數列的通項與求和一、知識梳理： 求數列通項公式的常見題型與方法：1由數列的前幾項，考察各項與項數之間的關系，歸納出數列的通項公式。2利用“歸納猜想證明”的方法求通項。3 利用與的關系：，求通項。4根據數列的遞推公式求數列的通項公式，其中常用方法有： （1）構造法：通過構造特殊的數列（如等差、等比數列等），從而求出數列的通項公式的方法。這是一種較常用的方法。（2）累加法、累乘法.數列求和的常見方法有： 1、 公式法： 等差數列的求和公式， 等比數列的求和公式 、， ， ， 等差數列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比數列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn2、分組求和法：在直接運用公式求和有困難時常，將“和式”中的“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和（如：通項中含因式，周期數列等等）；注：并項求和法：一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和。形如類型，可采用兩項合并求解。 3、倒序相加法：如果一個數列a，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到了一個常數列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2通常，當數列的通項與組合數相關聯時，那么常可考慮選用倒序相加法，（等差數列求和公式） 4、錯項相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列與一個等比數列的對應項相乘所組成，此時求和可采用錯位相減法。特征：所給數列a，其中a=cnbn而cn是一個等差數列，且bn則是一個等比數列。（“等比數列”的求和） 5、裂項相消法：把一個數列的各項拆成兩項之差，即數列的每一項均可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前n項之和變成首尾若干少數項之和，這一求和方法稱為裂項相消法。常見的拆項公式： = -； = ( -); = ( -)(其中an是一個公差為d的等差數列； = ( - )； ； 一、選擇題（每小題6分，共42分）1.數列an的前n項和Sn=2n2-3n+1,則a4+a5+a6+a10等于（ ）A.171 B.21 C.10 D.161【答案】D【解析】原式=S10-S3=2102-310-(232-33)=161.2.數列an的通項公式是an=，若前n項和為10，則項數n為（ ）A.11 B.99 C.120 D.121【答案】C【解析】因an=，故Sn=(-1)+(-)+()=-1,由Sn=10,故n=120.3.數列an的通項公式為an=4n-1,令bn=,則數列bn的前n項和為（ ）A.n2 B.n(n+2) C.n(n+1) D.n(2n+1)【答案】B【解析】an=4n-1,數列an是等差數列，且a1=4-1=3,bn=2n+1.顯然數列bn是等差數列，且b1=2+1=3，它的前n項和Sn=b1+b2+bn=n(n+2).4.數列1，（1+2），（1+2+22），（1+2+22+2n-1）,的前n項和等于（ ）A.2n B.2n-n C.2n+1-n-2 D.n2n【答案】C【解析】令n=1,排除A、D，又令n=2，排除B.選C.5.數列1，的前n項和等于( )A.Sn=3- B.Sn=3-1-C.Sn=3- D.Sn=3-n2n-【答案】A【解析】令Sn=1+, 則Sn=+. -得Sn=1+=1+=.Sn=3-,故選A.或者用特殊法.6.Sn=1+等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】an=,Sn=2(1-)+(-)+()=2(1-)=.7.(2010全國大聯考，10)已知數列an滿足an=則an的前2k-1項的和為( )A.k2-k+1- B.k2+k+1-C. D.【答案】A【解析】取k=1，S1=，排除B、C；取k=2,S3=,排除D。二、填空題（每小題5分，共15分）8.已知數列an的前n項和Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),那么S15+S22-S31的值為_.【答案】-76【解析】S15=1-5+9-13+57=1+(9-5)+(17-13)+(57-53)=29,同理可得：S22=-44，S31=61,S15+S22-S31=-76.9.(2010湖北八校模擬，14)數列an中，Sn是前n項和，若a1=1,an+1=Sn(n1),則an=_.【答案】an=【解析】an+1=Sn, an=Sn-1. -得an+1-an=an,(n2).a2=S1=1=,當n2時，an=()n-2.an=10.數列an滿足a1=,a1+a2+an=n2an,則an=_.【答案】(nN*)【解析】a1+a2+an=n2an a1+a2+an+an+1=(n+1)2an+1. -得an+1=(n+1)2an+1-n2an,.an=a1.三、解答題（1113題每小題10分，14題13分，共43分）11.求a+2a2+3a3+nan.【解析】設S=a+2a2+3a3+nan.若a=0,則S=0；若a=1,則S=;若a0,且a1,則S=a+2a2+3a3+nan, aS=a2+2a3+(n-1)an+na n+1 -得（1-a）S=a+a2+an-nan+1=-nan+1.S=.12.(2010湖北黃岡中學模擬，17)已知等比數列an中，a1=64,公比q1,a2,a3,a4又分別是某等差數列的第7項，第3項，第1項.(1)求an;(2)設bn=log2an,求數列|bn|的前n項和Tn.【解析】（1）依題意有a2-a4=3(a3-a4)，即2a4-3a3+a2=0,2a1q3-3a1q2+a1q=0，即2q2-3q+1=0.q1,q=.故an=64()n-1,(2)bn=log264()n-1=log227-n=7-n，|bn|=n7時，Tn=;n7時，Tn=T7+=21+，故Tn=13.(2010中科大附中模擬，19)等差數列an是遞增數列，前n項和為Sn,且a1,a3,a9成等比數列，S5=a52;(1)求數列an的通項公式；（2）若數列bn滿足bn=,求數列bn的前99項的和.【解析】(1)設數列an公差為d(d0),a1,a3,a9成等比數列,a32=a1a9,(a1+2d)2=a1(a1+8d),d2=a1d. d0,a1=d.Sn=a52,5a1+d=(a1+4d)2. 由得：a1= d=,an=+(n-1)=n.bn=.b1+b2+b3+b99=99+(1-)+(-)+()=(100-)=.14.設數列an的前n項和為Sn，若對于任意的nN*,都有Sn=2an-3n,(1)求數列an的首項與遞推關系式an+1=f(an);(2)先閱讀下面定理，若數列an有遞推關系an+1=Aan+B,其中A、B為常數，且A1,B0,則數列an-是以A為公比的等比數列，請你在第（1）題的基礎上應用本定理，求數列an的通項公式;(3)求數列an的前n項和Sn.【解析】(1)Sn=2an-3n,Sn+1=2an+1-3(n+1).an+