第三章 電磁級(jí)聯(lián)簇射理論3.1 電磁級(jí)聯(lián)簇射和強(qiáng)子簇射 高能電子和光子在介質(zhì)中產(chǎn)生的電子-光子簇射, 稱(chēng)為電磁級(jí)聯(lián)簇射。它是由高能電子的軔致輻射和高能光子的對(duì)產(chǎn)生所形成的級(jí)聯(lián)過(guò)程。e-e+ge-gge-e-e+e+e+ggggge-e-e+e+ge+e+e-e-e-e-gge-ggg圖3.1 電磁級(jí)聯(lián)簇射過(guò)程示意圖如圖3.1所示，入射光子在介質(zhì)中通過(guò)對(duì)產(chǎn)生過(guò)程產(chǎn)生正負(fù)電子對(duì), 正負(fù)電子又在介質(zhì)中引起軔致輻射, 軔致輻射產(chǎn)生的g光子又可以產(chǎn)生正負(fù)電子對(duì)，, 這樣, 隨著穿入介質(zhì)深度的增加, 簇射粒子(即次級(jí)電子和光子)的總數(shù)將迅速增加。 在電子-光子簇射發(fā)展過(guò)程中, 簇射總粒子數(shù)增加而其平均能量降低, 這樣，在介質(zhì)的一定深度處, 電子和光子的總數(shù)將達(dá)到極大值, 然后由于電子、光子的能量基本上已降低到不足以再產(chǎn)生新粒子，級(jí)聯(lián)過(guò)程逐漸停止。此后電子主要通過(guò)電離過(guò)程損失能量，光子主要通過(guò)光子-電子散射效應(yīng)消耗能量，使得簇射粒子的平均能量逐漸降低，簇射過(guò)程進(jìn)入衰減階段，總粒子數(shù)逐漸減少, 最后簇射粒子全部被介質(zhì)吸收。e-e+e+e+e-e+e-e+ge-e-ggge-e+gggge-e+nenmge+e+nm+e-e-nenmmnm-np-p+HadronicinteractionsPrimary NucleiTarget atmosphere atomElectromegnetic Cascadep0npK圖3.2 強(qiáng)子簇射過(guò)程示意圖強(qiáng)子簇射是強(qiáng)子與介質(zhì)的原子核發(fā)生一系列的非彈性強(qiáng)相互作用造成的。如圖3.2所示，當(dāng)高能強(qiáng)子進(jìn)入介質(zhì)時(shí), 它們和介質(zhì)的原子核發(fā)生非彈性強(qiáng)相互作用, 產(chǎn)生多個(gè)次級(jí)強(qiáng)子。高能次級(jí)強(qiáng)子又可以在介質(zhì)中產(chǎn)生新的核作用, , 這種過(guò)程就是強(qiáng)子級(jí)聯(lián)過(guò)程, 它形成強(qiáng)子簇射。在強(qiáng)子-原子核非彈性作用中，產(chǎn)生的次級(jí)粒子主要是核子和p介子(p+、p-、p0)，另外還有K介子和超子。次級(jí)核子在介質(zhì)中繼續(xù)發(fā)生非彈性強(qiáng)相互作用，能量大于10GeV的次級(jí)荷電p介子(p+p-)也可以繼續(xù)與介質(zhì)的原子核發(fā)生非彈性強(qiáng)相互作用。由于荷電p介子的壽命只有2.60310-8秒，所以能量較低的荷電p介子會(huì)很快衰變成為m子和中微子：p+ m+ + nmp- m- + K介子也會(huì)衰變成m子和中微子：K+ m+ + nmK- m- + 衰變產(chǎn)物中的m子壽命較長(zhǎng)(約2.19710-6秒)，一般不會(huì)在介質(zhì)中發(fā)生衰變，而是通過(guò)電離過(guò)程損失能量；中微子則幾乎不在介質(zhì)中發(fā)生任何作用而直接通過(guò)介質(zhì)。