下下下下 回回回回 停停停停 一 方差的概念 二 方差的性質 一 方差的概念 二 方差的性質 三 矩的概念三 矩的概念 第二節 隨機變量的方差和矩第二節 隨機變量的方差和矩第二節 隨機變量的方差和矩第二節 隨機變量的方差和矩 四 應用實例四 應用實例 1 問題的提出問題的提出1 問題的提出問題的提出 引例引例1 有兩批燈泡有兩批燈泡 其平均壽命都是其平均壽命都是 E X 1000 O x Ox 1000 1000 哪一批燈泡壽命更為穩定哪一批燈泡壽命更為穩定 小時小時 一 方差的概念一 方差的概念一 方差的概念一 方差的概念 引例引例2比較兩射手的技術比較兩射手的技術 8910擊中環數擊中環數 8910擊中環數擊中環數 0 1 0 80 1概 率概 率 0 40 20 4概 率概 率 甲射手乙射手甲射手乙射手 顯然二者的平均水平為顯然二者的平均水平為9環環 也就是兩射手的水也就是兩射手的水 如何描述這種差異呢如何描述這種差異呢 平相當平相當 但甲射手的波動性較大但甲射手的波動性較大 射擊不夠穩定射擊不夠穩定 由此可以引入由此可以引入方差方差的定義如下 設射手打中的環數為隨機變量 的定義如下 設射手打中的環數為隨機變量X 其分布律為其分布律為 L 2 1 ipxXP ii 1 2 i ii XEXEpXEx XExi 則該射手的平均射擊波動為則該射手的平均射擊波動為 XExi 其平均水平為其平均水平為E X 則其每次射擊的波動為 為了數學處理上的方便 則其每次射擊的波動為 為了數學處理上的方便 以以 2 XExi 替代 替代 2 方差的定義方差的定義2 方差的定義方差的定義 2XEXE 通過上述 通過上述2個引例個引例 我們可以給出如下定義我們可以給出如下定義 定義定義3 3設設X是一個隨機變量是一個隨機變量 若 存在 若 存在 則稱則稱 2XEXE 為 為X的的方差方差 記為記為 22 XEXEX XD 即或即或 2 X XD X XD記為為標準差或均方差稱記為為標準差或均方差稱 2 方差方差D X 是一個非負實數是一個非負實數 常用來體現 隨機變量 常用來體現 隨機變量 X 取值分散程度的量取值分散程度的量 它反映了它反映了X 偏離偏離其其數學期望數學期望的程度的程度 3 如果如果D X 值值大大 表示表示X 取值越取值越分散分散 以以 E X 作為隨機變量的代表性作為隨機變量的代表性差差 小小 集中集中 好好 注注1 由定義知由定義知 0 2 XEXEXD 3 隨機變量方差的計算 隨機變量方差的計算3 隨機變量方差的計算 隨機變量方差的計算 離散型隨機變量的方差離散型隨機變量的方差 1 2 k k k pXExXD 連續型隨機變量的方差連續型隨機變量的方差 d 2 xxpXExXD 1 利用定義計算利用定義計算 2 1 的分布律是其中的分布律是其中XkpxXP kk L 其中其中p x 為為X的概率密度的概率密度 例例1 正態分布正態分布 2 XD NX求若求若 0 e 2 1 2 2 2 1 x xp x XE 且 且 解解 XD所以所以 xxpXExd 2 xxp xd 2 x x x de 2 1 2 2 2 1 2 因為 因為X的概率密度為的概率密度為 t x 令 令 2 tt t de 2 2 2 2 2 tt tt dee 2 22 2 22 2 2 0 2 因而正態分布的方差為因而正態分布的方差為 2 2 NX正態分布正態分布 2 XD XE 2 1 NX 1 xpy x y Ox y O 2 xpy 21 正態分布方差的直觀圖示正態分布方差的直觀圖示 2 2 NX 2 利用公式計算利用公式計算 2 利用公式計算利用公式計算 2 2 XEXEXD 證證 2 XEXEXD 2 22 XEXXEXE 22 2 XEXEXEXE 22 XEXE 例例2例例2 解解 設隨機變量設隨機變量X具有概率密度具有概率密度 試求 試求 考研試題考研試題 例例3例例3 x x XPXDXP 1 de 1 1 e 1 e x 0 1 de xx x 其中其中 