第五章立體及其表面的交線(xiàn) 5 3立體與立體相交 5 1平面立體 5 2曲面立體 5 1平面立體 一 平面立體的投影及其表面上的點(diǎn) 1 棱柱 一個(gè)投影為多邊形 另外兩個(gè)投影輪廓線(xiàn)為三角形 2 棱錐 r 三棱錐表面上取點(diǎn) 三棱錐表面上取點(diǎn) 二 平面與平面立體相交的投影 側(cè)垂面 棱線(xiàn) 例1 補(bǔ)全切口三棱錐的投影 1 11 2 9 10 4 3 例2 求立體截切后的投影 例3 求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖 3 2 1 4 空間分析 投影分析 求截交線(xiàn) 分析棱線(xiàn)的投影 檢查尤其注意檢查截交線(xiàn)投影的類(lèi)似性 例4 求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖 注意 要逐個(gè)截平面分析和繪制截交線(xiàn) 當(dāng)平面體只有局部被截切時(shí) 先假想為整體被截切 求出截交線(xiàn)后再取局部 例5 被三棱柱穿孔的四棱柱 1 圓柱體 5 2曲面立體 1 圓柱體的投影 2 圓柱體的投影特點(diǎn) 例1 分析圓柱輪廓素線(xiàn)的投影 3 圓柱體表面上取點(diǎn) 1 圓錐體的投影 2 圓錐體 2 圓錐體的投影特點(diǎn) 3 圓錐體表面上取點(diǎn) 1 圓球的投影 3 圓球 2 圓球的投影特點(diǎn) 3 3 3 圓球體表面上取點(diǎn) 4 圓環(huán) 二 平面與圓柱面的交線(xiàn) 1 平面截切圓柱 例1 求左視圖 例1 求左視圖 例2 圓柱截交線(xiàn) 例3 空心圓柱開(kāi)槽后的投影 例4 求左視圖 1 找特殊點(diǎn) 2 補(bǔ)充中間點(diǎn) 3 光連接各點(diǎn) 4 分析輪廓素線(xiàn)的投影 1 找特殊點(diǎn) 2 補(bǔ)充中間點(diǎn) 3 光連接各點(diǎn) 4 分析輪廓素線(xiàn)的投影 例4 求左視圖 例5 求左視圖 虛實(shí)分界點(diǎn) 例6 作被穿孔圓柱的側(cè)面投影 2 平面截切圓錐 1 素線(xiàn)法2 緯圓法 作圖步驟1 投影分析2 求特殊位置點(diǎn)3 求一般位置點(diǎn)4 光滑連接各點(diǎn)5 判斷可見(jiàn)性6 整理輪廓線(xiàn) 求圓錐截交線(xiàn)的作圖方法 例1 圓錐截交線(xiàn) 例2 圓錐截交線(xiàn) 例3 圓錐被兩個(gè)平面截切的投影 平面與圓球相交所得截交線(xiàn)為圓或圓弧 截交線(xiàn)的投影可能為圓或橢圓或直線(xiàn) 求圓球截交線(xiàn)的方法用緯圓法 3 平面截切圓球 作圖步驟1 投影分析2 求特殊位置點(diǎn)3 求一般位置點(diǎn)4 連接各點(diǎn)5 判斷可見(jiàn)性6 整理輪廓線(xiàn) 例1 求圓球截交線(xiàn) 解題步驟1 分析截平面為正垂面 截交線(xiàn)為圓 截交線(xiàn)的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓 2 求出截交線(xiàn)上的特殊點(diǎn) 3 求出若干個(gè)一般點(diǎn)A B C D 4 光滑且順次地連接各點(diǎn) 作出截交線(xiàn) 并且判別可見(jiàn)性 5 整理輪廓線(xiàn) 例2 求圓球截交線(xiàn) 例3 求被截圓球的水平投影 例4 求圓球截交線(xiàn) 例5 分析并想象出圓球穿孔后的投影 4 平面截切一般回轉(zhuǎn)體 平面P截回轉(zhuǎn)體的截交線(xiàn)是一平面曲線(xiàn) 它的水平投影積聚在PH上 只需求出其正面投影 求截交線(xiàn)上的各點(diǎn) 可取一系列水平截平面 找出它們與截平面P的交點(diǎn)即可 5 平面截切復(fù)合回轉(zhuǎn)體 首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它們的連接關(guān)系 