由于中性p介子(p0)的平均壽命只有8.310-17秒，所以強(qiáng)子-原子核非彈性強(qiáng)相互作用中產(chǎn)生的p0會(huì)立即衰變成為一對(duì)光子：p0 g + g這些高能g光子會(huì)在介質(zhì)中產(chǎn)生電磁級(jí)聯(lián)簇射，使簇射粒子數(shù)迅速增加。與電磁級(jí)聯(lián)簇射過(guò)程相似，在強(qiáng)子級(jí)聯(lián)簇射發(fā)展過(guò)程中，初始階段次級(jí)粒子的數(shù)目增加、平均能量降低，在簇射極大之后，粒子數(shù)逐漸減少，最后簇射過(guò)程全部終止。2.2 關(guān)于電磁級(jí)聯(lián)簇射理論2.2.1 簇射理論所要解決的問(wèn)題假定一個(gè)初始能量為E0的電子或光子入射到物質(zhì)層中。在與入射點(diǎn)相距為t的深度處，取一個(gè)與入射方向相垂直的平面，將此平面分成無(wú)限小的面元ds1,ds2,ds3, dsm；把立體角分為無(wú)限小的立體元dw1, dw2, dw3, dwn；把由0到E0的能域分成無(wú)限小的間隔dE1, dE2, dE3, , dEl。簇射理論所要面臨的問(wèn)題是：在深度t處，產(chǎn)生Mp和Mg個(gè)光子或電子的幾率是多少？在這些粒子中的每一個(gè)粒子，其空間坐標(biāo)位于dsm內(nèi)、角度坐標(biāo)位于dwn內(nèi)、并且能量位于dEl間隔內(nèi)的幾率又是多少？這樣一個(gè)問(wèn)題在數(shù)學(xué)上幾乎是一個(gè)不可解的復(fù)雜問(wèn)題，為了求得這個(gè)問(wèn)題的解，通常作某些簡(jiǎn)化。2.2.2 問(wèn)題的簡(jiǎn)化1把簇射的縱向發(fā)展和橫向發(fā)展分離開(kāi)來(lái)在高能情況下，由電子對(duì)效應(yīng)產(chǎn)生的次級(jí)電子的發(fā)射角，與軔致輻射效應(yīng)形成的g光子的發(fā)射角都非常小；此外，電子的散射角也很小，至少是在其原子序數(shù)Z低的介質(zhì)中如此。因此，簇射基本上是沿粒子入射的方向發(fā)展。這樣，我們就有可能把簇射的縱向發(fā)展和橫向發(fā)展作為兩個(gè)獨(dú)立的問(wèn)題分別處理。即首先忽略由于橫向擴(kuò)展而引起的粒子的路徑的增長(zhǎng)，確定出描寫(xiě)簇射的函數(shù)對(duì)于所通過(guò)物質(zhì)的深度t的依賴(lài)關(guān)系；然后再研究簇射粒子圍繞入射軸的橫向擴(kuò)展，以及簇射粒子的角分布。2只考慮簇射的平均行為在有關(guān)描述簇射的許多問(wèn)題中，我們將只涉及簇射的平均行為，也就是說(shuō)，我們希望知道，在深度t處的物質(zhì)層中形成的能量大于E的光子數(shù)和光子數(shù)的平均值。下面我們定義一些用于描述簇射的縱向發(fā)展的平均行為的量：p(E,t)dE：在深度t處能量處于E到E+dE間隔內(nèi)的平均電子數(shù)，稱(chēng)為電子的微分譜。g(E,t)dE：在深度t處能量處于E到E+dE間隔內(nèi)的平均光子數(shù)，稱(chēng)為光子的微分譜。P(E,t)=：在深度t處能量大于E的平均電子數(shù)，稱(chēng)為電子的積分譜。G(E,t)=：在深度t處能量大于E的平均光子數(shù)，稱(chēng)為光子的積分譜。2.2.3 A近似與B近似對(duì)于簇射問(wèn)題，即使作了上述簡(jiǎn)化，即只考慮簇射縱向發(fā)展中的平均行為，在數(shù)學(xué)上也是很困難的。因此，只要有可能，在解決問(wèn)題的過(guò)程中要盡量作簡(jiǎn)化。