第四章 高階微分方程教學目標1. 理解高階線性微分方程的一般理論，n階齊次（非齊次）線性微分方程解的性質與結構，熟練掌握n階常系數齊次線性微分方程的待定指數函數解法。2. 掌握n階非齊次線性微分方程的常數變易法，理解n階常系數非齊次線性微分方程特解的待定系數法和Laplce變換法。 3. 熟練歐拉方程與高階方程的降階法和冪級數解法。4. 掌握高階方程的應用。教學重難點 重點是線性微分方程解的性質與結構，高階方程的各種解法。難點是待定系數法求特解。 教學方法 講授，實踐。教學時間 16學時教學內容 線性微分方程的一般理論，齊次（非齊次）線性微分方程解的性質與結構，非齊次線性微分方程的常數變量易法；常系數線性方程與歐拉方程的解法，非齊線性方程的比較系數法與拉氏變換法；高階方程的降階法和冪級數解法及高階方程的應用。 考核目標 1.理解高階線性微分方程的一般理論，能夠求解高階常系數線性微分方程。2.掌握n階非齊次線性微分方程的常數變易法。3.n階常系數非齊次線性微分方程特解的待定系數法和Laplce變換法。4.熟練高階方程的降階法和冪級數解法及高階方程的應用。 4.1線性微分方程的一般理論4.1.1引言 討論階線性微分方程 （4.1）其中及都是區間上的連續函數如果，則方程（4.1）變為： （4.2）稱它為階齊線性微分方程，而稱一般的方程（4.1）為階非齊線性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫對應于方程（4.1）的齊線性方程。定理1 如果及都是區間上的連續函數，則對于任一 ，方程（4.1）存在唯一解，定義于區間上，且滿足初始條件： （4.3）從這個定理可以看出，初始條件唯一地確定了方程（4.1）的解，而且這個解在所有及連續的整個區間上有定義。4.1.2 齊線性方程的解的性質與結構 討論齊線性方程 （4.2）定理2（疊加原理）如果是方程（4.2）的個解，則它們的線性組合也是（4.2）的解，這里是任意常數。特別地，當時，即方程（4.2）有解 （4.4）它含有個任意常數。在什么條件下，表達式（4.4）能夠成為階齊線性方程（4.2）的通解？為了討論的需要，引進函數線性相關與線性無關及伏朗斯基行列式等概念。設是定義在區間上的函數，如果存在不全為零的常數，使得恒等式 對于所有都成立，稱這些函數是線性相關的，否則稱這些函數在所給區間上線性無關,即當且僅當時,上述恒等式才成立, 稱這些函數在所給區間上線性無關。 由此定義不難推出如下的兩個結論：1)在函數組中如果有一個函數為零，則在上線性相關.2)如果兩個函數之比在有定義，則它們在上線性無關等價于比式在上不恒等于常數.例1函數組在任意區間上都是線性無關的.解 比式=不恒等于常數在任意區間上成立：例2函數組在區間上線性相關.解 若取則故已知函數組在上線性相關.設函數在區間上均有階導數,行列式 稱為這些函數的伏朗斯基行列式。定理3 若函數在區間上線性相關，則在上它們的伏朗斯基行列式。證明：由假設，即知存在一組不全為零的常數，使得 （4.6）依次對微分此恒等式，得到 （4.7）把（4.6）和（4.7）看成關于的齊次線性代數方程組，它的系數行列式就是，由線性代數的理論知道，要此方程組存在非零解，則它的系數行列式必須為零，即 。反之，其逆定理一般不成立。例如函數 和 在區間上，但在此區間上卻是線性無關的。因為，假設存在恒等式 （4.8）則當時，可知；當時，可知.即當且僅當時，(4.8)式對一切成立.故是線性無關的.推論1 如果函數組的朗斯基行列式在區間上某一點處不等于零，即，則該函數組在上線性無關.但是，如果是齊線性方程（4.2）的解，那么就有下面的定理：定理4 如果方程（4.2）的解在區間上線性無關，則在這個區間的任何點上都不等于零，即 。證明：采用反證法。設有某個，使得。考慮關于的齊次線性代數方程組 （4.9）其系數行列式，故（4.9）有非零解。