專題強化訓練(十四)解析幾何一、選擇題12019福建五校聯考已知m是3與12的等比中項，則圓錐曲線1的離心率是()A2B.C.D2或解析：因為m是3與12的等比中項，所以m231236，解得m6.若m6，則曲線的方程為1，該曲線是雙曲線，其離心率e2；若m6，則曲線的方程為1，該曲線是橢圓，其離心率e.綜上，所求離心率是2或.故選D.答案：D22019南昌重點中學已知雙曲線E：1(a0，b0)的兩條漸近線分別為l1，l2，若E的一個焦點F關于l1的對稱點F在l2上，則雙曲線E的離心率為()A.B2C.D.解析：雙曲線E的一個焦點F關于l1的對稱點F在l2上，且雙曲線E：1(a0，b0)的焦點在x軸上，x軸和直線l2關于直線l1對稱，又雙曲線E的兩條漸近線l1，l2關于x軸對稱，tan60，雙曲線E的離心率e2，故選B.答案：B32019廣東六校聯考已知直線l的傾斜角為45，直線l與雙曲線C：1(a0，b0)的左、右兩支分別交于M，N兩點，且MF1，NF2都垂直于x軸(其中F1，F2分別為雙曲線C的左、右焦點)，則該雙曲線的離心率為()A.B.C.1D.解析：根據題意及雙曲線的對稱性，可知直線l過坐標原點，|MF1|NF2|.設點M(c，y0)，則N(c，y0)，1，即|y0|.由直線l的傾斜角為45，且|MF1|NF2|y0|，得|y0|c，即c，整理得c2aca20，即e2e10，解得e或e(舍去)，故選D.答案：D42019湖南四校調研已知A，B，P是雙曲線1(a0，b0)上不同的三點，且A，B連線經過坐標原點，若直線PA，PB的斜率乘積kPAkPB3，則該雙曲線的離心率為()A.B.C2D3解析：由雙曲線的對稱性知，點A，B關于原點對稱，設A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x2，y2)，則1，1，又kPA，kPB，所以kPAkPB3，所以離心率e2，故選C.答案：C52019洛陽統考經過點(2,1)，且漸近線與圓x2(y2)21相切的雙曲線的標準方程為()A.1B.y21C.1D.1解析：通解：設雙曲線的漸近線方程為ykx，即kxy0，由漸近線與圓x2(y2)21相切可得圓心(0,2)到漸近線的距離等于半徑1，由點到直線的距離公式可得1，解得k.因為雙曲線經過點(2,1)，所以雙曲線的焦點在x軸上，可設雙曲線的方程為1(a0，b0)，將點(2,1)代入可得1，由，得，故所求雙曲線的方程為1.故選A.優解：設雙曲線的方程為mx2ny21(mn0)，將(2,1)代入方程可得，4mn1.雙曲線的漸近線方程為y x，圓x2(y2)21的圓心為(0,2)，半徑為1，由漸近線與圓x2(y2)21相切，可得1，即3，由可得m，n，所以該雙曲線的方程為1，故選A.答案：A62019鄭州質量預測一已知雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F2，實軸長為6，漸近線方程為yx，動點M在雙曲線左支上，點N為圓E：x2(y)21上一點，則|MN|MF2|的最小值為()A8B9C10D11解析：由題意，知2a6，a3，又由，得b1，所以c，則F1(，0)根據雙曲線的定義知|MF2|2a|MF1|MF1|6，所以|MN|MF2|MN|MF1|6|EN|MN|MF1|5|F1E|559，故選B.答案：B72019安徽示范高中已知F1，F2是雙曲線E：1(a0，b0)的左、右焦點，點M在雙曲線E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則雙曲線E的離心率為()A.B.C.D2解析：由題意知F1(c,0)，因為MF1與x軸垂直，且M在雙曲線上，所以|MF1|.在RtMF2F1中，sinMF2F1，所以tanMF2F1，即，又b2c2a2，所以c2a22ac0，兩邊同時除以a2，得e22e0，又e1，所以e.答案：A82019唐山摸底已知橢圓C：1(ab0)和雙曲線E：x2y21有相同的焦點F1，F2，且離心率之積為1，P為兩曲線的一個交點，則F1PF2的形狀為()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定解析：由題意可知，1ca，因為c，所以a2，b2a2c22，不妨設P與F2在y軸右側，則，得|PF1|2|F1F2|2|PF2|2，所以F1PF2為直角三角形，故選B.