然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線(xiàn) 并依次將其連接 例1 求作頂尖的俯視圖 例2 求作拉桿頭部截交線(xiàn)的正面投影 截交線(xiàn)小結(jié) 平面體的截交線(xiàn)一般情況下是由直線(xiàn)組成的封閉的平面多邊形 多邊形的邊是截平面與棱面的交線(xiàn) 求截交線(xiàn)的方法 棱線(xiàn)法棱面法平面截切回轉(zhuǎn)體 截交線(xiàn)的形狀取決于截平面與被截立體軸線(xiàn)的相對(duì)位置 截交線(xiàn)是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線(xiàn) 解題方法與步驟 空間及投影分析 分析截平面與被截立體的相對(duì)位置 以確定截交線(xiàn)的形狀 分析截平面與被截立體對(duì)投影面的相對(duì)位置 以確定截交線(xiàn)的投影特性 求截交線(xiàn)當(dāng)截交線(xiàn)的投影為非圓曲線(xiàn)時(shí) 要先找特殊點(diǎn) 再補(bǔ)充中間點(diǎn) 最后光滑連接各點(diǎn) 注意分析平面體的棱線(xiàn)和回轉(zhuǎn)體輪廓素線(xiàn)的投影 當(dāng)單體被多個(gè)截平面截切時(shí) 要逐個(gè)截平面進(jìn)行截交線(xiàn)的分析與作圖 當(dāng)只有局部被截切時(shí) 先按整體被截切求出截交線(xiàn) 然后再取局部 求復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截交線(xiàn) 應(yīng)首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它們的連接關(guān)系 然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線(xiàn) 并依次將其連接 5 3立體與立體相交 兩平面立體的相貫線(xiàn)是閉合的空間折線(xiàn)或平面多邊形 各段折線(xiàn)是兩立體相應(yīng)棱面的交線(xiàn) 折線(xiàn)的各個(gè)頂點(diǎn)是一個(gè)平面立體的棱線(xiàn)與另一個(gè)平面立體的交點(diǎn) 因此 求兩平面立體相貫線(xiàn)的問(wèn)題 可轉(zhuǎn)化為求兩平面的交線(xiàn) 直線(xiàn)與平面的交點(diǎn) 一兩平面立體相交 例1 兩個(gè)三棱柱相交 求作相貫線(xiàn) 例2 兩平面立體相貫 完成相貫線(xiàn)的投影 解題步驟1 分析相貫線(xiàn)為一組閉合折線(xiàn) 相貫線(xiàn)的正面投影未知 水平投影已知 相貫線(xiàn)的投影前后 左右對(duì)稱(chēng) 2 求出相貫線(xiàn)上的折點(diǎn) 等 3 順次地連接各點(diǎn) 作出相貫線(xiàn) 并且判別可見(jiàn)性 4 整理輪廓線(xiàn) 二 平面立體與回轉(zhuǎn)體相交 平面立體與回轉(zhuǎn)體表面相交 其相貫線(xiàn)一般是由若干段平面曲線(xiàn) 有時(shí)為直線(xiàn) 組合而成的空間封閉折線(xiàn) 每段平面曲線(xiàn)是平面立體的一個(gè)棱面與曲面立體的截交線(xiàn) 因此 求平面立體和回轉(zhuǎn)體的相貫線(xiàn) 可以歸結(jié)為求截交線(xiàn)問(wèn)題 例 三棱柱與圓球相交 求作相貫線(xiàn) 三 兩回轉(zhuǎn)體相交 兩回轉(zhuǎn)體表面相交時(shí)所產(chǎn)生的交線(xiàn)稱(chēng)為相貫線(xiàn) 相貫線(xiàn)的性質(zhì) 1 一般情況下 相貫線(xiàn)為封閉的空間曲線(xiàn) 特殊情況下也可成為平面曲線(xiàn)或直線(xiàn) 2 相貫線(xiàn)是兩立體表面的共有線(xiàn) 相貫線(xiàn)上的點(diǎn)是兩立體表面的共有點(diǎn) 求共有點(diǎn)的方法一般有 表面取點(diǎn)法 輔助平面法和輔助球面法 相貫線(xiàn) 