15 題庫分類題庫分類 填空題填空題 1 緒論部分 1 設 x 3 214 y 3 213 欲計算 u yx 請給出一個精度較高的 算式 u u yx yx 2 設y f x1 x2 若x1 x2 的近似值分別為x1 x2 令y f x1 x2 作為 y 的近似值 其絕對誤差限的估計式為 f x1 x 2 x1 x 1 f x1 x2 x2 x 2 3 要使20的近似值的相對誤差限 0 1 應至少取 位有 效數字 20 0 4 10 a1 4 r 1 2 1 a 10 n 1 0 1 故可取 n 4 即 4 位有效數字 4 要使17的近似值的相對誤差限 0 1 應至少取 位有 效數字 17 0 4 10 a1 4 r 1 2 1 a 10 n 1 0 1 故可取 n 3 097 即 4 位有效數字 5 對于積分 In e 1 1 0 xnexdx 試給出一種數值穩定的遞推公式 In 1 1 In n In 0 易知 I0 1 e 1 In 1 nIn 1 故In 1 1 In n 0k 時 差商 f x x1 xn 0 當 n k 時 該差商是 k n 次多項 式 證明 因 1 n f xxxf n n 注意到 n k 時 f n x 0 n k 時 f n x k ak ak為 f x 的 k 次項系數 7f n k 1 由差分定義遞推 查 n k 1 k 2 3f ok 6 c10 分 設 g x 和 h x 分別是 f x 關于互異節點 x1 xn 1以及互異 節點 x2 xn的插值多項式 試用 g x 和 h x 表示 f x 關于互異節 點 x1 xn的插值多項式 解 令 q x Ag x x xn Bh x x x1 為待定 n 次多項式 A B 為待定系數 注意到 g xk f xk k 1 n 1 h xk f xk k 2 n 7f 帶入得 A 1 x1 xn B 1 xn x1 帶入 ok 7 a10f 設 lk x 是關于互異節點 x0 x1 xn 的 Lagrange 插值基函 數 證明 1 m n k k m k xxlx 0 m 0 1 n 2 n k k m k xlxx 0 0 m 1 2 n 證明 由插值唯一性定理知 1 展開知 2 18 8 a10f 證明對于不超過 k次的多項式 p x 有 xpxlxp n k kk 0 k n lk x 是關于互異節點 x0 x1 xn的 Lagrange 插值基函數 證明 由插值唯一性定理知 9 a10f 設 p x 是任意首次項系數為 1 的 n 1 次多項式 lk x 是關于 互異節點 x0 x1 xn 的 Lagrange 插值基函數 證明 n k nkk xwxlxpxp 0 1 其中 n j jn xxxw 0 1 證明 插值余項直接計算 ok 10 a10f 已知函數 y f x 在點 x0的某鄰域內有 n 階連續導數 記 xk x0 kh k 1 2 n 證明 0 10 0 lim n xf xxxf n n h 證明 因 n f xxxf n n 10 x0 x0 nh 注意到 n 階導數連 續性 兩邊取極限 ok 11 c10f 用等節距分段二次插值函數在區間 0 1 上近似函數 ex 如何 估算節點數目使插值誤差 2 1 10 6 解 考慮子區間 xi 1 xi 二次插值余項 1 3 21 21 1 21 3 max 6ii iii iii xx x f f xP xxxxxxx e xxxxxx 令 x xi 1 2 s h 2 上式化簡為 33 11 2 3 max 1 1 68489 s eheh ss s 令 6 3 10 2 1 9 32 48 eh 得 h 0 028413 故子區間個數為 N 2 h 70 4 取 N 71 故插值節點數為 2N 1 143 12 b10 分 設 f x 在區間 a b 上有二階連續導數 P1 x 為其以 a b 為 節點的一次插值多項式 證明 max baxxf ab xPxf bxa 8 2 1 證明 利用插值余項結果可得線性插值多項式 P1 x 在子區間 a b 上的 余項估計式 再估計最值 ok max baxxf h bxax f xPxf bxa i 8 2 2 1 13 b10 分 已知 s x 是 0 2 上的已知自然邊界條件的三次樣條函數 試確定 19 s x 21 1112 10 21 32 3 xxdxcxb xxx 中的參數 b c d 解 利用邊界條件 s 2 0 0 及樣條函數定義可得 b 1 c 3 d 1 14 b10分 判斷下面2個函數是否是 1 1 上以0為內節點的三次樣條 函數 設 1 S x 10 23 01 23 23 23 xxxx xxxx 2 S x 10 23 01 235 23 23 