圖形與幾何n 教學內容 教材115-117頁，多邊形的面積的復習。n 教學提示 這節(jié)課復習的是五年級上冊第五單元，本單元是在學生掌握了平行四邊形、三角形、梯形這些圖形的特征以及長方形、正方形面積計算的基礎上學習的，它們也是進一步學習圓面積和立體圖形面積的基礎。本單元是讓學生探索并掌握平行四邊形、三角形和梯形面積計算公式，會計算這些圖形的面積。所以這節(jié)課的復習，主要是讓學生將學過的知識進行回顧、歸納、整理，從而達到加深理解、系統(tǒng)吸收、靈活運用的目的。n 教學目標知識與能力 進一步理解并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積公式，能應用公式計算這些圖形的面積，并解決一些簡單的實際問題。過程與方法 通過回憶、交流，將“多邊形的面積”這個單元所學的知識進行系統(tǒng)復習，形成完整知識體系；結合練習，加深對所學知識的理解，提高應用所學知識解決實際問題的能力。情感、態(tài)度與價值觀 感受復習的必要性與重要性，逐步形成學生自己整理所學知識的意識和良好的學習習慣。n 重點、難點重點、難點 歸納整理本單元所學的面積公式，能正確應用這些面積公式解決實際問題。n 教學準備教師準備： 課件，平行四邊形、三角形、梯形硬紙片若干，剪刀，三角尺。學生準備： 練習本n 教學過程（1） 新課導入：回顧舊知導入 1.回憶學習過的多邊形。（長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形） 師：同學們，前段時間我們學習了多邊形的面積，俗話說“溫故而知新”，今天這節(jié)課我們就一起將多邊形的面積進行系統(tǒng)的整理與復習。 （教師指名學生回答，并根據(jù)回答將多邊形粘貼在黑板上） 2.回憶多邊形的面積。 師：我們學習了這么多的多邊形，那他們的面積是怎么計算的呢？能不能挑一個你最喜歡的來說一說。（教師指名學生回答，并將計算公式板書，寫在相應圖形下面）設計意圖：教學中，讓學生大膽放手，自主回憶己學過的多邊形面積公式予以匯報。 （二）探究新知： 探討面積公式的推導及知識間的聯(lián)系。 1.探討平行四邊形、三角形、梯形面積之間的聯(lián)系。 師：我們在三年級的時候學習了長方形和正方形的面積，現(xiàn)在我們主要來探究平行四邊形、三角形、梯形面積之間的聯(lián)系。 問題a：請仔細觀察平行四邊形、三角形、梯形面積的計算公式，它們有什么相同點？（都要乘高） 問題b：三角形和梯形面積的計算有什么相同點？（都要除以2） 問題c：三角形面積的計算為什么要除以2？ 學生回答說：因為兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形。此時，當學生說道這個點的時候，教師就邀請這位同學到臺前來拼一拼，并且要他說一說，拼成的三角形和平行四邊形有什么聯(lián)系。 （三角形和拼成的平行四邊形是等底等高，拼成的平行四邊形的面積是三角形面積的2倍，三角形的面積是拼成平行四邊形面積的二分之一） 問題d：梯形面積的計算為什么要除以2？（方法同問題c） 2.建構多邊形面積計算的結構圖，體會新舊知識間的密切聯(lián)系。 師：現(xiàn)在，我想研究平行四邊形、三角形和梯形的面積，你首先會選擇哪個圖形來進行研究呢？ 此處，大部分學生都會選擇平行四邊形，教師根據(jù)學生的回答，將平行四邊形粘貼在黑板上，并追問為什么？學生會說，因為三角形和梯形的面積都是根據(jù)平行四邊形的面積推導出來的。教師根據(jù)學生的回答將三角形和梯形也粘貼出來，并打上箭頭，表示推導過程。（如下圖）師：老師這里還有一個長方形和一個正方形，你覺得擺在上面位置好呢？你能不 能像老師一樣來擺一擺，并標上箭頭呢？（學生上臺操作，并說明理由） 師：請同學們用圖表示它們之間的關系。 設計意圖：讓學生通過擺圖形，找相同點，回憶推導過程，推動學生自主地把各種平面圖形的面積計算之間的關系聯(lián)系起來。