二 方差的性質二 方差的性質二 方差的性質二 方差的性質 2 XDkkXD 2kXEkXEkXD 證證 2 2 CECECD 性質性質3 5設設C 是常數是常數 則有則有 0 CD 22 CC 0 性質性質3 6設設X是一個隨機變量是一個隨機變量 k是常數是常數 則有則有 證證 1 方差的性質方差的性質 222 XDkXEXEk 性質性質3 7設隨機變量設隨機變量X Y 相互獨立相互獨立 且且D X D Y 存在 存在 則則D X Y D X D Y 性質性質3 7設隨機變量設隨機變量X Y 相互獨立相互獨立 且且D X D Y 存在 存在 則則D X Y D X D Y nnX aXaXaD L 2211 證證 2 YXEYXEYXD 2 YEYXEXE 22 YEYEXEXE YDXD 推廣推廣則有相互獨立若則有相互獨立若 21n XXXL 2 2 2 21 2 1nn XDaXDaXDa L 2YEYXEXE 例例4 022 YEXEYXEZEQ 1 0 NXYX相互獨立與設隨機變量相互獨立與設隨機變量 2 4 3 0 ZDZEYXZNY及若及若 解解 4 4 3 4142 YDXDYXDZD 1 0 2 4 0 N Z UNZ uu uUEZEd22 uu u de 2 1 2 2 2 22 ZEZEZD Q 404 2 2 2 ZEZDZEZE而而 2 4 e 2 4 de 2 4 2 2 0 2 0 2 u uu u 2 14 2 4 4 2 ZD 性質性質3 8 切比謝夫不等式切比謝夫不等式 2 XD則對于任意正整數方差 則對于任意正整數方差 切比謝夫不等式切比謝夫不等式 切比謝夫切比謝夫 設隨機變量設隨機變量X具有數學期望具有數學期望E X 2 2 XP 成立成立 不等式不等式 證證 僅選擇僅選擇連續型隨機變量連續型隨機變量的情況來證明的情況來證明 2 2 XP xxp x d 1 2 2 1 2 2 xxp x x d 2 2 得得 XP x xxpd 1 2 2 x 1 2 2 XP 設設X的概率密度為的概率密度為p x 則有則有 切比謝夫不等式的切比謝夫不等式的意義意義 給出了在給出了在X的分布未知的情形下的分布未知的情形下 估計概率估計概率 XEXP 的方法的方法 注注2 說明了說明了D X 的確刻劃了的確刻劃了X對對E X 的偏離程度的偏離程度 1 2 XD XEXP 由可知由可知 D X 越小越小 X偏離偏離E X 程度越小程度越小 這表明這表明 X取值越集中在取值越集中在E X 附近附近 注注3 它是大數定理的理論基礎它是大數定理的理論基礎 注注1 XEXP 越大越大 例例5例例5已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中 每一毫升所每一毫升所 解解 設設X為每毫升血液中含白細胞數為每毫升血液中含白細胞數 依題意依題意 有有 700 7300 22 XDXE 94005200 XP 7300940073005200 XEXP 含白細胞數的平均數是含白細胞數的平均數是7300 均方差是均方差是700 試利用切比謝夫不等式估計每毫升含白細胞 數在 試利用切比謝夫不等式估計每毫升含白細胞 數在5200 9400之間的概率之間的概率p 7300940073005200 XEXP 21002100 XEXP 2100 XEXP 2 1 XD XEXP 2 2100 1 XD 8889 094005200 XP即即 2 2 2100 700 1 8889 0 9 8 性質性質3 9性質性質3 9 1為常數為常數CCXP 0 0 2 XD XEXP 證證 必要性必要性 由于 而充分性可由 由于 而充分性可由性質性質3 5直接得到直接得到 隨機變量隨機變量X的方差的方差D X 0的充要條件是的充要條件是 的任意性可知而由 的任意性可知而由 1 XEXP 性質性質3 10性質性質3 10 證證 2 XEXEXD 則若對任意則若對任意 XECRC 2 CXEXD 2 XECCXE