xxxx xxxx 解 1 是 2 否 15 a10f 令 f x x7 x4 3x 1 求 f 20 21 27 及 f 20 21 28 解 n f xxxf n n 10 f 20 21 27 1 f 20 21 28 0 16 a10f 證明 n 階均差有下列性質 1 若 F x cf x 則 F x0 x1 xn c f x0 x1 xn 2 若 F x f x g x 則 F x0 x1 xn f x0 x1 xn g x0 x1 xn 證明 n k kkn xfaxxxf 0 10 其中 ak 1 110nkkkkkk xxxxxxxx ok 17 a10f 回答下列問題 1 什么叫樣條函數 2 確定 n 1 個節點的三次樣條函數所需條件個數至少需要多 少 3 三轉角法中參數 mi的數學意義是什么 答 1 略 2 4n 個 3 mi S xi 即樣條函數在節點 xi處的一階導數 18 a10f 回答下列問題 1 何謂 Hermite 插值問題 2 Hermite 插值與一般多項式插值有什么區別 第第 2 章章 擬合擬合 1 1 采采用用正正交交多多項項式式擬擬合合可可避避免免最最小小二二乘乘或或最最佳佳平平方方逼逼近近中中常常見見的的 9 問問題題 2 在函函數數的最佳一致逼近問題中 評價逼近程度的指標用的是函數 的 10 范數 在函數的最佳平方逼近問題中 評價逼近程度的 指標用的是函數的 11 范數 無窮范數 f 2 范數 3 計算題計算題 1 b10f 設 f x a a 的最佳一致逼近多項式為 P x 試證明 1 f x 是偶函數時 P x 也是偶函數 2 f x 是奇函數時 P x 也是奇函數 20 證明 1 令 t x 考查 axa max f x P x ata max f t P t ata max f t P t 故 P x 也是 f x a a 的最佳一致逼近多項式 由最佳一致逼近多項式的唯一性知 P x P x 2 略 2 a10f 試確定 0 1 區間上 2x3的不超過二次的最佳一致逼近多項式 p x 該多項式唯一否 解 p x 3 2 x 唯一 3 求 f x 2x3 x2 2x 1 在 1 1 上的最佳二次逼近多項式 P x 已知 T0 x cos0 1 T1 x cos x T2 x cos2 2x2 1 T3 x cos3 4x3 3x T4 x cos4 8x4 8x2 1 解 f x 2x3 x2 2x 1 P x 2 13 2 1 T3 x 2 1 T3 x 故 P x f x 2 1 T3 x 2x3 x2 2x 1 2 x3 2 1 3x x2 2 7 x 1 4 求 f x 2x4在 1 1 上的 3 次最佳一致逼近多項式 P x 已知 T0 x cos0 1 T1 x cos x T2 x cos2 2x2 1 T3 x cos3 4x3 3x T4 x cos4 8x4 8x2 1 解 P x 2x2 1 4 5 求 f x 2x4在 0 2 上的 3 次最佳一致逼近多項式 P x 已知 T0 x cos0 1 T1 x cos x T2 x cos2 2x2 1 T3 x cos3 4x3 3x T4 x cos4 8x4 8x2 1 解 令 x t 1 t 1 1 f x g t t 1 4 故 g t 的 3 次最佳一致逼近多項式為 P3 t 4t3 7t2 4t 7 8 故 f x 的 3 次最佳一致逼近多項式為 P x P3 x 1 4x3 5x2 2x 1 8 6 設 f x C a b 證明 f x 的最佳零次一致逼近函數為 s x M m 2 其中 M 和 m分別為 f x 在 a b 上的最大與最小值 7 證明 a b 上的正交函數系 H h1 x h2 x hm x 是線性無關的 函數系 證 寫出線性組合式子 2 分 作內積求系數 2 分 8 10 分 求 f x lnx x 1 2 上的二次最佳平方逼近多項式的法 正 規 方程組 要求精確表示 即不使用小數 解 取 span 1 x x2 a b 1 2 法方程組為 1 0 1 0 10 11101 01000 nnnnnn n n f f f a a a 計算知 972 3 8 4322 22 53141537 4153723 37231 2 1 0 ln ln ln a a a 解之得 21 a0 1 142989 a1 1 382756 a2 0 233507 最佳平方逼近多項式為 P2 x 1 42 1 38x 0 233x2 平方誤差為 f P2 22 f f a0 f 0 a1 f 1 a2 f 2 0 4 10 5 9 設 f x 在有限維內積空間 span 0 n 上的最佳平方逼近為 p x 試證明 f x p x 與 中所有函數正交 