讓學生通過操作、觀察、分析，發(fā)現(xiàn)知識間的內在聯(lián)系，順利地形成合理的認知結構。這樣讓學生有一個自主梳理個機會，集體匯報交流時可以進行自我的查漏補缺。 （三）鞏固新知： 1.接下來，我們來做幾道練習題，看看你從中又能發(fā)現(xiàn)什么。 （1）每一個方格的邊長為1厘米，計算平行四邊形和三角形的面積。 A：認真觀察，說一說平行四邊形和三角形有什么聯(lián)系？（等底等高） B：計算它們的面積并說一說他們之間面積有什么聯(lián)系？（等底等高的三角形面積是平行四邊形面積的一半，平行四邊形面積是三角形面積的2倍）C：變換圖形兩次，說出兩個三角形的面積。2. 求下面兩個梯形的面積。 A.學生計算，之后指名學生匯報結果，教師板書。 B.為什么這兩個梯形的形狀不一樣，但面積卻相同呢？（上底+下底的和相等，高相等） C.你認為怎樣的梯形的面積會和這兩個梯形的面積相等？能不能舉例說明。（上底+下底的和相等，高相等） D.根據(jù)學生舉出的例子，多媒體課件展示。師：如果繼續(xù)變下去將會出現(xiàn)什么情況？（變成三角形） 設計意圖：在練習中，教師設計了基本題，即計算各種圖形的面積的練習；變式題，即判斷正誤，再次加深理解面積公式；開放題，即聯(lián)系圖形之間的關系，運用知識解決問題。這樣既鞏固了本節(jié)課所學知識，又把數(shù)學和生活聯(lián)系起來，讓學生人人學習有價值的數(shù)學。（四）課堂小結這節(jié)課你有什么收獲？（學生自由回答）設計意圖：知識之間存在著十分緊密的聯(lián)系，新的知識可以轉化為舊的知識學習，舊的知識是學習新知識的基礎。后來在練習中，我們通過把梯形的底發(fā)生變化，將三角形和平行四邊形的面積統(tǒng)一轉化成梯形的面積來計算。看來溫故真的能夠知新。（五）布置作業(yè)1.用字母表示三角形的面積是：( )，梯形的面積是：( )。2.一塊直角三角形鋼板，它的三邊長分別是3m，4m，5m，它的面積是( )。3.判斷：兩個梯形的面積相等，它們一定能拼成一四邊形。( )4.把一個長方形框架拉動一下變成一個平行四邊形，它的高及面積( )。 A.不變 B.都比原來小 C.都比原來大 D.高變矮，面積不變5.一個三角形的底和高都為原來的3倍，它的面積為原來的( )。A.3倍 B.6倍 C.9倍 D.18倍 6.求陰影部分的面積。（單位：厘米） 7.一個三角形（如圖）底長為5m，如果底延長1m，那么三角形的面積就增加0.8m2，原來三角形的面積是多少m2？(單位：m)8. 把一個長為8cm，寬為6cm的長方形框架拉成一個平行四邊形，這時面積減少了8cm2.較長邊上的高是多少cm？9.一個梯形的面積是240平方厘米，上底是20厘米，下底是28厘米，求梯形的高？10.木材廠有一堆同樣的圓木，組成的截面是梯形，上層是6根，下層是10根，一共有5層，這些圓木有多少根？答案：1.S=ah S=(a+b)h 2.6m2 3. 4.B 5.C 6. 3.642=7.2（cm2） 7.0.821=1.6 1.652=4（m2) 答：原來三角形的面積是4m2。 8.88=1 6-1=5（cm） 答：較長邊上的高是5cm。 9.2402（20+28）=10（厘米） 答：梯形的高是10厘米。 10.（6+10）62=48（根） 答：這些圓木有48根。n 板書設計 圖形與幾何 平行四邊形的面積:S=ah 三角形的面積：S=ah 梯形的面積：S=(a+b)hn 教學反思 這節(jié)課首先復習平行四邊形的面積公式以及面積公式的推導過程，通過把平行四邊形分割成兩個三角形或梯形，復習三角形和梯形的面積公式，通過板書讓學生能直觀理解每個圖形面積之間的聯(lián)系。這個環(huán)節(jié)就是圍繞著平行四邊形的面積公式與其它幾個圖形的紐帶關系，很好的把各種圖形的面積串聯(lián)在一起，形成了一個知識的網(wǎng)絡。