現以這組常數構造函數 根據疊加原理，是方程（4.2）的解。注意到（4.9），知道這個解滿足初始條件 （4.10）但是顯然也是方程（4.2）的滿足初始條件（4.10）的解。由解的唯一性，即知 ，即 因為不全為0，這就與線性無關的假設矛盾，定理得證。推論2 設是方程（4.2）定義在上的個解，如果存在，使得它的朗斯基行列式, 則該解組在上線性相關.推論3 方程（4.2）的個解在其定義區間上線性無關的充要條件是，存在，使得它的朗斯基行列式.定理5 階齊線性方程（4.2）一定存在個線性無關的解。定理6（通解結構定理） 如果是方程（4.2）的個線性無關的解，則方程（4.2）的通解可表為 （4.11）其中，是任意常數，且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解。證明：由疊加原理知道（4.11）是（4.2）的解，它包含有個任意常數。這些常數是彼此獨立的。事實上， 因此，（4.11）為方程（4.2）的通解；現在，我們證明它包括不方程的所有解。由定理1，方程的解唯一地決定于初始條件，因此，只需證明：任給一初始條件 （4.12）能夠確定（4.11）中的常數的值，使（4.11）滿足（4.12）。現令（4.11）滿足條件（4.12），得到如下關于的線性代數方程組： （4.13）它的系數行列式就是，由定理4知。根據線性代數方程組的理論，方程（4.13）有唯一解。因此，只要表達式（4.11）中常數取為，則它就滿足條件（4.12），理得證。推論 方程（4.2）的線性無關解的最大個數等于。因此可得結論：階齊線性方程的所有解構成一個維線性空間。 方程（4.2）的一組個線性無關解稱為方程的一個基本解組。4.1.3 非齊線性方程與常數變易法性質1 如果是方程（4.1）的解，而是方程（4.2）的解，則也是方程（4.1）的解。性質2 方程（4.1）的任意兩個解之差必為方程（4.2）的解。定理7 設為方程（4.2）的基本解組，而是方程（4.1）的某一解，則方程（4.1）的通解可表為 （4.14）其中為任意常數。而且這個通解（4.14）包括了方程（4.1）的所有解。證明：根據性質1易知（4.14）是方程（4.1）的解，它包含有個任意常數，像定理6的證明過程一樣，不難證明這些常數是彼此獨立的，因此，它是方程（4.1）的通解。現設是方程（4.1）的任一解，則由性質2，是方程（4.2）的解，根據定理6，必有一組確定的常數，使得即 這就是說，方程（4.1）的任一解可以由（4.14）表出，其中為相應的確定常數。由于的任意性，這就證明了通解式（4.14）包括方程（4.1）的所有解。設是方程（4.2）的基本解組，因而 （4.15）為（4.2）的通解。把其中的任意常數看作的待定函數，這時（4.15）變為 （4.16）將它代入方程（4.1），就得到必須滿足的一個方程，但待定函數有個，即，為了確定它們，必須再找出個限制條件，在理論上，這些另加的條件可以任意給出，其法無窮，當然以運算上簡便為宜，為此，我們將按下面的方法來給出這個條件。對微分等式（4.16）得 令 得到 對微分，并像上面一樣做法，令含有函數的部分等于零，我們又得到一個條件 和表達式 繼續上面做法，在最后一次我們得到第個條件 和表達式 最后，對微分得到 現將（4.16），代入（4.1），并注意到是（4.2）的解，得到 這樣，我們得到了含個未知函數的個方程，。題目組成一個線性代數方程組，其系數行列式就是，它不等于零，因而方程組的解可唯一確定，設求得 積分得 這里i是任意常數。將所得的表達式代入（4.16）即得方程（4.1）的解顯然，它并且是方程（4.1）的通解。為了得到方程的一個解，只需給常數以確定的值。例如，當取時，即得解。 從這里可以看出，如果以知對應的齊線性方程的基本解組，那么非齊線性方程的任一解可由求積得到。因此，對于線性方程來說，關鍵是求出齊線性方程的基本解組。