南通市天星湖中學高一數學期末復習（4）-函數周期性及性質綜合一、知識梳理：1、函數的周期性定義；性質；方法2、常見結論： 3、常見函數：分段函數；絕對值函數；抽象函數4、函數的對稱性5、函數性質綜合二、自我檢測1.若函數y=f(x)是周期為2的奇函數，且當x(0,1)時f(x)=x+1，則f()= 2.是偶函數，且為奇函數，則f(1992)= 3.f（x）是定義在R上的奇函數，它的最小正周期為T，則f（）= 4.定義在R上的函數f（x）既是偶函數又是周期函數.若f（x）的最小正周期是，且當x0，時，f（x）=sinx，則f（）= 5.設f(x)定義在R上的偶函數，且，又當x(0，3時，f(x)=2x，則f(2007)= 三、典型例題：例題1、已知f(x)是以2為周期的偶函數，且當x(0,1)時，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。例題2、設是定義在上的偶函數，其圖象關于直線對稱，對任意，都有.求：(I)設，求； (II)證明是周期函數.例題3、設函數在上滿足，且在閉區間0，7上，只有（）試判斷函數的奇偶性；（）試求方程=0在閉區間-2005，2005上的根的個數，并證明你的結論例題4、已知函數f（x）=m（x+）的圖象與函數h（x）=（x+）+2的圖象關于點A（0，1）對稱.（1）求m的值；（2）若g（x）=f（x）+在區間（0，2上為減函數，求實數a的取值范圍.四、課堂練習1.定義在R上的奇函數滿足，則= 2. 已知y=f(2x+1)是偶函數，則函數y=f(2x)的圖象的對稱軸是 3.函數對于任意實數滿足條件,若f(1)=5,則f(f(5)=_. 4設f(x)是R的奇函數,f(x+2)=-f(x),當0x1,時,f(x)=x,則f(7.5)= 5.已知函數滿足：，則 。五、課后作業1.設函數f（x）=則使得f（x）1的x的取值范圍為 2已知函數f（x）=則f（lg30lg3）=_；不等式xf（x1）10的解集是_3.已知函數f(x)是偶函數，且等式f(4+x)f(4-x)，對一切實數x成立，寫出f(x)的一個最小正周期 4.對任意xR，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,則f(69)= 5、f(x)的定義域是R，且f(x+2)1-f(x)=1+f(x),若f(0)=2008,求f(2008)= 6、設函數,方程f(x)x+a有且只有兩相不等實數根，則實數a的取值范圍為 7、已知，設函數的最大值為，最小值為，那么 8.已知函數f(x)=|x22x3|的圖象與直線y=a有且僅有3個交點，則a= 。 9若x、yR，且x2+y2=1，則（1xy）(1+xy)的最小值是_，最大值是_ .10.已知函數對一切，都有，求證:（1）是奇函數；（2）若f(x)的圖象關于直線x=1對稱,則f(x)恒等于0.11.已知9x103x+90，求函數y=（）x14（）x+2的最大值和最小值.六、小結與反思高一數學期末復習（4）-函數周期性及性質綜合一、知識梳理：1.函數的周期性定義與性質：若T為非零常數，對于定義域內的任一x，使恒成立，則f(x)叫做周期函數，T叫做這個函數的一個周期。周期函數定義域必是無界的；若T是周期，則kT（k0,kZ）也是周期；周期函數并非所都有最小正周期。如常函數f(x)=C； 方法：判斷一個函數是否是周期函數要抓住兩點：一是對定義域中任意的恒有; 二是能找到適合這一等式的非零常數，一般來說，周期函數的定義域均為無限集.解決周期函數問題時，要注意靈活運用以上結論，同時要重視數形結合思想方法的運用，還要注意根據所要解決的問題的特征來進行賦值。2、常見結論：幾種特殊的抽象函數：具有周期性的抽象函數：函數滿足對定義域內任一實數（其中為常數）, ，則是以為周期的周期函數； ，則是以為周期的周期函數；，則是以為周期的周期函數； ，則是以為周期的周期函數；，則是以為周期的周期函數.，則是以為周期的周期函數.，則是以為周期的周期函數.函數滿足（），若為奇函數，則其周期為，若為偶函數，則其周期為.函數的圖象關于直線和都對稱，則函數是以為周期的周期函數；函數的圖象關于兩點、都對稱，則函數是以為周期的周期函數；函數的圖象關于和直線都對稱，則函數是以為周期的周期函數；3、常見函數：分段函數；絕對值函數；抽象函數沒有給出函數解析式，只是給出函數所滿足的一些性質4、函數的對稱性5、函數性質綜合二、自我檢測1.若函數y=f(x)是周期為2的奇函數，且當x(0,1)時f(x)=x+1，則f()的值為 -5 2.是偶函數，且為奇函數，則f(1992)= 993；因（-1，0）是中心，x=0是對稱軸，則周期是43.f（x）是定義在R上的奇函數，它的最小正周期為T，則f（）= 0由f（）=f（+T）=f（）=f（），知f（）=0.4.定義在R上的函數f（x）既是偶函數又是周期函數.若f（x）的最小正周期是，且當x0，時，f（x）=sinx，則f（）的值為 f（）=f（2）=f（）=f（）=sin=.5.設f(x)定義在R上的偶函數，且，又當x(0，3時，f(x)=2x，則f(2007)= 。 ，周期T=6， F(2007)=f(3)=6三、典型例題：例題1、已知f(x)是以2為周期的偶函數，且當x(0,1)時，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。