1A近似在簇射過(guò)程中起主導(dǎo)作用的是軔致輻射和電子對(duì)產(chǎn)生過(guò)程。因此當(dāng)我們僅限于考慮比臨界能量高的能域時(shí)，可以用A近似來(lái)處理簇射問(wèn)題。在A近似下：忽略Compton效應(yīng)；不考慮碰撞損失（即電離損失）；如果能區(qū)為E137 mec2Z-1/3，則可以用完全屏蔽的漸進(jìn)公式來(lái)描述輻射現(xiàn)象和電子對(duì)產(chǎn)生。在A近似下，如果介質(zhì)的厚度是以輻射長(zhǎng)度為單位，則在高能范圍內(nèi)，上述過(guò)程的微分幾率表達(dá)式，實(shí)際上是與原子序數(shù)無(wú)關(guān)。這樣，A近似的簇射理論對(duì)于所有的介質(zhì)將給出完全相同的結(jié)果。2B近似當(dāng)粒子的能量進(jìn)入臨界能量區(qū)域時(shí)，Compton效應(yīng)仍然可以忽略，但是，對(duì)于碰撞過(guò)程引起的能量損失則必須加以考慮。在這一能域，才采用B近似來(lái)處理簇射問(wèn)題。在B近似下：忽略Compton效應(yīng)；電離損失用一常數(shù)能量耗散Ec（臨界能量）來(lái)描述，即每個(gè)輻射長(zhǎng)度電離損失為Ec。采用完全屏蔽條件下的漸進(jìn)公式來(lái)描述輻射現(xiàn)象和電子對(duì)產(chǎn)生過(guò)程。如果以輻射長(zhǎng)度作為介質(zhì)厚度的度量單位，以臨界能量Ec作為能量的度量單位，則由B近似所得到的計(jì)算結(jié)果，對(duì)于所有的元素都是合用的。B近似所作的基本假設(shè)，對(duì)于輕元素（例如空氣）已被很好的證實(shí)；然而對(duì)于重元素（如鉛）在臨界能量區(qū)域，輻射損失的幾率漸進(jìn)表達(dá)式所給出的結(jié)果約為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的1.5倍，而電子對(duì)產(chǎn)生的幾率表達(dá)式所給出的結(jié)果只是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的1/3。當(dāng)能量低于臨界能量時(shí)，Compton效應(yīng)和碰撞過(guò)程均對(duì)簇射粒子的產(chǎn)生和吸收有相當(dāng)大的貢獻(xiàn)。在這種情況下，理論計(jì)算變得十分復(fù)雜。2.2.4 擴(kuò)散方程卡爾遜(Carlson)與奧本海默(Oppenheimer)最早把解析方法用于簇射問(wèn)題。他們對(duì)于粒子在無(wú)限薄的介質(zhì)層dt的產(chǎn)生和吸收的各種過(guò)程作了考慮，得到了描述每個(gè)能量間隔內(nèi)的電子數(shù)和光子數(shù)隨深度變化的方程組，然后對(duì)元過(guò)程的幾率表達(dá)式進(jìn)行簡(jiǎn)化，再來(lái)求解這些方程組。后來(lái)蘭道(Landau)與魯默(Rumer)等人將這種解析方法進(jìn)行擴(kuò)充和完善，并已證明它是處理簇射問(wèn)題的有效的方法。下面我們簡(jiǎn)要地介紹這一方法，在介紹這一方法之前，先回顧一下各元過(guò)程的微分幾率。