例3 求方程的通解，以知它的對應齊線性方程的基本解組為，。解：應用常數變易法，令將它代入方程，則可得決定和的兩個方程：解得 由此 于是原方程的通解為其中，為任意常數。例4 求方程于域上的所有解。解：對應的齊線性方程為容易直接積分求得它的基本解組。事實上，將方程改寫為積分即得。所以，這里，為任意常數。易見有基本解組1，。為應用上面的結論，我們將方程改寫為并以代入，可得決定和的兩個方程及于是 故得原方程的通解為這里，為任意常數。根據定理7，它包括了方程的所有解。4.2 常系數線性方程的解法討論常系數線性方程的解法時，需要涉及實變量的復值函數及復指數函數的問題，我們在4.2.1中預先給以介紹。4.2.1 復值函數與復值解如果對于區間中的每一實數，有復數與它對應，其中和是區間上定義的實函數，是虛數單位，我們就說在區間上給定了一個復值函數。如果實函數，當趨于時有極限，我們就稱復值函數當趨于時有極限，并且定義如果，我們就稱在連續。顯然，在連續相當于、在連續。當在區間上每一點都連續時，就稱在區間上連續。如果極限存在，就稱在有導數（可微）。且記此極限為或者。顯然在處有導數相當于、在處有導數，且如果在區間上每點都有導數，就稱在區間上有導數。對于高階導數可以類似地定義。設是定義在上的可微函數，是復值常數，容易驗證下列等式成立：在討論常系數線性方程時，函數將起著重要的作用，這里是復值常數，我們現在給出它的定義，并且討論它的簡單性質。設是任一復數，這里是實數，而為實變量，我們定義有上述定義立即推得 并且用表示復數的共軛復數。此外，還可容易證明函數具有下面的重要性質：，其中為實變量由此可見，實變量的復值函數的求導公式與實變量的實值函數的求導公式完全類似，而復指數函數具有與實指數函數完全類似的性質。現在我們引進線性方程的復值解的定義。定義于區間上的實變量復值函數稱為方程（4.1）的復值解，如果對于恒成立。定理8 如果方程（4.2）中所有系數都是實值函數，而是方程的復值解，則的實部、虛部和共軛復值函數也都是方程（4.2）的解。定理9 若方程有復值解，這里及，都是實函數，那么這個解的實部和虛部分別是方程和 的解。4.2.2 常系數齊線性方程和歐拉方程 為了書寫上的方便引入下述符號： 并把稱為線性微分算子.把算子作用于函數上時，就是指對施加上式右端的微分運算.關于算子有以下兩個性質：1)常數因子可以提到算子符號外面：證明：實際上 = = =2)算子作用于兩個函數和的結果等于算子分別作用于各個函數的結果之和：證明： =+ = 設齊線性方程中所有系數都是常數，即方程有如下形狀 （4.19）其中為常數,稱（4.19）為階常系數齊線性方程。它的求解問題可以歸結為代數方程求根問題，現在就來具體討論方程（4.19）的解法。按照4.1的一般理論，為了求方程（4.19）的通解，只需求出它的基本解組。下面介紹求（4.19）的基本解組的歐拉（Euler）待定指數函數法。回顧一階常系數齊線性方程我們知道它有形如的解，且它的通解就是。這啟示我們對于方程（4.19）也去試求指數函數形式的解 （4.20）其中是待定常數，可以是實的，也可以是復的。注意到 其中是的次多項式。易知，（4.20）為方程（4.19）的解的充要條件是：是代數方程 （4.21）的根。因此，方程（4.21）將起著預示方程（4.19）的解的特性的作用，我們稱它為方程（4.19）的特征方程，它的根就稱為特征根。下面根據特征根的不同情況分別進行討論。1）特征根是單根的情形設是特征方程（4.21）的個彼此不相等的根，則相應地方程（4.19）有如下個解： （4.22）我們指出這個解在區間上線性無關，從而組成方程的基本解組。事實上，這時 = 由于假設（當）。故此行列式不等于零，從而，于是解組（4.22）線性無關， 如果均為實數，則（4.22）是方程（4.19）的個線性無關的實值解，而方程（4.19）的通解可表示為其中為任意常數。如果特征方程有復根，則因方程的系數是實常數，復根將成對共軛地出現。