CXEXECCXE 2 2 2 2 XECCXE 2 時當時當XECCXE 2XEC 例例6 顯然答案為顯然答案為D 設設X是隨機變量是隨機變量 2 XD XE 2 2 2 cXEcXEA 2 2 XEcXEB 2 2 XEcXEC 2 2 XEcXED D 有則對任意的常數均為常數與有則對任意的常數均為常數與c 2 常見概率分布相應的方差常見概率分布相應的方差2 常見概率分布相應的方差常見概率分布相應的方差 nkppCkXP knkk n 2 1 0 1L 例例7 二項分布二項分布 解解 10 Lk 22 XEXEXD XE 設設X P 且分布律為且分布律為 1 2 XXXEXE 1 XEXXE 0 e 1 k k k kk 2 2 2 2 e k k k ee 2 2 所以所以 22 XEXEXD 22 因而因而 泊松分布的數學期望與方差都等于參數泊松分布的數學期望與方差都等于參數 例例9 幾何分布幾何分布 例例9 幾何分布幾何分布 10 2 1 1 1 pkpqpqkXP k L 1 p XE 解解 則 又因為 設隨機變量 則 又因為 設隨機變量X服從幾何分布服從幾何分布 設隨機變量設隨機變量X的分布律為的分布律為 22 XEXEXD 1 12 2 k k pqkXE 求求D X XEpqkk k k 1 1 1 XEqkkpq k k 1 2 1 XEqpq k k 1 pq q pq 1 1 2 12 2 p p q XD 112 222 p q p p p q 11 112 kk kk pqkpqkk 所以所以 例例10 均勻分布均勻分布 例例10 均勻分布均勻分布 其分布密度函數為設其分布密度函數為設 baUX 2 1 baXE 12 2 ba 解解 2 2 2 d 1 ba x ab x b a 22 XEXEXD 設隨機變量設隨機變量X服從均勻分布服從均勻分布 0 1 其它其它 bxa ab xp 則有則有 求求D X 例例11 指數分布指數分布 例例11 指數分布指數分布 Exp XD X求設隨機變量求設隨機變量 1 XE 解解 22 XEXEXD 2 0 2 1 de x x x 111 2 222 設隨機變量設隨機變量X Exp 則則 泊松分布 幾何分布 泊松分布 幾何分布 np 1 p np 二項分布二項分布 X B n p p 1 p p 0 1分布分布 X B 1 p D X E X 分布律分布分布律分布 PX kk ppkXP 1 1 k 0 1 knkk n ppCkXP 1 k 0 1 2 n k k kXP e k 0 1 2 ppkXP k 1 1 k 1 2 2 p q p 1 常見離散型分布對應的數學期望與方差常見離散型分布對應的數學期望與方差常見離散型分布對應的數學期望與方差常見離散型分布對應的數學期望與方差 三 矩的概念三 矩的概念三 矩的概念三 矩的概念 nkXEX k L 1 若是一隨機變量設若是一隨機變量設 2 1 nkXEa k k L 特例特例 1 矩的概念矩的概念 定義定義3 4 定義定義3 5 2 2 的方差是 的方差是XXEXE 存在 存在 則稱它為則稱它為X的的k 階原點矩階原點矩 ak 即 設 即 設X是一隨機變量是一隨機變量 且且 a1 E X 特例特例 a1 E X 是 是X的數學期望的數學期望 nkXEXE k L 2 1 若 若存在存在 則稱它為則稱它為X的的 k階中心矩階中心矩 記為記為 k kk XEXE 2 原點矩與中心矩的關系原點矩與中心矩的關系2 原點矩與中心矩的關系原點矩與中心矩的關系 k i ik i i k aaC 0 1 k i ik i i k k k XEXECXEXE 0 二者之間可以相互唯一表達二者之間可以相互唯一表達 關系如下關系如下 k k k aaXEXEa 11 k i ikii k aXEaC 0 11 k i ik ii ka C 0 1 注注1 注注1 以上數值特征都是以上數值特征都是隨機變量函數的數學 期望 隨機變量函數的數學 期望 