接著，又一次充分的利用平行四邊形這個圖形，通過把它分成三角形、平行四邊形和梯形三份，分別計算面積。又一次的利用這個平行四邊形，通過不斷的縮短它的底邊，完美的演示了由平行四邊形到梯形再到三角形的動態(tài)變化過程，讓學生在不斷的圖形變化中深刻的體會圖形之間的某種必然聯(lián)系，很好的滲透一種極限的思想。n 教學資料包教學資源 求陰影部分的面積。（單位：厘米）答：26262+（10+26）（30-26）2 =338+3642 =338+72 =410 答：陰影部分的面積是410平方厘米。資料鏈接 淺談復習課的幾點想法 我有時不斷追問并試圖厘清“復習課的教學目標如何定位？怎樣達成？” .復習課的基本目標理中求清。既是復習，其基本目標必然是對一個階段已學的內容進行梳理，讓學生將頭腦中點狀的知識結構化、系統(tǒng)化，同時，抓住學生關鍵性的認知漏洞或誤區(qū)，讓其暴露，進 行彌補，使學生學得更全面、更完整。可見，復習梳理，理的是知識，清的是認識。既然如此，教師需要思考以下兩個問題： （）已學過的知識，是每一個學生都真正認識的嗎？顯然，當我們立足于每一個學生，我們都會清晰地看到，個體之間的差異是客觀存在的。同樣的內容，同樣的教學，在不同的學生那兒，并不會達到同樣的理解和把握。所以，復習和梳理，首先應該是學生自我整理的過程。一旦這樣的個體行為，變成一種集體式的步伐共進時，就很容易將梳理的過程變成“炒冷飯”的局面，變成一個學生興致索然、效果了了的過程。如此看來，教材中提出的要求：回想一下，我們學習了哪些平面圖形的面積計算？聯(lián)系各圖形面積公式的推導過程，用你認為合適的方式整理出來。比較恰當?shù)慕虒W方式應是，在此要求下課前自主梳理，根據(jù)各自梳 理 的 內 容 和 方 式，再 進 行 交 流 和引導。我們可以預想的是，學生自主梳理中可能出現(xiàn)三種不同的層次：最低層次，僅僅理出了各種平面圖形面積計算的方法或公式；一層次，不僅理了面積計算的方法，還理了各圖形面積公式的推導過程；最高層次，能根據(jù)各圖形面積公式的推導過程用個性化的方式恰當?shù)乇磉_出它們之間的聯(lián)系。應該說，這三種層次反映出前期學習中不同學生過程性目標的達成度，折射出不同學生對這部分內容的掌握是機械性學習的結果，還是理解性學習的成分居多。照這樣的分析，課堂上對各自梳理內容的交流和引導，按“理結論理過程理聯(lián)系”的脈絡予以展開，其意義，就是在“理”中讓不同層次的學生都獲得對各圖形面積計算的清晰認識。對于第三層次的學生來說，梳理后的交流，是在比照中豐富將知識結構化的經(jīng)驗；對于第二層次的學生來說，他們收獲的，還有更強烈的將知識結構化的意識；而對于第一層次的學生而言，交流的過程，還有幫助他們理解結論產(chǎn)生過程的功效。 （）在“知道的”當中，有普遍性的疏漏或誤區(qū)嗎？ 小學階段，圖形面積的推導過程，主要是聚焦影響面積的兩個長度變量，通過溝通不同圖形長度變量間的聯(lián)系來獲得各圖形面積計算方法。從某種意義上說，這容易讓學生對等底等高和面積相等（或面積是一半）的內涵和外延存在一定程度的混淆與模糊理解。而對于等底等高與面積相等（或面積是一半）之間的密切聯(lián)系、“等底等高完全相等”等關鍵點，學生會在前期的學習和變式練習中產(chǎn)生比較強烈的印象。但同時，也容易將決定“面積 相 等”的 范 疇 就 此 窄 化 為 “等 底 等高”。基于這樣的學情分析，基本練習后的變式，從三角形的變形予以展開。“如果要畫一個三角形，它的面積是和方格中三角形面積一樣，你行嗎？用最快的速度在方格紙上畫出一個這樣的三角形”。果然，速度要求之下，學生呈現(xiàn)的第一想法都是畫一個和它等底等高的三角形，稍有不同的，只是形 狀 的 差異。如此看來，抓住“面積相等” “等底等高”之間的不同，讓學生在畫中關注“形”，在“形”中聚焦“數(shù)”，是有助于學生厘清面積與影響其變化的長度變量之間的關系的。 .復習課的核心宗旨通中達融。 