設是一特征根，則也是特征根，因而與這對共軛復根對應的，方程（4.19）有兩個復值解根據定理8，它們的實部和虛部也是方程的解。這樣一來，對應于特征方程的一對共軛復根，我們可求得方程（4.19）的兩個實值解： 2）特征根有重根的情形設特征方程有重根，則如所周知 先設，即特征方程有因子，于是也就是特征方程的形狀為而對應的方程（4.19）變為易見它有個解，而且它們是線性無關的（見4.1.2）。這樣一來，特征方程的重零根就對應于方程（4.19）的個線性無關解。如果這個重根，我們作變量變換，注意到可得 于是方程（4.19）化為 （4.23）其中仍為常數，而相應的特征方程為 （4.24）直接計算易得因此 從而 ，可見（4.21）的根對應于（4.24）的根，而且重數相同。這樣，問題就化為前面已經討論過的情形了。方程（4.24）的重根對應于方程（4.23）的個解，因而對應于特征方程（4.21）的重根，方程（4.19）有個解： （4.25）同樣，假設特征方程（4.21）的其他根的重數依次為；（單根相當于），而且，（當），則方程（4.19）對應的有解： （4.26）還可以證明（4.25）和（4.26）的全部個解線性無關，從而構成方程（4.19）的基本解組。對于特征方程有復重根的情況，譬如假設是重特征根，則也是重特征根，仿1）一樣處理，我們將得到方程（4.19）的個實值解： 例1 求方程的通解； 解 特征方程的根為，。有兩個實根和兩個復根，均是單根，故方程的通解為這里是任意常數。例2 求解方程。解 特征方程有根，因此，通解為其中為任意常數。例3 求方程的通解。解 特征方程，或，即是三重根，因此方程的通解具有形狀 其中為任意常數。例4 求解方程。解 特征方程為，或，即特征根是重根。因此，方程有四個實值解 ，故通解為 其中為任意常數。形狀為 （4.29）的方程稱為歐拉方程，這里為常數。此方程可以通過變量變換化為常系數齊線性方程，因而求解問題也就可以解決。事實上，引進自變量的變換，直接計算得到用數學歸納法不難證明：對一切自然數均有關系式其中都是常數。于是將上述關系式代入方程（4.29），就得到常系數齊線性方程 （4.30）其中是常數，因而可用上述討論的方法求出（4.30）的通解，再代回原來的變量（注意：）就可求得方程（4.29）的通解。由上述推演過程，我們知道方程（4.30）有形如的解，從而方程（4.29）有形如的解，因此可以直接求歐拉方程的形如的解。以代入（4.29）并約去因子，就得到確定的代數方程 （4.31）可以證明這正是（4.30）的特征方程。因此，方程（4.31）的重實根，對應于方程（4.29）的個解而方程（4.31）的重復根，對應于方程（4.29）的個實值解 例5 求解方程。解 尋找方程的形式解，得到確定的方程，或，。因此，方程的通解為其中是任意常數。例6 求解方程。解 設，得到應滿足的方程或，因此，而方程的通解為 其中是任意常數。4.2.3 非齊線性方程比較系數法與拉普拉斯變換法現在討論常系數非齊線性方程 （4.32）的求解問題，這里是常數，而為連續函數。（一）比較系數法類型設，其中及為實常數，那么方程（4.32）有形如 （4.33）的特解，其中為特征方程的根的重數（單根相當于；當不是特征根時，取），而是待定的常數，可以通過比較系數來確定。（1）如果，則此時現在再分兩種情形討論。1）在不是特征根的情形，即，因而，這時，取，以代入方程（4.32），并比較的同次冪的系數，得到常數必須滿足的方程： （4.34）注意到，這些待定常數可以從方程組（4.34）唯一地逐個確定出來。2）在是重特征根的情形，即，而，也就是，。這時響應地，方程（4.32）將為 （4.35）令，則方程（4.35）化為 （4.36）對方程（4.36）來說，由于，已不是它的特征根。因此，由（1）知它有形如的特解，因而方程（4.35）有特解滿足：這表明是的次多項式，其中的冪次的項帶有任意常數。