1各元過(guò)程的微分幾率單位輻射長(zhǎng)度內(nèi)碰撞過(guò)程（電離損失）的微分幾率jcol(E, E)已知電荷為ze、速度為bc、能量為E的粒子，經(jīng)過(guò)單位等效厚度的介質(zhì)層，發(fā)生傳遞給原子電子以能量為E E+d E的碰撞過(guò)程的微分幾率為：如果經(jīng)過(guò)介質(zhì)層的厚度為單位輻射長(zhǎng)度X0，則有jcol(E, E)= X0Fcol(E, E)其中單位輻射長(zhǎng)度內(nèi)軔致輻射過(guò)程的微分幾率已知在完全屏蔽條件下（E137mec2Z-1/3），能量為E的電子經(jīng)過(guò)單位等效厚度介質(zhì)發(fā)生軔致輻射的微分幾率為：其中v= E/E如果經(jīng)過(guò)介質(zhì)的厚度為單位輻射長(zhǎng)度，則有jrad(E, E)= X0Frad(E, E)v= E/E， dv=d E/E， 即d E=Edv則jrad(E, E)d E=令yrad(v)=其中則有jrad(E, E)d E=yrad(v)dv=單位輻射長(zhǎng)度內(nèi)Compton散射過(guò)程的微分幾率已知能量為E的光子發(fā)生Compton散射的微分幾率為則經(jīng)過(guò)單位輻射長(zhǎng)度介質(zhì)發(fā)生這一過(guò)程的微分幾率為jcom(E, E)= X0Fcom(E, E)單位輻射長(zhǎng)度內(nèi)對(duì)產(chǎn)生過(guò)程的微分幾率和總幾率能量為E的g光子形成正負(fù)電子對(duì)，其中正電子的動(dòng)能為E E+d E的微分幾率為（在完全屏蔽條件下，即E137mec2Z-1/3）：經(jīng)過(guò)單位輻射長(zhǎng)度的介質(zhì)發(fā)生這一過(guò)程的微分幾率為：jpair(E, E)d E= X0Fpair(E, E)d E = =ypair(v)dv =發(fā)生這一過(guò)程的總幾率為：在完全屏蔽條件下，mpair為一常數(shù)，記作m0mpair=X0 = =2電子數(shù)的變化在深度t處能量處于EE+dE間隔內(nèi)的電子數(shù)為p(E,t)，光子數(shù)為g(E,t)。當(dāng)輻射再穿過(guò)一無(wú)限薄的深度dt后，則在EE+dE間隔內(nèi)的電子數(shù)將由于以下效應(yīng)而變化：具有能量為E( EE)的光子，由于電子對(duì)效應(yīng)和Compton散射，將產(chǎn)生一定數(shù)量的能量處于EE+dE間隔內(nèi)的電子，其數(shù)目為：其中jgp(E,E)是單位輻射長(zhǎng)度內(nèi)，能量為E的光子形成能量為EE+dE間隔內(nèi)的電子的幾率。這一過(guò)程可能是由于電子對(duì)產(chǎn)生過(guò)程，或是由于Compton效應(yīng)而發(fā)生，因此有其中jcom(E,E)是單位輻射長(zhǎng)度內(nèi)，能量為E的光子產(chǎn)生能量為E的次級(jí)電子的對(duì)產(chǎn)生過(guò)程的微分幾率。由于在每個(gè)對(duì)產(chǎn)生過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)電子，因此在jpair之前有一個(gè)因子2。jcom(E,E-E)是單位輻射長(zhǎng)度內(nèi)，能量為E的光子發(fā)生Compton散射，形成具有能量(E-E)的散射光子的幾率，其中E為反沖電子的能量。具有能量為E( EE)的電子，由于輻射損失和碰撞過(guò)程（電離損失）而產(chǎn)生一定數(shù)目的能量處于EE+dE間隔內(nèi)的電子數(shù)目為：其中jpp(E,E)是單位輻射長(zhǎng)度內(nèi)，能量為E的電子產(chǎn)生能量為EE+dE間隔內(nèi)的電子的幾率。這一過(guò)程可能是由于輻射過(guò)程，在該過(guò)程中電子損失能量(E-E)。