證明 查 n k kk xaxp 0 f x p x j f j p x j 注意到 ak是法方程組的解 而法方程組 1 0 1 0 10 11101 01000 nnnnnn n n f f f a a a 兩邊的 j th 分量為 j 0 j 1 j n p x j ok 10 設 n k kk xaxp 0 是 在 空 間 span 0 n 中 對 f x C a b 的最佳平方逼近 證明 f p f p f f n k kk fa 0 證 注意到 ak是法方程組的解 而法方程組 1 0 1 0 10 11101 01000 nnnnnn n n f f f a a a 故 k 1 n f x p x k 0 5 分 p f p 0 5 分 f p f p f f 2 f p p p f f f p p f p f f f p 5 分 11 求下列矛盾方程組的最小二乘解 43 322 2 1 21 21 21 21 xx xx xx xx 解 x1 29 12 x2 39 12 寫出相應的法方程組 ATAx ATb 5 分 求解 x1 29 12 x2 39 12 5 分 12 推導用最小二乘法解矛盾方程組 Ax b 的法方程組 ATAx ATb 解 給出目標函數 h x Ax b 2 5 xTATAx 2xTATb bTb 5 求偏導得到駐點方程組 ATAx ATb 0 5 13 證明 0 n 為點集 xi mi 1上的線性無關族 法方程 GTGa GTy 有唯一解 其中 10 11110 00100 mnmm n n xxx xxx xxx G 22 證 充分性 首先注意到若 a0 a1 an 為方程組 a0 0 a1 1 an n 0 9 的解 則必為方程組 的解 事實上 令 0 1 n 分別與 9 兩端作內積得 10 知也 設 GTG 0 10 僅有 0 解 9 也僅有 0 解故 0 n 無關 證必要性 0 n 無關 9 僅有 0 解 即 a a0 a1 an 0 Ga 0 aTGTGa Ga T Ga Ga 22 0 GTG 正 定 GTG 0 GTG 0 14 若 0 x 1 x n x 是點集 x1 x2 xm 上的離散正交族 n k kk xax 0 為給定數據對 xi yi i 1 2 m 的最小二乘 擬和函數 證明 1 0 nk y a kk k k 證 法方程系數矩陣為 QTQ nnnn n n 10 11101 01000 nn 00 0 0 00 11 00 此時法方程為 1 0 1 0 11 00 nnnn y y y a a a 故 1 0 nk y a kk k k 15 若 0 x 1 x n x 是 a b 上的正交族 n k kk xax 0 為 f x 的最佳平方逼近 證明 10 nk f a kk k k 證 法方程系數矩陣為 QTQ nnnn n n 10 11101 01000 0 0 a0 1 0 a1 n 0 an 0 0 1 a0 1 1 a1 n 1 an 0 0 n a0 1 n a1 n n an 0 10 23 nn 00 0 0 00 11 00 此時法方程為 nnnn f f f a a a 1 0 1 0 11 00 故 1 0 nk y a kk k k 16 求函數 f x x 在 1 1 上求關于函數族 span 1 x2 x4 的最佳平方 逼近多項式 解 由內積 f g 1 1 dxxgxf 令 0 1 1 x2 2 x4 計算知法方程 1 0 1 0 10 11101 01000 nnnnnn n n f f f a a a 得 31 21 1 927252 725232 52322 2 1 0 a a a 解之得 a0 15 185 0 117 a1 105 64 1 64 a2 105 128 0 820 最佳平方逼近多項式為 0 117 1 64x2 0 820 x4 17 求函數f x x 1 在 1 3 上求關于函數族span 1 x 的最佳平方逼近 多項式 解 由內積 f g 3 1 dxxgxf 令 0 1 1 x 計算法方程 1 0 1 0 10 11101 01000 nnnnnn n n f f f a a a 得 2 3 3264 42 1 0 ln a a 解之得 a0 13 2 ln3 6 1 14 a1 3 3ln3 0 295 最佳平方逼近多項式為 1 14 0 295x 18 求 a b c 的值 使 0 22 dxcxbxax sin達到最小 解 就是求 f x sinx 關于函數族 span 1 x x2 在 0 上的最佳平方逼 近 由內積 f g 0 dxxgxf 令 0 1 1 x 2 x2 計算知法方程 24 1 0 1 0 10 11101 0