但因我們只需要知道一個特解就夠了。我們特別地取這些任意常數均為零，于是我們得到方程（4.35）（或方程（4.32）的一個特解這里是已確定了的常數。（2）如果，則此時可像4.2.2做法一樣，作變量變換，將方程（4.32）化為 （4.37）其中都是常數。而且特征方程（4.21）的根對應于方程（4.37）的特征方程的零根，并且重數也相同。因此，利用上面的結果就有如下結論：在不是特征方程（4.21）的根的情形，方程（4.37）有特解，從而方程（4.32）有特解；在是特征方程（4.21）的重根的情形，方程（4.37）有特解，從而方程（4.32）有特解。例7 求方程的通解。解 先求對應的齊線性方程的通解。這里特征方程有兩個根，。因此，通解為，其中是任意常數。再求非齊線性方程的一個特解。這里，。又因為不是特征根，故可取特解形如，其中，為待定常數。為了確定，將代入原方程，得到比較系數得由此得，從而，因此，原方程的通解為其中是任意常數。例8 求方程的通解。解 從上例知道對應的齊線性方程的通解為其中是任意常數。現求原方程的一個特解。這里，因為剛好是特征方程的單根，故有特解形如，將它代入原方程得到，從而，于是，而原方程的通解為其中是任意常數。例9 求的通解。解特征方程有三重根，故有形狀為的特解，將它代入方程得比較系數求得，。從而。故方程的通解為其中是任意常數.類型設，其中，為常數，而，是帶實系數的的多項式，其中一個的次數為，而另一個的次數不超過，那么我們有如下結論：方程（4.32）有形如 (4.38)的特解，這里為特征方程的根的重數，而，均為待定的帶實系數的次數不高于的的多項式，可以通過比較系數的方法來確定。事實上，回顧一下類型的討論過程，易見當不是實數，而是復數時，有關結論仍然正確。現將表為指數形式根據非齊線性方程的疊加原理（見習題4.1）方程與的解之和必為方程（4.32）的解。注意到，易知，若為的解，則必為的解。因此，直接利用類型的結果，可知方程（4.32）有解形如其中為的次多項式，而，。顯然，為帶實系數的的多項式，其次數不高于，可見上述結論成立。例10 求方程的通解。解 特征方程有重根，因此，對應齊線性方程的通解為其中為任意常數。現求非齊線性方程的一個特解。因為不是特征根，我們求形如的特解，將它代入原方程并化簡得到比較同類項系數得，從而，因此原方程的通解為附注：類型的特殊情形或可用另一更簡便的方法所謂復數法求解。下面用例子具體說明解題過程。例11 用復數法解例10。解 由例10已知對應齊線性方程的通解為為求非齊線性方程的一個特解，我們先求方程的特解。這屬于類型，而不是特征根，故可設特解為將它代入方程并消去因子得，因而。，分出它的實部，根據定理9這就是原方程的特解，于是原方程的通解為與例10所得結果相同。（二）拉普拉斯變換法常系數線性微分方程（組）還可以應用拉普拉斯變換法進行求解，這往往比較簡便。由積分所定義的確定與復平面（）上的復變數的函數，稱為函數的拉普拉斯變換，其中于有定義，且滿足不等式這里，為某兩個正常數。我們將稱為原函數，而稱為象函數。這里我們簡單地介紹拉普拉斯變換在解常系數線性方程中的應用。設給定微分方程 （4.32）及初始條件，其中是常數，而連續且滿足原函數的條件。可以證明，如果是方程（4.32）的任意解，則及其各階導數均是原函數。記那么，按原函數微分性質有 于是，對方程（4.32）兩端施行拉普拉斯變換，并利用線性性質就得到即或 其中，和都是已知多項式，由此這就是方程（4.32）的滿足所給初始條件的解的象函數。而可直接查拉普拉斯變換表或由反變換公式計算求得。例12 求方程滿足初始條件的解。解 對方程兩端實行拉普拉斯變換，得到方程的解的象函數所應滿足的方程：由此，并注意到，得直接查拉普拉斯變換表，可得和的原函數分別為和。因此，利用線性性質，就求得的原函數為這就是所要求的解。例13 求解方程，。