結束 例7 求物體的運動規律 解 問題歸結為求解無阻尼強迫振動方程 當p k時 齊次通解 非齊次特解形式 因此原方程 之解為 第七節例1中若設物體只受彈性恢復力f 和鉛直干擾力 代入 可得 機動目錄上頁下頁返回結束 當干擾力的角頻率p 固有頻率k時 自由振動 強迫振動 當p k時 非齊次特解形式 代入 可得 方程 的解為 機動目錄上頁下頁返回結束 若要利用共振現象 應使p與k盡量靠近 或使 隨著t的增大 強迫振動的振幅 這時產生共振現象 可無限增大 若要避免共振現象 應使p遠離固有頻率k p k 自由振動 強迫振動 對機械來說 共振可能引起破壞作用 如橋梁被破壞 電機機座被破壞等 但對電磁振蕩來說 共振可能起有 利作用 如收音機的調頻放大即是利用共振原理 機動目錄上頁下頁返回結束 內容小結 為特征方程的k 0 1 2 重根 則設特解為 為特征方程的k 0 1 重根 則設特解為 3 上述結論也可推廣到高階方程的情形 機動目錄上頁下頁返回結束 思考與練習 時可設特解為 時可設特解為 提示 1 填空 設 機動目錄上頁下頁返回結束 2 求微分方程 的通解 其中 為實數 解 特征方程 特征根 對應齊次方程通解 時 代入原方程得 故原方程通解為 時 代入原方程得 故原方程通解為 機動目錄上頁下頁返回結束 3 已知二階常微分方程 有特解 求微分方程的通解 解 將特解代入方程得恒等式 比較系數得 故原方程為 對應齊次方程通解 原方程通解為 機動目錄上頁下頁返回結束 一階微分方程的 機動目錄上頁下頁返回結束 習題課 一 一 一階微分方程求解 二 解微分方程應用問題 解法及應用 第十二章 一 一階微分方程求解 1 一階標準類型方程求解 關鍵 辨別方程類型 掌握求解步驟 2 一階非標準類型方程求解 1 變量代換法 代換自變量 代換因變量 代換某組合式 2 積分因子法 選積分因子 解全微分方程 四個標準類型 可分離變量方程 齊次方程 線性方程 全微分方程 機動目錄上頁下頁返回結束 例1 求下列方程的通解 提示 1 故為分離變量方程 通解 機動目錄上頁下頁返回結束 方程兩邊同除以x即為齊次方程 令y ux 化為分 離變量方程 調換自變量與因變量的地位 用線性方程通解公式求解 化為 機動目錄上頁下頁返回結束 方法1這是一個齊次方程 方法2化為微分形式 故這是一個全微分方程 機動目錄上頁下頁返回結束 例2 求下列方程的通解 提示 1 令u xy 得 2 將方程改寫為 貝努里方程 分離變量方程 原方程化為 機動目錄上頁下頁返回結束 令y ut 齊次方程 令t x 1 則 可分離變量方程求解 化方程為 機動目錄上頁下頁返回結束 變方程為 兩邊乘積分因子 用湊微分法得通解 機動目錄上頁下頁返回結束 例3 機動目錄上頁下頁返回結束 設F x f x g x 其中函數f x g x 在 內滿足以下條件 1 求F x 所滿足的一階微分方程 03考研 2 求出F x 的表達式 解 1 所以F x 滿足的一階線性非齊次微分方程 機動目錄上頁下頁返回結束 2 由一階線性微分方程解的公式得 于是 求以 為通解的微分方程 提示 消去C得 求下列微分方程的通解 提示 令u xy 化成可分離變量方程 提示 這是一階線性方程 其中 機動目錄上頁下頁返回結束 提示 可化為關于x的一階線性方程 提示 為貝努里方程 令 提示 為全微分方程 通解 提示 可化為貝努里方程 令 微分倒推公式 機動目錄上頁下頁返回結束 原方程化為 即 則 故原方程通解 提示 令 機動目錄上頁下頁返回結束 例4 設河邊點O的正對岸為點A 河寬OA h 一鴨子從點A游向點 二 解微分方程應用問題 利用共性建立微分方程 利用個性確定定解條件 為平行直線 且鴨子游動方向始終朝著點O 提示 如圖所示建立坐標系 設時刻t鴨子位于點P x y 設鴨子 在靜水中 的游速大小為b 求鴨子游動的軌跡方程 O 水流速度大小為a 兩岸 則 關鍵問題是正確建立數學模型 要點 機動目錄上頁下頁返回結束 定解條件 由此得微分方程 即 鴨子的實際運動速度為 齊次方程 機動目錄上頁下頁返回結束 思考 能否根據草圖列方程 練習題 已知某曲線經過點 1 1 軸上的截距等于切點的橫坐標 求它的方程 提示 設曲線上的動點為M x y 令X 0 得截距 由題意知微分方程為 即 定解條件為 此點處切線方程為 它的切線在縱 機動目錄上頁下頁返回結束 題6 已知某車間的容積為 的新鮮空氣 問每分鐘應輸入多少才能在30分鐘后使車間空 的含量不超過0 06 提示 設每分鐘應輸入 t時刻車間空氣中含 則在 內車間內 兩端除以 并令 與原有空氣很快混合均勻后 以相同的流量排出 得微分方程 假定輸入的新鮮空氣 輸入 的改變量為 機動目錄上頁下頁返回結束 t 30時 解定解問題 因此每分鐘應至少輸入250 新鮮空氣 初始條件 得 機動目錄上頁下頁返回結束 k 二階微分方程的 機動目錄上頁下頁返回結束 習題課 二 二 微分方程的應用 解法及應用 一 兩類二階微分方程的解法 第十二章 一 兩類二階微分方程的解法 1 可降階微分方程的解法 降階法 令 令 逐次積分求解 機動目錄上頁下頁返回結束 2 二階線性微分方程的解法 常系數情形 齊次 非齊次 代數法 歐拉方程 機動目錄上頁下頁返回結束 題2求以 為通解的微分方程 提示 由通解式可知特征方程的根為 故特征方程為 因此微分方程為 題3求下列微分方程的通解 提示 6 令 則方程變為 機動目錄上頁下頁返回結束 特征根 齊次方程通解 令非齊次方程特解為 代入方程可得 思考 若 7 中非齊次項改為 提示 原方程通解為 特解設法有何變化 機動目錄上頁下頁返回結束 題4 2 求解 提示 令 則方程變為 積分得 利用 再解 并利用 定常數 思考 若問題改為求解 則求解過程中得 問開方時正負號如何確定 機動目錄上頁下頁返回結束 題8設函數 在r 0 內滿足拉普拉斯方程 二階可導 且 試將方程化為以r為自變 量的常微分方程 并求f r 提示 利用對稱性 即 歐拉方程 原方程可化為 機動目錄上頁下頁返回結束 解初值問題 則原方程化為 通解 利用初始條件得特解 機動目錄上頁下頁返回結束 特征根 例1 求微分方程 提示 故通解為 滿足條件 解滿足 處連續且可微的解 設特解 代入方程定A B 得 得 機動目錄上頁下頁返回結束 處的銜接條件可知 解滿足 故所求解為 其通解 定解問題的解 機動目錄上頁下頁返回結束 例2 且滿足方程 提示 則 問題化為解初值問題 最后求得