中國特級教師高考復習方法指導數學復習版1981年試題(理工農醫類)一、設A表示有理數的集合,B表示無理數的集合,即設A=有理數,B=無理數,試寫出:(1)AB,(2)AB. Key 一、解:(1)AB=實數.(或AB=R,或AB=實數集合.)(2)AB=.(或AB= ,或AB=空集.) 二、在A、B、C、D四位候選人中,(1)如果選舉正、副班長各一人,共有幾種選法?寫出所有可能的選舉結果;(2)如果選舉班委三人,共有幾種選法?寫出所有可能的選舉結果. Key 二、解:所有可能的選舉結果:(把正班長、副班長按次序來寫)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的選舉結果:ABC,ABD,ACD,BCD. 三、下表所列各小題中,指出A是B的充分條件,還是必要條件,還是充要條件,或者都不是. Key 三、解: (1)必要條件(2)充分條件(3)充分條件(4)充要條件四、寫出余弦定理(只寫一個公式即可),并加以證明. Key 四、公式:設ABC的三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.證法一:平面幾何證法.如果A是銳角,從C作AB的垂線交AB于D,于是由勾股定理得a2=CD2+DB2=(bsinA)2+(c-bcosA)2=b2+c2-2bccosA.如果A是鈍角,從C作AB的垂線交BA的延長線于D,于是由勾股定理得a2=CD2+BD2=bsin(180-A)2+c+bcos(180-A)2=b2+c2-2bccosA.如果A是直角,cosA=0,a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.證法二:解析幾何證法以A為原點,射線AB為x軸正向,建立直角坐標系,則得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由兩點間的距離公式得a2=BC2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA. 五、解不等式(x為未知數): Key 五、解:原行列式可逐步簡化如下:故原不等式為x2(x-a-b-c)0.原不等式的解是x0,xa+b+c. 六、用數學歸納法證明等式對一切自然數n都成立. Key 所以當n=1時等式成立.(ii)假設當n=k時等式成立,即所以當n=k+1時等式也成立.根據(i)和(ii),就證明了對于一切自然數n等式都成立. 七、設1980年底我國人口以10億計算.(1)如果我國人口每年比上年平均遞增2%,那么到2000年底將達到多少?(2)要使2000年底我國人口不超過12億,那么每年比上年平均遞增率最高是多少?下列對數值可供選用:lg1.0087=0.00377lg1.0092=0.00396lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340lg1.4859=0.17200lg1.5157=0.18060 Key 七、解:(1)所求人口數x(億)是等比數列10, 101.02, 10(1.02)2,的第21項,即x=10(1.02)20,兩邊取對數,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,x=14.859(億).答:到2000年底我國人口將達到14.859億.(2)設人口每年比上年平均遞增率最高是y%,按題意得10(1+y%)2012,即(1+y%)201.2.根據對數函數的單調上升性,對上列不等式兩邊取對數得20lg(1+y%)lg1.2.即lg(1+y%)0.00396.1+y%1.0092,y%0.0092.答:每年比上年人口平均遞增率最高是0.92%. 八、在120的二面角P-a-Q的兩個面P和Q內,分別有點A和點B.已知點A和點B到棱a的距離分別為2和4,且線段AB=10.(1)求直線AB和棱a所成的角;(2)求直線AB和平面Q所成的角. Key 八、解:(1)在平面P內作直線ADa于點D;在平面Q內,作直線BEa于點E,從點D作a的垂線與從點B作a的平行線相交于點C.ABC等于AB和a所成的角.ADC為二面角P-a-Q的平面角, ADC=120.又AD=2,BCDE為矩形, CD=BE=4.連結AC,由余弦定理得又因ADa,CDa,所以a垂直于ACD所在的平面.再由BCa得知BC垂直于ACD所在的平面,BCAC.答:直線AB和棱a所成的角等于(2)在ACD所在的平面內,作AFCD交CD的延長線于F點.因為ACD所在的平面平面Q,AF平面Q.在ADF中,ADF=60,AD=2,連結BF,于是ABF是AB和平面Q所成的角,而ABF為直角三角形,所以答:直線AB和平面Q所成的角為 (1)過點A(2,1)的直線l與所給雙曲線交于兩點P1及P2,求線段P1P2的中點P的軌跡方程.(2)過點B(1,1)能否作直線m,使m與所給雙曲線交于兩點Q1及Q2,且點B是線段Q1Q2的中點?這樣的直線m如果存在,求出它的方程;如果不存在,說明理由. Key 九、解法一:(1)設直線l的方程為y=k(x-2)+1,(i)將(i)式代入雙曲線方程,得(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0,(ii)到此,若指出所求軌跡的參數方程是這就是所要求的軌跡方程.(2)設所求直線方程為y=k(x-1)+1,代入雙曲線方程,整理得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0,(iii)由第二式解出k=2,但k=2不滿足第一式,所以()無解.答:滿足題中條件的直線m不存在.解法二:(1)設l的參數方程為其中t是參數,為AP的傾斜角.代入所給雙曲線方程,整理得:(2cos2-sin2)t2+2(4cos-sin)t+5=0.(v)(2)也可用設m的參數方程的方法討論此問,得出滿足條件的直線m不存在的結論. 十、附加題:計入總分.已知以AB為直徑的半圓有一個內接正方形CDEF,其邊長為1(如圖).設AC=a,BC=b,作數列u1=a-b,u2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,uk=ak-ak-1b+ak-2b2-+(-1)kbk;求證:un=un-1+un-2(n3). Key 十、證法一:通項公式可寫為uk=ak-ak-1b+ak-2b2-+(-1)kbk因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,ab=ACBC=CD2=1.于是有證法二:由平面幾何知識算出通項公式可寫為要證un=un-1+un-2成立