解 先令，將問題化為，再對新方程兩邊作拉普拉斯變換，得到因此 查拉普拉斯變換表可得從而 這就是所要求的解。例14 求方程的滿足初始條件的解。解 對方程兩邊施行拉普拉斯變換得由此得 把上式右端分解成部分分式對上式右端各項分別求出（查表）其原函數，則它們的和就是的原函數這就是所要求的解。例15 求解方程；，其中，為非零常數。解 對方程實行拉普拉斯變換，得到即 把上式右端第一項分解為部分分式：于是由拉普拉斯變換表可求得此即為所要求的解。4.2.4 質點振動（1）無阻尼自由振動考察數學擺的無阻尼微小自由振動方程 記，這里是常數，方程變為 （4.39）這是二階常系數齊線性方程，它的特征方程為特征根為共軛復根因此，方程（4.39）的通解為 （4.40）其中為常數。為了獲得明顯的物理意義，令，因此，若取，則（4.40）可以寫成即 （4.41）這里，代替了作為通解中所含的兩個任意常數。從通解（4.41）可以看出，不論反映擺的初始狀態的與為何值，擺的運動總是一個正弦函數，它是的周期函數（參看圖（4.1）。這種運動稱為簡諧振動。振動往返一次所需時間稱為周期，記為，這里；單位時間內振動的次數稱為頻率，記作，這里；而稱為圓頻率。從而得出結論：數學擺的周期只依賴于擺長，而與初值無關。圖（4.1）此外，擺離開平衡位置的最大偏離稱為振幅。數學擺的振幅為，而稱為初位相。這里，振幅和初位相都依賴于初始條件。如果把數學擺移至位置處，然后突然松開，使其自由擺動，這就相當于給定如下的初始條件：是， （4.42）把（4.42）代入通解（4.41），得到于是得初位相，振幅，因此，所求的特解為（2）有阻尼自由振動 從通解（4.41）可以看出，無阻尼的自由振動是按正弦規律作周期運動，擺動似乎可以無限期的進行下去。但是，實際情況并不是如此，擺總是經過一段時間的擺動后就會停下來，這說明我們所得的方程并沒有完全反映物體運動的規律。因為空氣阻力在實際上總是難免的，因此必須把運動阻力這一因素考慮進去，從而得到第一章已推導過的有阻尼的自由振動方程。 記，這里，是正常數，方程可以寫成 （4.43）它的特征方程為 （4.44）特征根為 對于不同的阻尼值，微分方程有不同形式的解，它表示不同的運動形式，現分下面三種情形進行討論：（）小阻尼的情形：即的情形，這時，為一對共軛復根，記，則而方程（4.43）的通解為和前面無阻尼的情形一樣，可以把上述通解改寫成如下形式： （4.45）這里，為任意常數。從（4.45）可見，擺的運動已不是周期的，振動的最大偏離隨著時間增加而不斷減小，而擺從一個最大偏離到達同側下一個最大偏離所需時間為，圖（4.2）表示函數（4.45）的圖形，圖上，虛線是的圖形。而實線表示擺運動的偏離隨時間變化的規律，它夾在兩條虛線中間振動。因為阻尼的存在，擺的最大偏離隨時間增大而不斷減小，最后擺趨于平衡位置。 圖（4.2）（）大阻尼的情形：即的情形，這時，特征方程（4.44）有兩個不同的負實根，方程（4.43）的通解為 （4.46）這里是任意常數。從（4.46）可以看出，擺的運動也不是周期的，因為方程對于最多只有一個解，因此，擺最多只通過平衡位置一次，又因為故從 得知，當足夠大時，的符號與的符號相反。因此，經過一段時間后，擺就單調地趨于平衡位置，因而在大阻尼的情形，運動不是周期的，且不再具有振動的性質。擺的運動規律（4.46）的圖形如圖（4.3）所示。 圖（4.3）（）臨界阻尼的情形：即的情形，這時特征方程（4.44）有重根，方程（4.43）的通解為 （4.47）這里是任意常數。從（4.47）可以看出，擺的運動也不是周期的，它的運動規律（4.47）的圖形他圖（4.3）相類似。擺也不是具有振動的性質。數值稱為阻尼的臨界值，這一數值正好足夠抑制振動。這里臨界值的意思是指：擺處于振動狀態或不振動狀態的阻尼分界值，即當時，擺不具有振動性質，運動規律如圖（4.3）所示。而當時，擺具有振動性質，運動規律如圖（4.2）所示。