發表于邵陽學院學報自然科學版第一卷第二期解數學題的逆向思維賀 昉（邵陽市一中，湖南，邵陽，422000）摘要：運用逆向思維方法，使一些較難解決的問題迎刃而解，如這篇文章中涉及的三類問題，其解法都比較巧妙。關鍵詞：逆向思維；均分法；迭代中圖分類號：B804.4；O141.3 文獻標識碼：AThe Inwerse Thinking Model for Solving Mathematical ProblemsHE Fang(The First Middle School of Shaoyang City,Shaoyang,Hunan,422000)Abstract: By using a iverse thinking method,some relatively difficulr problems can be readily solved.For example,the solution methods of three ex,problems repressuted in this paper are all ring.Keywords: Inverse thinking;equipartition method;successive substitution逆向思維是思維的一種方式，這種所謂是從要解決問題的結論入手。在解決某些問題時，這種思維別出心裁，相當有效。比如，試求出一個四位數，使其等于它的4位數字之和的4次方，文1的解法就很特別，是運用逆向思維的一個范例。下面將從幾個方面試用這種方法。1 從一個數學游戲談起例1 設有甲乙兩人對奕。游戲規則是：兩人輪流數出一組連續的自然數，至少數1個，至多可數10個，前面的人數到n停止，后面的人接著從n+1數起，誰恰好數到100，就算勝利。試提供一種制勝方法。分析：如果用順向思維，設甲第一個數，從1開始，數到某個數止住，那簡直無從下手，因為他不能預知乙怎么數。甲乙雙方都有一個最佳停止問題。我們不妨用逆向思維，甲欲取勝，即最后一次由甲數到100。倒數第二次由乙數，倒數第三次由甲數，倒數第三次甲的最佳停止數是多少？不難看出這個最佳停止數是89，乙從90開始，不管他數的個數還是連續數210個數，甲有把握數出100，這個89的來源是89=100-（1+10）=最終目的數-（最少數出數+最多數出數）。從此逆推，倒數第五次甲的最佳停止數是89-（1+10）=78繼續逆推，甲的最佳停止數依次是1，12，23，34，45，56，67，78，89。如果甲第一個數，依次在上述最佳停止數處停止，則無論乙怎么數，不論乙智商如何高，甲肯定取勝。但游戲規則是公平的，可能是乙先數，即使由甲先數，為了不曝露目標，開頭幾次，也不必在最佳停止處停止。制造假象，使乙摸不著頭緒，但接近目標時，必須在最佳停止處停止。稍微變通一下，如果最少 5個，最多數10個，則最佳停止處為100-k（5+10）=100-15k（k=1，2，3，4，5，6），即最佳停止處依次為10，25，40，55，70，85。2 兩分法例2 假定甲心中確定一個1000以內的自然數，由乙猜這個數，乙可提出若干問話，甲只能以“是”，“否”作答，試為乙設計一種最佳方案，使乙提問次數最少。方法：下面是乙與甲的對話：乙：（這個數）大于512？ 甲：否乙：大于256？ 甲：否乙：大于128？ 甲：是乙：大于192？ 甲：否乙：大于160？ 甲：否乙：大于144？ 甲：是乙：大于152？ 甲：是乙：大于156？ 甲：否乙：大于154？ 甲：是乙：大于155？ 甲：是如此回答10次，乙最后猜出該數是156。 方法的理論依據：因為210=10241000，用二均分法將1024逐次二等分，這也是逆向思維的應用，因為2191000000220，因此為了猜出一百萬中的某數，只需要進行20次問話即可。 方法妙用：如果某財務部門的1000筆會計賬與現金賬的累計數不相符，不知差錯在何處，為核查（假定只有一處差錯），可采用如上的方法，先核對序號512的會計賬與現金賬，看累計數是否相符，如不相符，再核對序號216的兩種帳目 核查10次，即可把差錯找到。3 計算非完全平方數的平方根 設.分析 則有 （3.1） （3.1）的導出是逆向思維的運用。 令 則（3.1）變為 我們運用下述定理 定理3.1 若 則方程的一個根可用來逼近，這就是所謂逐次逼近法，證明從略。 關于迭代的深入研究，可參看2。 將定理3.1用于（3.1）式，并設m=2，就得下例。 例3 試求的近似值 解 （3.1）變為： 取計算可為下簡化： 設已有 于是 化小數點