解法1：（從解析式入手，由奇偶性結合周期性，將要求區間上問題轉化為已知解析式的區間上。） x(1,2), 則-x(-2,-1), 2-x(0,1), T=2,是偶函數 f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. x(1,2).解法2（從圖象入手也可解決，且較直觀）f(x)=f(x+2)如圖：x(0,1), f(x)=x+1.是偶函數x(-1,0)時f(x)=f(-x)=-x+1. 又周期為2， x(1,2)時x-2（-1，0）f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.提煉方法：1.解題體現了化歸轉化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上轉化;2.用好數形結合,對解題很有幫助.例題2、設是定義在上的偶函數，其圖象關于直線對稱，對任意，都有. (I)設，求； (II)證明是周期函數.解(1):當x0,1/2時,; 同理(2)是偶函數則(-x)=f(x),關于x=1對稱則有f(x)=f(2-x)f(x)=f(2-x)=f(x-2), f(x)周期為2.例題3、設函數在上滿足，且在閉區間0，7上，只有（）試判斷函數的奇偶性；（）試求方程=0在閉區間-2005，2005上的根的個數，并證明你的結論解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數的對稱軸為,從而知函數不是奇函數,由,從而知函數的周期為又,故函數是非奇非偶函數;(II)由(II) 又故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個解,從而可知函數在0,2005上有402個解,在-2005.0上有400個解,所以函數在-2005,2005上有802個解.例題4、已知函數f（x）=m（x+）的圖象與函數h（x）=（x+）+2的圖象關于點A（0，1）對稱.（1）求m的值；（2）若g（x）=f（x）+在區間（0，2上為減函數，求實數a的取值范圍.解：（1）設P（x，y）為函數h（x）圖象上一點，點P關于A的對稱點為Q（x，y），則有x=x，且y=2y.點Q（x，y）在f（x）=m（x+）上，y=m（x+）.將x、y代入，得2y=m（x）.整理，得y=m（x+）+2.m=.（2）g（x）=（x+），設x1、x2（0，2，且x1x2，則g（x1）g（x2）=（x1x2）0對一切x1、x2（0，2恒成立.x1x2（1+a）0對一切x1、x2（0，2恒成立.由1+ax1x2，而x1x24a3.四、課堂練習1.定義在R上的奇函數滿足，則= 0 2. 已知y=f(2x+1)是偶函數，則函數y=f(2x)的圖象的對稱軸是 x=f(2x+1)關于x=0對稱,則f(x)關于x=1對稱,故f(2x)關于2x=1對稱3.函數對于任意實數滿足條件,若f(1)=5,則f(f(5)=_. , 周期是4 4設f(x)是R的奇函數,f(x+2)=-f(x),當0x1,時,f(x)=x,則f(7.5)= 0.55.已知函數滿足：，則 。由已知：=2，,原式=16五、課后作業1.設函數f（x）=則使得f（x）1的x的取值范圍為 （，20，102已知函數f（x）=則f（lg30lg3）=_；不等式xf（x1）10的解集是_.f（lg30lg3）=f（lg10）=f（1）=2， f（x1）=當x3時，x（x3）102x5，故3x5.當x3時，2x10x5，故5x3.解集 x|5x53.已知函數f(x)是偶函數，且等式f(4+x)f(4-x)，對一切實數x成立，寫出f(x)的一個最小正周期 84.對任意xR，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,則f(69)= f(x-1)=f(x)-f(x+1),f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)= -f(x+3)f(x)= -f(x+3)=f(x+6) .周期是6；f(69)=f(3)=f(-3)= -f(-3+3)= -65.f(x)的定義域是R，且f(x+2)1-f(x)=1+f(x),若f(0)=2008,求f(2008)的值。解：周期為8，法二：依次計算f(2、4、6、8)知周期為8，須再驗證。6、設函數,方程f(x)x+a有且只有兩相不等實數根，則實數a的取值范圍為 .7已知，設函數的最大值為，最小值為，那么 4016 8.已知函數f(x)=|x22x3|的圖象與直線y=a有且僅有3個交點，則a= 。 由圖象易知a=4。9若x、yR，且x2+y2=1，則（1xy）(1+xy)的最小值是_，最大值是_ .三角代換,令x=cos,y=sin.答案:3/4, 1;10.已知函數對一切，都有，求證:（1）是奇函數；（2）若f(x)的圖象關于直線x=1對稱,則f(x)恒等于0.解：（1）在中，令，得，令，得，即， 是奇函數（2）f(x)是奇函數,則f(-x)=-f(x).且f(0)=0圖象關于直線x=1對稱,即點(x,y),(2-x,y)同在曲線上,有f(2-x)=f(x)，且f(2)=f(0)=0 又已知f(x+y)=f(x)+f(y)f(x)= f(2-x)=f(2)+f(-x)=f(2)-f(x)2f(x)=f(2)=0即f(x)0.方法提煉：賦值法賦值的目的要明確，本題就是要湊出