或是由于碰撞過(guò)程，在該過(guò)程中，兩個(gè)相撞電子之中一個(gè)以能量E離開(kāi)碰撞點(diǎn)。因此有某些能量原來(lái)處于EE+dE間隔內(nèi)的電子，由于輻射過(guò)程和碰撞過(guò)程而損失能量，結(jié)果這些電子的能量離開(kāi)了EE+dE的間隔。這些電子的數(shù)目為：其中第一個(gè)積分代表輻射的貢獻(xiàn)，第二個(gè)積分代表碰撞過(guò)程的貢獻(xiàn)。綜上所述，可以求得電子數(shù)隨深度t變化的方程式為：3光子數(shù)的變化在深度t處原來(lái)處在EE+dE能量間隔內(nèi)的光子數(shù)為g(E,t)。當(dāng)輻射再穿過(guò)一無(wú)限薄的深度dt后，光子數(shù)將由于以下過(guò)程而變化：具有能量為E( EE)的電子，由于輻射過(guò)程而產(chǎn)生能量處于EE+dE間隔內(nèi)一定數(shù)目的光子，其數(shù)目為： 其中jpg(E,E)代表每單位輻射長(zhǎng)度內(nèi)的能量為E的電子產(chǎn)生能量在EE+dE間隔內(nèi)的光子的幾率，這只有輻射過(guò)程才能夠產(chǎn)生，因此有具有能量為E( EE)的光子，由于某種過(guò)程而產(chǎn)生能量處于EE+dE間隔內(nèi)一定數(shù)目的光子，其數(shù)目為： 其中jgg(E,E)代表每單位輻射長(zhǎng)度內(nèi)的能量為E的光子產(chǎn)生能量在EE+dE間隔內(nèi)的光子的幾率，這只有是由于Compton散射而產(chǎn)生，因此有某些能量原來(lái)處于EE+dE間隔內(nèi)的光子，由于電子對(duì)產(chǎn)生和Compton散射而被吸收，其數(shù)目可以寫(xiě)為：其中為每個(gè)輻射長(zhǎng)度內(nèi)產(chǎn)生電子對(duì)效應(yīng)和Compton散射的總幾率。綜上所述，可以求得光子數(shù)隨深度t變化的方程式為：4擴(kuò)散方程考慮到以上各種過(guò)程，可以得到電子數(shù)、光子數(shù)隨深度t變化的方程式為：對(duì)此方程組的求解過(guò)程可參閱B.Rossi的High-Energy Particles(1952)一書(shū)，這里直接給出方程組在A近似和B近似下的解。5擴(kuò)散方程在A近似下的通解在A近似下，擴(kuò)散方程的通解為：通解中常數(shù)a1與a2的確定假設(shè)一束電子和g光子入射到介質(zhì)中，以p(E,0)dE代表t=0時(shí)能量處于EE+dE間隔內(nèi)每秒入射的電子數(shù)，g(E,0)dE代表t=0時(shí)能量處于EE+dE間隔內(nèi)每秒入射的光子數(shù)。則初始條件p(E,0)，g(E,0)可用具有相同冪指數(shù)的量來(lái)表示：代入擴(kuò)散方程的通解，便可得到a1與a2。相應(yīng)于各種s值的函數(shù)均有表可查，請(qǐng)參閱B.Rossi的High-Energy Particles(1952)一書(shū)第296頁(yè)。簇射年齡參數(shù)s的物理意義簇射年齡參數(shù)“s”反映了簇射發(fā)展的不同階段，由B.Rossi書(shū)296頁(yè)表可知：當(dāng)s0. 簇射粒子數(shù)隨介質(zhì)厚度t增加；s=1，l1=0. 簇射粒子數(shù)達(dá)到極大；s1，l10. 