實變函數試題題庫參考答案一、選擇題1、D 2、C 3、D 4、D 5、A 6、B 7、C 8、A9、B 10、C 11、C 12、D 13、C 14、B 15、C 16、D 17、A 18、D 19、C 20、A 21、B 22、C 23、B 24、C 25、A 26、C 27、D 28、D 29、B 30、D 31、A 32、B 33、C 34、A 35、B 36、D 37、C 38、B 39、C 40、B41、B 42、D 43、B 44、A 45、A 46、D 47、D 48、B 49、A 50、B 51、A 52、D 53、C 54、D 55、B 56、A 57、D 58、C 59、A 60、D 61、A 62、B 63、D 64、C 65、C 66、D 67、B 68、A 69、B 70、C 71、D 72、C 73、C 74、B 75、A 76、B 77、A 78、C 79、C 80、D 81、B 82、A 83、B 84、C 85、C 86、B 87、C 88、D 89、A 90、A二、填空題1、 ；2、c ；3、c ；4、c ；5、c ；6、c ；7、x:對于任意的,有；8、x:存在,使得；9、；10、；11、；12、；13、；14、；15、；16、；17、；18、；19、；20、；21、； 22、；23、； 24、； 25、2；26、0；27、1；28、；29、；30、1；31、；32、；33、可測；34、有；35、；36、；37、可測函數；38、點態收斂與一致收斂；39、；40、次可數可加性；41、可測函數；42、可測函數；43、單調性；44、（開）；45、推廣；46、測度；47、；48、，（閉集）；49、常數；50、可測函數，連續函數；51、；52、零測集； 53、可測函數；54、依測度； 55、0； 56、0； 57、0； 58、0； 59、0；60、0三、判斷題 1、( ) 理由: 集合具有無序性 2、( ) 理由: 舉一反例, 比如: 取A=1, B=2 3、（ ） 理由: 空集是任意集合的子集. 4、（ ） 理由:符號表示集合間的關系,不能表示元素和集合的關系. 5、( ) 理由:表示沒有任何元素的集合,而表示單元素集合,這個元素是6、( ) 理由: 表示沒有任何元素的集合,而0表示單元素集合,這個元素是0 7、( ) 理由: 根據內點的定義, 內點一定是聚點 8、( ) 理由: 舉一反例,比如: E=(0,1),元素1不是E的外點,但卻屬于E的余集分9、( ) 理由: 有內點的定義可得. 10、( ) 理由: 有內點的定義可得. 11、( ) 理由: 舉例說明,比如: E=(0,1),元素1是E的邊界點,但屬于E. 12、( ) 理由: 舉一反例,比如: E=(0,1),元素1是E的內點,但不屬于E 13、（）理由: 因有若，E不可測，而可測 14、（）理由: 因 兩可測集的并可測。15、（） 理由: 因 ，但 16、（）理由: 因 分17、（） 理由: 反例：， 把是按n后按j的順序形成的函數列 18、（） 理由: 因的測度可能無限 19、（） 理由: 因若（可測），則 20、（） 理由: 反例：自然數集外測度為零。21、（） 理由: 若是E的不可測集就不行。22、（） 理由: 反例：， 23、（） 理由: 因，存在單調下降趨于c的有理數列， 則有 ，故可測。24、（） 理由: 因 四、簡答題1、答: 令f(2n) = 2n f(2n1)2（n） 其中n=1, 2, 下面驗證f是自然數全體到偶數全體的一一映射.（1） 設m自然數全體, n自然數全體且f(m) =f(n)若f(m) =f(n)0, 則m、n為偶數，f(m) =f(n)=m=n若f(m) =f(n) 0, 則m、n為奇數，f(m) =f(n)=1m=1n即m=n, 故而f 是單射。（2） 對于任意的m偶數全體若m=0, 則有f(1)=0 ;若m0, 則有f(m)=m;若mn 時則，顯然是可數集. 3、證明: 令C=AB, 則有, 故C是可數集或有限集若C是有限集，顯然. 若C是可數集，顯然，設，。令，則。而顯然是可數集。故而是可數集. 4、證明：設 （）, 則是可數集，于是知全體正有理數成一可數集。 因正負有理數成一一對應，故負有理數成一可數集。但全體有理數，故有理數全體成一可數集。5、證明：在每個區間中取一有理數與這個區間對應，則不同的區間對應不同的有理數，故A與有理數的子集對等。 而有理數集是可列的，所以A是至多可列的。 6、證明：令 其中，Z為整數集。顯然是可數集, 并且。因為可數個可數集的并是可數集，故是可數集。7、證明：必要性，取，則，從而 充分性，令，則，且。因此 8、證明：設是E上a, e有限的可測函數，由魯金定理得，在E上基本連續，即對存在，及連續函數g滿足 （1） （2） 于是對，所以 9、證明：因對，有 10、證明：因，由Riesz定理，存在的子列，使 ，且 設時有，且 這樣時，有，從而 注意 11、證明：設， 令 則，且 由的定義知 故有 12、證明：有使，且在上一致收斂于 令，則在收斂于f，且。 從而 13、證： 14、證明：因 故， 從而 令 ，得 注意到故 ，即，a, e于E 15、證明：若E有界，則， 從而，即E可測 若E無界，則存在互不相交的有界集列，使。 而每個 ，且 ，所以 ， 因 ，所以E是可測的。 16、證明：首先 因， 故 所以 17、證明：因A可測，取，有 又因（定義3中取T = B即得） 所以 18、證明：顯然 ，（時） （ 故 從而 19、證明：令，因在上可積，故在上也可積，且有 所以 故 。 20、證明：因為是上的有界函數，故可設，其中為常數。 則 所以 21、證明：用表示上的特征函數，由假設對于任何至少屬于個，所以，因而。而另一方面，故，從而這個集中必有一集，它的測度大于或等于。22、證明：令， ，易