答案：B92019武昌調研已知M為雙曲線C：1(a0，b0)的右支上一點，A，F分別為雙曲線C的左頂點和右焦點，線段FA的垂直平分線過點M，MFA60，則C的離心率為()A6B4C3D2解析：如圖，設雙曲線C的左焦點為F1，連接MF1，由題意知|MF|AF|ac，|MF1|3ac，在MF1F中，由余弦定理得|MF1|2|F1F|2|MF|22|F1F|MF|cos60，所以(3ac)2(2c)2(ac)222c(ac)，整理得4a23acc20，因為e，所以e23e40，因為e1，所以e4，故選B.答案：B102019合肥調研已知雙曲線M：1(a0，b0)的焦距為4，兩條漸近線的夾角為60，則雙曲線M的標準方程是()A.y21或1B.y21或x21C.1或x21D.1或1解析：依題意，a2b24，因為兩條漸近線的夾角為60，所以漸近線的傾斜角為30與150或60與120，當傾斜角為30與150時，可知，所以；當傾斜角為60與120時，所以，所以雙曲線的標準方程為y21或x21.故選B.答案：B112019惠州調研已知F1，F2分別是雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點，A和B是以坐標原點O為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且F2AB是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為()A.B.1C.1D2解析：由題意知|F1F2|2c，ABF2是等邊三角形，AF2F130，連接AF1，則|AF1|c，|AF2|c，a，e1.故選C.答案：C122019南昌重點中學設橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F2，點E(0，t)(0t0)的左、右焦點，點P為雙曲線右支上的一點，滿足(2)0(O為坐標原點)，且cosPF1F2，則該雙曲線的離心率為()A.B2C3D.解析：解法一：由()0，得|OP|OF2|，在PF1F2中，OP是邊F1F2上的中線，且|OP|F1F2|，F1PF290.由x21，得a1，c，在RtPF1F2中，得在RtPF1F2中，cosPF1F2，整理得9b432b2160，b24，離心率e.故選D.解法二：由()0，得|OP|OF2|，在PF1F2中，OP是邊F1F2上的中線，且|OP|F1F2|，F1PF290.在RtPF1F2中，由cosPF1F2，得，|PF1|c，|PF2|c.由雙曲線的定義可知|PF1|PF2|ccc2a，離心率e.故選D.答案：D142019福建五校聯考已知以圓C：(x1)2y24的圓心為焦點的拋物線C1與圓C在第一象限交于A點，B點是拋物線C2：x28y上任意一點，BM與直線y2垂直，垂足為M，則|BM|AB|的最大值為()A1B2C1D8解析：易知拋物線C1的焦點為(1,0)，所以拋物線C1的方程為y24x.由及點A位于第一象限可得點A(1,2)因為拋物線C2：x28y的焦點F(0,2)，準線方程為y2，所以由拋物線的定義得|BM|BF|.如圖，在平面直角坐標系中畫出拋物線C2及相應的圖形，可得|BM|AB|BF|AB|AF|(當且僅當A，B，F三點共線，且點B在第一象限時，不等式取等號)故所求最大值為|AF|1，故選A.答案：A152019湖北重點中學如圖，已知A，B，C是雙曲線1(a0，b0)上的三個點，AB經過坐標原點O，AC經過雙曲線的右焦點F，若BFAC，且2|AF|CF|，則該雙曲線的離心率是()A.B.C.D.解析：設雙曲線的左焦點為F，連接AF，BF，CF，則由|OA|OB|，|OF|OF|，BFAC知四邊形AFBF為矩形，設|AF|m，則|AF|m2a，|AC|AF|2|AF|3|AF|3m，|FC|2|AF|2m，則|FC|FC|2a2m2a，則在RtAFC中，|FC|2|AF|2|AC|2，即(2m2a)2(m2a)2(3m)2，解得ma.在RtAFF中，|FF|2|AF|2|AF|2，即4c2(m2a)2m2，即4c222，整理，得，所以雙曲線的離心率e，故選B.答案：B162019洛陽統考如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，點S(0,3)，SA，SB與圓C：x2y2my0(m0)和拋物線x22py(p0)都相切，切點分別為M，N和A，B，SAON，則點A到拋物線準線的距離為()A4B2C3D3解析：連接OM，SM，SN是圓C的切線，|SM|SN|，|OM|ON|.又SAON，SMON，四邊形SMON是菱形，MSNMON.