（3）無阻尼強迫振動數學擺的微小強迫振動方程可寫為 考察無阻尼強迫振動，即的情形。令，設，為已知常數，為外力圓頻率。這時方程變為 （4.48）方程（4.48）的對應齊線性方程的通解為 （4.41）這里，是任意常數。現求（4.48）的一個特解。如果，則（4.48）有形如 （4.49）的解，這里，是待定常數。將(4.49)代入（4.48），比較同類項系數，得到，因此，方程（4.48）的通解為 （4.50）這個通解（4.50）由兩部分組成，第一部分是無阻尼自由振動的解，它代表固有振動，第二部分是振動頻率與外力頻率相同，而振幅不同的項，它代表由外力引起的強迫振動。從（4.50）還可以看出，如果外力的圓頻率愈接近固有圓頻率，則強迫振動項的振幅就愈大。如果，則（4.48）有形如的解，將它代入（4.48），比較同類項系數得到，因而，方程（4.48）的通解為 （4.51） （4.51）表示隨著時間的增大，擺的偏離將無限增加，這種現象稱為共振現象。但是，實際上，隨著擺的偏離的增加，到了一定程度，方程（4.48）就不能描述擺的運動狀態了。（4）有阻尼強迫振動這時擺的運動方程為 （4.52）根據實際的需要，我們只討論小阻尼的情形，即的情形。這時（4.52）的對應齊線性方程的通解為 （4.45）這里，是任意常數，（見（2）有阻尼自由振動中的情形（）。現求（4.52）的一個特解，這時可以尋求形如 （4.53）的特解，這里，是待定常數。將（4.53）代進（4.52），比較同類項系數，得到 為了獲得更明顯的物理意義，令，即令 （4.54）及 這時（4.53）可以寫成因此，（4.52）的通解為 （4.55）從（4.55）可以看出，擺的運動由兩部分疊加而成，第一部分就有阻尼的自由振動，它是系統本身的固有振動，它隨時間的增長而衰減，第二部分是由外力而引起的強迫振動項，它的振幅不隨時間的增長而衰減。因此，考慮強迫振動時主要就考慮后一項，它與外力的頻率一樣，但相位和振幅都不同了。我們現在來研究外力的圓頻率取什么值時所引起的強迫振動項的振幅達到最大值。從（4.54）看出，只需討論當取何值時達到最小值即可。為此，記，將它對求導數，并令導數等于零，得到因此，只要，即只要阻尼很小時，就解得 （4.56）而當取此值時，我們有，因而在時達到最小值。把（4.56）代入（4.54），得到相應的最大振幅值為就是說，當外力的圓頻率時，強迫振動項的振幅達到最大值，這時的圓頻率稱為共振頻率，所產生的現象也叫共振現象。4.3 高階方程的降階和冪級數解法4.3.1 可降階的一些方程類型階微分方程一般地可寫為下面討論三類特殊方程的降階問題：1）方程不顯含未知函數，或更一般地，設方程不含，即方程呈形狀： （4.57）若令，則方程即降為關于的階方程 （4.58）如果能夠求得方程（4.58）的通解即 再經過次積分得到其中為任意常數。可以驗證，這就是方程（4.57）的通解。特別地，若二階方程不顯含（相當于，的情形）。則用變換便把方程化為一階方程。例1 求方程的解。解 令，則方程化為這是一階方程，積分后得，即，于是其中為任意常數，這就是原方程的通解。2）不顯含自變量的方程 （4.59）我們指出，若令，并以它為新未知函數，而視為新自變量，則方程就可降低一階。事實上，在所作假定下，采用數學歸納法不難證明，可用表出（）。將這些表達式代入（4.59）就得到這是關于的階方程，比原方程（4.59）低一階。例2 求解方程。解 令，直接計算可得，于是原方程化為得到或，積分后得，即，所以（），這就是原方程的通解。例3 求數學擺的運動方程 滿足初始條件：時，的解。解 令，則，這時，方程變為積分之，得到或者 （4.60）這里是任意常數。用初始條件代入（4.60），得到。于是（4.60）變為將上式開方得到 （4.61）我們先討論擺從最大的正偏離角到最大的負偏離角之間的第一次擺動的情況，這時，（4.61）的右端取負號，得到 （4.62）將方程（4.62）分離變量，然后積分，并計及初始條件即得 （4.63）令則（4.63）可些寫為 （4.64）這里是代表擺從最大正偏離角第一次到達所需的時間。