簇射粒子數(shù)隨介質(zhì)厚度t減少；s，l1=-m0=-0.7736在A近似下，擴(kuò)散方程在單電子或單光子入射情況下的解能量為E0的單電子入射時(shí)微分譜：函數(shù)最大值及相應(yīng)最佳厚度：能量為E0的單電子入射時(shí)的積分譜函數(shù)最大值及相應(yīng)最佳厚度：能量為E0的單光子入射時(shí)的微分譜函數(shù)最大值及相應(yīng)最佳厚度：能量為E0的單光子入射時(shí)的積分譜函數(shù)最大值及相應(yīng)最佳厚度：相應(yīng)于各種s值的函數(shù)均有表可查，請(qǐng)參閱B.Rossi的High-Energy Particles(1952)一書(shū)第296297頁(yè)。7在B近似下，擴(kuò)散方程在單電子或單光子入射情況下的積分解能量為E0的單電子入射時(shí)的積分譜能量為E0的單光子入射時(shí)的積分譜其中e0為臨界能量；而在上式中，為gamma函數(shù)，其值為：sD(s)01.0000.51.8050.72.020.82.111.02.291.12.381.22.461.42.651.62.831.83.062.03.32函數(shù)p(s,e)的表達(dá)式為：其中f(l)函數(shù)的表達(dá)式為：， D=0.7733上式中大括號(hào)中的部分在l=l1(s)或s=s1(l)的情況下取值。8簇射粒子的橫向擴(kuò)展上述對(duì)簇射的描述是一維的，它只考慮了簇射的縱向發(fā)展。然而，通過(guò)對(duì)廣延大氣簇射的研究，和乳膠室的觀測(cè)已經(jīng)證實(shí)，在電子簇射中粒子也產(chǎn)生橫向擴(kuò)展。而且在某些情況下，簇射的橫向擴(kuò)展在其發(fā)展過(guò)程中起相當(dāng)重要的作用。有以下幾種原因，可以引起簇射粒子的橫向擴(kuò)展：a) 在軔致輻射過(guò)程中的電子的發(fā)射角q；b) 在電子對(duì)產(chǎn)生過(guò)程中的電子的分離角(又稱(chēng)開(kāi)角，或發(fā)射角)q；c) 在電磁級(jí)聯(lián)簇射中產(chǎn)生的次級(jí)電子，在傳播過(guò)程中由于在介質(zhì)中發(fā)生多次庫(kù)侖散射，而使電子偏離原來(lái)的方向。設(shè)能量為E的電子，在簇射中穿過(guò)的厚度為t（t=，以輻射長(zhǎng)度為單位），若忽略電子的能量損失，則由于多次散射而引起的散射角的方均值為：= 其中Es=21MeV。電子穿過(guò)厚度為t的介質(zhì)后，由輻射或?qū)Ξa(chǎn)生而引起的發(fā)射角或開(kāi)角q相對(duì)于多次散射而引起的散射角的比值為： 因此，與多次散射角相比較，由于輻射或?qū)Ξa(chǎn)生而引起的發(fā)射角或開(kāi)角的貢獻(xiàn)可以忽略（在電子簇射發(fā)展的剛開(kāi)始階段不能忽略）。一個(gè)能量為臨界能量Ec的電子，若沿縱向穿過(guò)距離為一個(gè)輻射長(zhǎng)度的介質(zhì)，則其橫向擴(kuò)展的距離為： 物理量rm稱(chēng)為Moliere單位，又稱(chēng)為特征長(zhǎng)度，或散射長(zhǎng)度，rm具有長(zhǎng)度的量綱。對(duì)于空氣而言，在海平面，由于Ec=81MeV，X0=37.1g/cm2，電子的散射長(zhǎng)度為：rm9.6 g/cm2，接近于0.26個(gè)輻射長(zhǎng)度，水平距離接近于79米。由上述可見(jiàn)，在級(jí)聯(lián)簇射理論中，必須考慮簇射粒子的橫向擴(kuò)展，只要把多次散射的貢獻(xiàn)包括進(jìn)去，便可建立起令人滿意的三維級(jí)聯(lián)簇射理論。結(jié)構(gòu)函數(shù)的數(shù)值計(jì)算為了描述電磁級(jí)聯(lián)簇射的三維發(fā)展情況，必須給出粒子離開(kāi)簇射軸的距離，及其軌跡與簇射軸之間的夾角（這些坐