k階原點矩和階原點矩和k階中心矩可以互相 唯一表示 階中心矩可以互相 唯一表示 隨機變量隨機變量X的數學期望的數學期望E X 是 是X的一階 原點矩 的一階 原點矩 方差為二階中心矩方差為二階中心矩 三階中心 矩 三階中心 矩E X E X 3 主要用來衡量隨機 變量的分布是否有偏 主要用來衡量隨機 變量的分布是否有偏 2 在實際中在實際中 高于四階的矩很少使用高于四階的矩很少使用 四階 中心矩 四階 中心矩E X E X 4 主要用來衡量隨機 變量的分布在均值附近的陡峭程度如何 主要用來衡量隨機 變量的分布在均值附近的陡峭程度如何 3 例例12例例12 uu u k k de 2 2 2 x ux x x k de 2 12 2 2 2k k XEXE NX 求設 求設 有對于任意有對于任意 1 k k k XEXE 解解 為奇數 為偶數 為奇數 為偶數 k kkk k 0 13 3 1 四 應用實例四 應用實例四 應用實例四 應用實例 65 035 0 n X P nnnXnnP5 065 05 05 035 0 95 0 15 0 25 0 115 05 0 2 n nnXP 解解設設X為為n次試驗中事件次試驗中事件A發生的次數發生的次數 則則 例例13在每次實驗中在每次實驗中 事件事件A發生的概率為發生的概率為0 5 X B n 0 5 要使得事件出現的頻率在要使得事件出現的頻率在0 35 0 65之間的概率 不小于 之間的概率 不小于0 95 至少需要做多少次重復實驗至少需要做多少次重復實驗 因此因此 n 222 2 所以至少需要所以至少需要223次獨立實驗次獨立實驗 例例14現代證券組合理論現代證券組合理論 Markowitz均值 方差模型均值 方差模型 例例14現代證券組合理論現代證券組合理論 Markowitz均值 方差模型均值 方差模型 1 i n i i X X i n i i XE XE 1 在證券投資中在證券投資中 為了分散風險為了分散風險 采取證券組合投資 的方式 采取證券組合投資 的方式 如何衡量哪一種組合投資更有效呢如何衡量哪一種組合投資更有效呢 一般采用提高平均收益一般采用提高平均收益 降低投資風險的方法降低投資風險的方法 設投資組合收益為設投資組合收益為 n i n j iijji j XDXD XD 11 證券組合投資問題就轉化為證券組合投資問題就轉化為 尋找尋找n種證券的投資 比例 種證券的投資 比例 1 2 n使得平均收益最大使得平均收益最大 而組合投資的 方差越小 而組合投資的 方差越小 內容小結內容小結內容小結內容小結 1 方差是一個常用來體現隨機變量方差是一個常用來體現隨機變量X 取值分散 程度的量 取值分散 程度的量 如果如果D X 值大值大 表示表示X 取值分散程度 大 取值分散程度 大 E X 的代表性差的代表性差 而如果而如果D X 值小值小 則表示則表示 X的取值比較集中的取值比較集中 以以E X 作為隨機變量的代表 性好 作為隨機變量的代表 性好 22 XEXEXD 2 方差的計算公式方差的計算公式 1 2 k k k pXExXD xxpXExXDd 2 3 方差的性質方差的性質 3 2 0 1 0 20 0 YDXDYXD XDCCXD CD 2 2 XP 1 2 2 XP 4 切比謝夫不等式 隨機變量 切比謝夫不等式 隨機變量X的數學期望的數學期望E X 是是X的一階原點矩的一階原點矩 方差為二階中心矩方差為二階中心矩 5 矩是隨機變量的數字特征矩是隨機變量的數字特征 備用題 例 備用題 例1 1 備用題 例 備用題 例1 1 1 2 2 2 Y P X Y 1400 25 640 2 NY求求Z1 2X Y Z2 X Y 解解 2 2 1 YEXEYXEZE 20806407202 4 2 1 YDXDYXDZD 422525304 22 由由X Y相互獨立相互獨立 且且 30 720 2 NX 25 640 2 NY則則Z1 2X Y Z2 X Y 設設X Y相互獨立相互獨立 且且 30 72