連接MN，由切線的性質得SMNMON，則SMN為正三角形，又MN平行于x軸，所以直線SA的斜率ktan60.設A(x0，y0)，則.又點A在拋物線上，x2py0.由x22py，得y，yx，則x0，由得y03，p2，所以點A到拋物線準線的距離為y04，故選A.答案：A172019河北九校聯考已知點F(c,0)(c0)是雙曲線1(a0，b0)的左焦點，過F且平行于雙曲線漸近線的直線與圓x2y2c2交于點F和另一個點P，且點P在拋物線y24cx上，則該雙曲線的離心率是()A.B.C.D.解析：如圖，由x2y2c2與y24cx及題意可取P(2)c,2c)，又P在過F且與漸近線平行的直線y(xc)上，所以2c(2)cc又a2b2c2且e，所以e.故選C.答案：C182019安徽五校質檢二已知雙曲線1(a0，b0)的離心率為2，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，點M(a,0)，N(0，b)，點P為線段MN上的動點，當取得最小值和最大值時，PF1F2的面積分別為S1，S2，則()A4B8C2D4解析：因為雙曲線的離心率為2，所以c2a，ba，所以N(0，a)，F1(2a,0)，F2(2a,0)，MN的方程為yxa(ax0)，設P(x0，x0a)，ax00，則(2ax0，x0a)，(2ax0，x0a)，所以(2ax0)(2ax0)(x0a)2x4a23x6ax03a24x6ax0a2(ax00)，當x0a時，取得最小值，此時P，則S12aaa2；當x00時，取得最大值，此時P(0，a)，則S22aa2a2.所以4，故選A.答案：A192019鄭州質量預測二拋物線x22py(p0)的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足AFB60，過弦AB的中點C作該拋物線準線的垂線CD，垂足為D，則的最小值為()A.B1C.D2解析：如圖，過A，B兩點分別作準線的垂線，AQ，BP，垂足分別為Q，P.設|AF|a，|BF|b，由拋物線的定義，得|AF|AQ|，|BF|BP|，在梯形ABPQ中，2|CD|AQ|BP|ab，由余弦定理得|AB|2a2b22abcos60a2b2ab，即|AB|2(ab)23ab.因為ab2，所以|AB|2(ab)23ab(ab)232，即|AB|，所以1，故選B.答案：B二、填空題202019山西第一次聯考在平面直角坐標系xOy中，P(1,2)是雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線l上的一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，若F1PF290，則雙曲線的左頂點到直線l的距離為_解析：由題意知雙曲線的一條漸近線l的方程為yx，因為點P(1,2)在漸近線l上，所以2，所以直線l的方程為y2x.在RtPF1F2中，原點O為線段F1F2的中點，所以|OP|F1F2|c，又|OP|，所以c.又c2a2b2，2，所以a1，b2，則雙曲線的左頂點的坐標為(1,0)，該點到直線l的距離d.答案：212019長沙四校一模過點F(1,0)作直線交拋物線y24x于A，B兩點，交直線x1于點C，且，則線段AB的長為_解析：解法一：如圖，不妨設點A在x軸上方，顯然點F(1,0)是拋物線y24x的焦點，直線x1是拋物線y24x的準線，過點A，B作準線x1的垂線，垂足分別為A1，B1，設準線x1交x軸于點F1，則|FF1|2.設|AF|m，|BF|n，|BC|t，則|AA1|m，|BB1|n，于是得所以|AB|mn.解法二：由題意知，直線AB的斜率存在且不為零，設直線AB：yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)把yk(x1)代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，則x1x22，x1x21.由，得x11(x21)，于是x1，x2，所以25，化簡得9k419k2240，(k23)(9k28)0，所以k23，所以|AB|x11x214.答案：222019武昌調研過點M(m,0)作直線l1，l2與拋物線E：y24x相交，其中l1與E交于A，B兩點，l2與E交于C，D兩點，AD過E的焦點F.若AD，BC的斜率k1，k2滿足k12k2，則實數m的值為_解析：如圖，設直線l1的方程為xt1ym，A(x1，y1