經過的時間，擺到達最大負偏離角的位置，然后，擺又開始向右端運動，這時，（4.62）式已不能描述擺的運動了。故所得的解（4.64）只適用于的區間。對于之后的一段時間（4.61）的右端取正號，得到方程積分之，并注意到此時初始條件為使，得到 （4.65）再注意到可將（4.65）寫為 （4.66）當上，擺又回復到，然后又向左端運動。（4.66）在區間上適用。在區間上擺的運動又由方程（4.62）描述。擺在和之間作周期性的擺動。所以，我們只需就區間討論擺的運動已足夠了。擺從到的擺動情況由方程（4.64）描述；而擺從再到的擺動情況由方程（4.66）描述。積分是不能用初等函數表示出來的，這是一個橢圓積分。我們可將這里得到的結果與前面用近似所得的線性方程的結果作一個比較，就知此處非線性的情形比線性化了的情形復雜得多了。3）齊線性方程 （4.2）我們知道，方程（4.2）的求解問題歸結為尋求方程的個線性無關的特解，但如何求這些特解呢？沒有普通的方法可循。這是與常系數線性方程的 極大差異之處。但是我們指出，如果知道方程的一個非零特解，則利用變換，可將方程降低一階；或者更一般地，若知道方程的個線性無關的特解，則可通過一系列同類型的變換，使方程降低階，并且新得到的 階方程也是齊線性的。事實上，設是方程（4.2）的個線性無關7，顯然不恒等于0，。令，直接計算可得將這些關系式代入（4.2），得到這是關于的階方程，且各項系數是的已知函數，而的系數恒等于零，因為是（4.2）的解。因此，如果引入新未知函數，并在的區間上用除方程的各項，我們便得到形狀如 （4.67）的階齊線性方程。方程（4.67）的解與（4.2）的解之間的關系，由以上變換知道為，或。因此，對于方程（4.67），我們就知道它的個線性無關解，。事實上，是方程（4.67）的解，這一點是顯然的。假設這個解之間存在關系式或 其中是常數，那么，就有或由于線性無關，故必有。這就是說是線性無關的。因此，若對方程（4.67）仿一上做法，令，則可將方程化為關于的階齊線性方程 （4.68）并且還知道方程（4.68）的個線性無關解：，由上面的討論我們看到，利用個線性無關特解當中的一個解，可以把方程（4.2）降低一階，成為階齊線性方程（4.67），并且知道它的個線性無關解；而利用兩個線性無關解，則可以把方程（4.2）降低兩階，成為階齊線性方程（4.68），同時知道它的個線性無關解。依次類推，繼續上面的做法，若利用了方程的個線性無關解，則最后我們就得到一個階齊線性方程。這就是說把方程（4.2）降低了階。特別地，對于二階齊線性方程，如果知道它的一個非零解，則方程的求解問題就解決了。事實上，設是二階齊線性方程 （4.69）的解，則由上面討論知道，經變換后，方程就化為這是一階線性方程。解之得因而 （4.70）這里是任意常數。取，我們得到方程（4.69）的一個特解它與顯然是線性無關的，因為它們之比不等于常數（見習題4.1第1題）。于是，表達式（4.70）是(4.69)的通解，它包括了方程（4.69）的所有解。例4 已知是方程的解，試求方程的通解。解 這里 ，由（4.70）得到其中是任意常數，這就是方程的通解。4.3.2 二階線性方程的冪級數解法例5 求方程的滿足初始條件的解。解 設 （4.71）為方程的解，這里是待定常數，由此我們有將的表達式代入方程，并比較的同次冪的系數，得到：，以及，就有，利用數學歸納法可以推得，一般地，代入（4.71）得這就是所求的解。事實上，方程是一階線性的，容易求得它的通解，而由條件確定常數，即得方程的解為。例6 求解方程，。解 同上例一樣，以（4.71）形式上代入2方程并比較的同次冪的系數，這時將有，因為不可能找到有限的，故方程沒有形如（4.71）的解，事實上，直接解方程，可得通解為但若令，那么就將上述初值問