相貫線(xiàn) 曲面立體相貫的三種基本形式 兩外表面相交 外表面與內(nèi)表面相交 兩內(nèi)表面相交 表面取點(diǎn)法原理當(dāng)相貫體中有一個(gè)是軸線(xiàn)垂直于投影面圓柱體時(shí) 先利用圓柱表面的積聚性 得到相貫線(xiàn)的至少一個(gè)投影 再通過(guò)回轉(zhuǎn)體表面取點(diǎn) 作出相貫線(xiàn)的未知投影 1 表面取點(diǎn)法 例1 求兩偏交圓柱的相貫線(xiàn) 2 輔助平面法 常用的輔助平面是投影面的平行面和垂直面 要使輔助平面與兩立體表面的交線(xiàn)的投影為直線(xiàn)或圓 輔助平面的選擇 例1 求圓柱與圓錐的相貫線(xiàn) 解題步驟1分析相貫線(xiàn)的側(cè)面投影已知 可利用輔助平面法求共有點(diǎn) 2求出相貫線(xiàn)上的特殊點(diǎn) 3求出若干個(gè)一般點(diǎn) 4光滑且順次地連接各點(diǎn) 作出相貫線(xiàn) 并且判別可見(jiàn)性 5整理輪廓線(xiàn) 例2 求圓球與圓錐的相貫線(xiàn) 解題步驟1 分析相貫線(xiàn)的三個(gè)投影均未知 可利用輔助平面法求共有點(diǎn) 2 求出相貫線(xiàn)上特殊點(diǎn) 4 光滑且順次地連接各點(diǎn) 作出相貫線(xiàn) 并且判別可見(jiàn)性 5 整理輪廓素線(xiàn) 3 求出若干個(gè)一般點(diǎn) 3 相貫線(xiàn)的特殊情況 兩軸線(xiàn)平行的柱面相交 相貫線(xiàn)是與軸線(xiàn)平行的兩條直線(xiàn) 兩共錐頂?shù)腻F面相交 相貫線(xiàn)是過(guò)錐頂?shù)囊粚?duì)相交直線(xiàn) 兩共軸回轉(zhuǎn)體相交相貫線(xiàn)是垂直于軸線(xiàn)的圓 兩圓柱軸線(xiàn)垂直相交 且直徑相等 相貫線(xiàn)為兩個(gè)相等橢圓 兩圓柱軸線(xiàn)斜交 且直徑相等 相貫線(xiàn)為兩個(gè)不等橢圓 具有公共內(nèi)切球的兩回轉(zhuǎn)面相交 相貫線(xiàn)為兩相交橢圓 具有內(nèi)公切球的兩回轉(zhuǎn)體相交 圓柱大小變化相貫線(xiàn)的變化趨勢(shì) 4 影響相貫線(xiàn)形狀的因素 當(dāng)圓柱的相對(duì)大小發(fā)生變化時(shí) 相貫線(xiàn)的變化趨勢(shì) 圓柱與圓錐相貫線(xiàn)的變化趨勢(shì) 當(dāng)大小發(fā)生相對(duì)變化時(shí) 圓柱與圓錐相貫線(xiàn)的變化趨勢(shì) 兩圓柱位置不同時(shí)相貫線(xiàn)的變化趨勢(shì) 當(dāng)圓柱的相對(duì)位置相對(duì)變化時(shí) 相貫線(xiàn)的變化趨勢(shì) 5 輔助球面法 圓柱 圓錐 輔助球 共有點(diǎn) 常用的輔助球面法為同心球面法 要使輔助球面與兩立體表面交線(xiàn)的投影為直線(xiàn) 求圓柱與圓錐斜交的相貫線(xiàn) 解題步驟1 分析圓柱與圓錐軸線(xiàn)斜交 相貫線(xiàn)的三個(gè)投影均未知 用輔助平面法找不到合適的輔助平面 此時(shí)可利用輔助球面法求共有點(diǎn) 2 求特殊點(diǎn) 其中 點(diǎn)也是最大輔助球面上的點(diǎn) 3 求小輔助球面上的點(diǎn) 4 求一般點(diǎn) 5 順次連接各點(diǎn) 并判別可見(jiàn)性 6 整理輪廓線(xiàn) 6 組合相貫線(xiàn) 三個(gè)或三個(gè)以上的立體相交在一起 稱(chēng)為復(fù)合相貫 這時(shí)相貫線(xiàn)由若干條相貫線(xiàn)組合而成 結(jié)合處的點(diǎn)稱(chēng)為結(jié)合點(diǎn) 處理復(fù)合相貫線(xiàn) 關(guān)鍵在于分析 找出有幾個(gè)兩兩曲面立體相貫 從而確定其有幾段相貫線(xiàn)組成 相貫線(xiàn)作圖步驟小結(jié) 1 分析兩曲面立體的幾何形狀 大小和相對(duì)位置 看看是否有已知的相貫線(xiàn)投影 是否有垂直于投影面的圓柱 2 求作相貫線(xiàn)上的