第3講 導數的綜合應用 1 求參數的取值范圍 與導數相關的參數范圍問題是高考中考查的一個重點 大多給出函數的單調性 屬運用導數研究函數單調性的逆向問題 解題關鍵在于靈活運用等價轉化 分類討論 數形結合等思想方法 建立關于字母參數的不等關系 2 用導數方法證不等式 用導數證不等式的一般步驟是 構造可導函數 研究單調性 或最值 得出不等關系 整理得出結論 3 平面圖形面積的最值問題 此類問題的求解關鍵在于根據幾何知識建立函數關系 然后運用導數方法求最值 上述三類問題 在近幾年的高考中都是綜合題 難度較大 體現了在知識交匯點處命題的思路 注重考查綜合解題能力和創新意識 復習時要引起重視 4 利用導數解決生活中的優化問題 優化問題可歸結為函數的最值問題 從而可用導數來解決 用導數解決優化問題 即求實際問題中的最大 小 值的主要步驟如下 1 分析實際問題中各量之間的關系 列出實際問題的數學模型 寫出實際問題中變量之間的函數關系y f x 即將優化問題歸結為函數最值問題 2 求導數f x 解方程f x 0 3 比較函數在區間端點和使f x 0的點的函數值大小 最 大者為最大值 最小者為最小值 4 檢驗作答 即獲得優化問題的答案 a 則物體在t 3s的瞬時速度為 a 30c 45 b 40d 50 2 函數f x 的定義域為開區間 a b 導函數f x 在 a b 內的圖象如圖4 3 1 則函數f x 在開區間 a b 內有極小值點 a 圖4 3 1 a 1個 b 2個 c 3個 d 4個 3 函數f x x3 ax2 3x 9 已知f x 在x 3時取極值 則a d a 2 b 3 c 4 d 5 4 函數f x 12x x3在區間 3 3 上的最小值是 5 曲線y xex 2x 1在點 0 1 處的切線方程為 16 y 3x 1 考點1求參數的范圍問題 答案 c 互動探究 1 對于任意實數x f x m恒成立 求m的最大值 2 若方程f x 0有且僅有一個實根 求a的取值范圍 考點2利用導數證明不等式問題 互動探究 考點3 利用導數解決實際優化問題 例3 2011年江蘇 請你設計一個包裝盒 如圖4 3 2所示 abcd是邊長為60cm的正方形硬紙片 切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形 再沿虛線折起 使得a b c d四個點重合于圖中的點p 正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒 e f在ab上 是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點 設ae fb xcm 1 某廣告商要求包裝盒的側面積scm2最大 試問x應取何值 2 某廠商要求包裝盒的容積vcm3最大 試問x應取何值 并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值 解析 設包裝盒的高為h cm 底面邊長為a cm 1 s 4ah 8x 30 x 8 x 15 2 1800 所以當x 15時 s取得最大值 圖4 3 2 引入恰當的變量 建立適當的模型是解題的關鍵 第 1 中側面積s是關于x的二次函數 可以利用拋物線的性質求最值 也可以利用導數求解 而第 2 題中容積v是關于x的三次函數 因此只能利用導數求最值 互動探究 3 一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比 已知在速度為每小時10公里時的燃料費是每小時6元 而其他與速度無關的費用是每小時96元 為使行駛每公里的費用總和最小 則此輪船的航行速度為 a 10公里 小時b 15公里 小時c 20公里 小時d 25公里 小時 答案 思想與方法 8 利用數形結合思想討論函數的圖象及性質 例題 2011年 江南十校 聯考 已知函數f x ax3 bx2 cx在x 1處取得極值 且在x 0處的切線的斜率為 3 1 求f x 的解析式 2 若過點a 2 m 可作曲線y f x 的三條切線 求實數m的 取值范圍 m的取值范圍是 6 2 圖4 3 3 令g x 2x3 6x2 6 則g x 6x2 12x 6x x 2 由g x 0得x 0或x 2 g x 極小值 g 0 6 g x 極大值 g 2 2 畫出草圖知 如圖4 3 3 當 6 m 2時 m 2x3 6x2 6有三解 關于導數的應用 課標要求 1 了解函數的單調性與導數的關系 能利用導數研究函數的 單調性 會求不超過三次的多項式函數的單調區間 2 了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件 會用導數求不超過三次的多項式函數的極大值 極小值 以及閉區間上不超過三次的多項式函數的最大值 最小值 3 體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性 體會 導數在解決實際問題中的作用zxxk 1 用導數求最值時 要步驟規范 表格齊全 若解析式中含 有參數 要注意討論參數的大小 2 如果連續函數在某區間內只有一個極值