復習課除了梳理、補漏、糾錯，更重要的意義是什么？布魯納“每一門學科都有其自身的結構”“教知識不如教結構”的觀點，可以給我們以啟發(fā)。既是對一個階段所學內容的整理和復習，顯然，將所學知識彼此間建立聯(lián)系，形成結構，是必 須 的。這 也 是 復 習 課 的要 旨所在。 （）聚焦學習過程，需要“通”什么？ 如前所述，梳理各多邊形面積計算的方法和推導過程，形成網(wǎng)絡圖。這是對一單元學習內容的疏通與架構，是幫助學生形成認知結構必做之事。這是“通”的首要環(huán)節(jié)。 （）回望認知基礎，可以“通”什么？ 除此之外，回望已學的內容，面積的計算是由面積的意義這一“根基”上生長出來的。三年級認識面積時，學生理解了面積的含義。而對于面積的一個重要特性面積的可加性，在前面具體內容的學習中（如平行四邊形面積公式的推導），往往是就事論事式的通過某個例子的觀察比較，作為一種公認的現(xiàn)象，讓學生知道圖形變形前后大小未變。因著這樣的思考，才有了本節(jié)課在“畫一個是三角形面積和紙上三角形面積一樣”的要求之下，在對學生呈現(xiàn)出的各種“底不等高不等但面積相等”的數(shù)據(jù)的追問“這些三角形既不等底又不等高，怎么面積就相等了呢？”這樣的設計，凸顯了“形”與“算”之間的聯(lián)系。同時，可呈現(xiàn)各種割補法之后的追問“大家有沒有想過，為什么這些圖形可以切切、補補、拼拼，變成別的圖形來推導它的面積計算方法呢？”亦是讓學生對“平面圖形切割拼補后不改變面積的大小”這樣的經(jīng)驗作出一個綜合性的闡述。 （）放眼后續(xù)發(fā)展，還可“通”什么？放眼整個 關 于 平 面 圖 形 面 積 計 算 的 研究，各種圖形面積公式的推導方法和路徑其實是多元的。基于學生已有的知識基礎，小學階段的教材，都采用了借助兩個全等的三角形或梯形來推導它們的面積 公 式。但 其實，割補法的普適性和生命力更強。這一點，一千七百多年前劉徽在九章算術中所呈現(xiàn)的各種用割補法進行面積推導的路徑亦可作為佐證。也正因為此，不同版本的教材都在“你知道嗎？”等欄目中或多或少地予以提示和拓展。對于這樣的“節(jié)點”，教師自然都不會放過。那么，怎么處理？作為一個知識點呈現(xiàn)，是一種方式；作為另一種不同的轉化方法予以演示，也是一種方式；在復習課中，作為一個內通外聯(lián)、留有韻味的載體，也是一種方式。本節(jié)課中，筆者嘗試從方格圖上梯形的變形入手，通過直觀圖形和抽象公式的比較，打通梯形和三角形的聯(lián)系，教師可在此基礎上，介紹九章算術中幾種主要的割補推導的方法，引發(fā)學生對其他轉化方式的遐想和思考，并為今后研究這些轉化方式的合理性留下伏筆“為什么任意一個三角形或梯形，都可以割割補補變成長方形呢？或 者 說，怎 么 剪 拼 才 能 變成 長 方形呢？”筆者以為，“內通”認識成框架，“前通”結構找皈依，“后通”節(jié)點促生長，應是復習課需要把 握 的 關 鍵。 只 有 實 現(xiàn) 這 三 個 方 向的“通”，才有可能幫助學生到達“融”的境界，讓學生在知識的學習中豐富認識并積淀可持續(xù)發(fā)展的能量。 .復習課的本質意義思中得慧。 “知識是他人經(jīng)驗的累積。智慧是自己經(jīng)驗的累積。”那么，如何讓學生在數(shù)學學習中生長智慧？數(shù)學的本質是思維。顯然，讓學生在思考中獲得思考的經(jīng)驗，從而發(fā)展其思維、啟迪其智慧，是數(shù)學教學的重要價值所在。故此，對每一個數(shù)學教師而言，思學生之思，是實施教學的重心。筆者以為，“思”首先是一種思考的狀態(tài)。研究表明，人在需要、動機、興趣、情感、意志等心理因素的積極作用下，注意力高度集中，大腦皮層高度興奮，思維高度活躍且持續(xù)時，會產(chǎn)生一種思維流。在思維流發(fā)生的這段時間里，人表現(xiàn)為精神振奮、心情愉悅、充滿愛心、感受性強、