第三章 電磁級聯簇射理論3.1 電磁級聯簇射和強子簇射 高能電子和光子在介質中產生的電子-光子簇射, 稱為電磁級聯簇射。它是由高能電子的軔致輻射和高能光子的對產生所形成的級聯過程。e-e+ge-gge-e-e+e+e+ggggge-e-e+e+ge+e+e-e-e-e-gge-ggg圖3.1 電磁級聯簇射過程示意圖如圖3.1所示，入射光子在介質中通過對產生過程產生正負電子對, 正負電子又在介質中引起軔致輻射, 軔致輻射產生的g光子又可以產生正負電子對，, 這樣, 隨著穿入介質深度的增加, 簇射粒子(即次級電子和光子)的總數將迅速增加。 在電子-光子簇射發展過程中, 簇射總粒子數增加而其平均能量降低, 這樣，在介質的一定深度處, 電子和光子的總數將達到極大值, 然后由于電子、光子的能量基本上已降低到不足以再產生新粒子，級聯過程逐漸停止。此后電子主要通過電離過程損失能量，光子主要通過光子-電子散射效應消耗能量，使得簇射粒子的平均能量逐漸降低，簇射過程進入衰減階段，總粒子數逐漸減少, 最后簇射粒子全部被介質吸收。e-e+e+e+e-e+e-e+ge-e-ggge-e+gggge-e+nenmge+e+nm+e-e-nenmmnm-np-p+HadronicinteractionsPrimary NucleiTarget atmosphere atomElectromegnetic Cascadep0npK圖3.2 強子簇射過程示意圖強子簇射是強子與介質的原子核發生一系列的非彈性強相互作用造成的。如圖3.2所示，當高能強子進入介質時, 它們和介質的原子核發生非彈性強相互作用, 產生多個次級強子。高能次級強子又可以在介質中產生新的核作用, , 這種過程就是強子級聯過程, 它形成強子簇射。在強子-原子核非彈性作用中，產生的次級粒子主要是核子和p介子(p+、p-、p0)，另外還有K介子和超子。次級核子在介質中繼續發生非彈性強相互作用，能量大于10GeV的次級荷電p介子(p+p-)也可以繼續與介質的原子核發生非彈性強相互作用。由于荷電p介子的壽命只有2.60310-8秒，所以能量較低的荷電p介子會很快衰變成為m子和中微子：p+ m+ + nmp- m- + K介子也會衰變成m子和中微子：K+ m+ + nmK- m- + 衰變產物中的m子壽命較長(約2.19710-6秒)，一般不會在介質中發生衰變，而是通過電離過程損失能量；中微子則幾乎不在介質中發生任何作用而直接通過介質。由于中性p介子(p0)的平均壽命只有8.310-17秒，所以強子-原子核非彈性強相互作用中產生的p0會立即衰變成為一對光子：p0 g + g這些高能g光子會在介質中產生電磁級聯簇射，使簇射粒子數迅速增加。與電磁級聯簇射過程相似，在強子級聯簇射發展過程中，初始階段次級粒子的數目增加、平均能量降低，在簇射極大之后，粒子數逐漸減少，最后簇射過程全部終止。2.2 關于電磁級聯簇射理論2.2.1 簇射理論所要解決的問題假定一個初始能量為E0的電子或光子入射到物質層中。在與入射點相距為t的深度處，取一個與入射方向相垂直的平面，將此平面分成無限小的面元ds1,ds2,ds3, dsm；把立體角分為無限小的立體元dw1, dw2, dw3, dwn；把由0到E0的能域分成無限小的間隔dE1, dE2, dE3, , dEl。簇射理論所要面臨的問題是：在深度t處，產生Mp和Mg個光子或電子的幾率是多少？在這些粒子中的每一個粒子，其空間坐標位于dsm內、角度坐標位于dwn內、并且能量位于dEl間隔內的幾率又是多少？這樣一個問題在數學上幾乎是一個不可解的復雜問題，為了求得這個問題的解，通常作某些簡化。2.2.2 問題的簡化1把簇射的縱向發展和橫向發展分離開來在高能情況下，由電子對效應產生的次級電子的發射角，與軔致輻射效應形成的g光子的發射角都非常小；此外，電子的散射角也很小，至少是在其原子序數Z低的介質中如此。因此，簇射基本上是沿粒子入射的方向發展。這樣，我們就有可能把簇射的縱向發展和橫向發展作為兩個獨立的問題分別處理。即首先忽略由于橫向擴展而引起的粒子的路徑的增長，確定出描寫簇射的函數對于所通過物質的深度t的依賴關系；然后再研究簇射粒子圍繞入射軸的橫向擴展，以及簇射粒子的角分布。2只考慮簇射的平均行為在有關描述簇射的許多問題中，我們將只涉及簇射的平均行為，也就是說，我們希望知道，在深度t處的物質層中形成的能量大于E的光子數和光子數的平均值。下面我們定義一些用于描述簇射的縱向發展的平均行為的量：p(E,t)dE：在深度t處能量處于E到E+dE間隔內的平均電子數，稱為電子的微分譜。g(E,t)dE：在深度t處能量處于E到E+dE間隔內的平均光子數，稱為光子的微分譜。P(E,t)=：在深度t處能量大于E的平均電子數，稱為電子的積分譜。G(E,t)=：在深度t處能量大于E的平均光子數，稱為光子的積分譜。2.2.3 A近似與B近似對于簇射問題，即使作了上述簡化，即只考慮簇射縱向發展中的平均行為，在數學上也是很困難的。因此，只要有可能，在解決問題的過程中要盡量作簡化。1A近似在簇射過程中起主導作用的是軔致輻射和電子對產生過程。因此當我們僅限于考慮比臨界能量高的能域時，可以用A近似來處理簇射問題。在A近似下：忽略Compton效應；不考慮碰撞損失（即電離損失）；如果能區為E137 mec2Z-1/3，則可以用完全屏蔽的漸進公式來描述輻射現象和電子對產生。在A近似下，如果介質的厚度是以輻射長度為單位，則在高能范圍內，上述過程的微分幾率表達式，實際上是與原子序數無關。這樣，A近似的簇射理論對于所有的介質將給出完全相同的結果。2B近似當粒子的能量進入臨界能量區域時，Compton效應仍然可以忽略，但是，對于碰撞過程引起的能量損失則必須加以考慮。在這一能域，才采用B近似來處理簇射問題。在B近似下：忽略Compton效應；電離損失用一常數能量耗散Ec（臨界能量）來描述，即每個輻射長度電離損失為Ec。采用完全屏蔽條件下的漸進公式來描述輻射現象和電子對產生過程。如果以輻射長度作為介質厚度的度量單位，以臨界能量Ec作為能量的度量單位，則由B近似所得到的計算結果，對于所有的元素都是合用的。B近似所作的基本假設，對于輕元素（例如空氣）已被很好的證實；然而對于重元素（如鉛）在臨界能量區域，輻射損失的幾率漸進表達式所給出的結果約為實驗數據的1.5倍，而電子對產生的幾率表達式所給出的結果只是實驗數據的1/3。當能量低于臨界能量時，Compton效應和碰撞過程均對簇射粒子的產生和吸收有相當大的貢獻。在這種情況下，理論計算變得十分復雜。2.2.4 擴散方程卡爾遜(Carlson)與奧本海默(Oppenheimer)最早把解析方法用于簇射問題。他們對于粒子在無限薄的介質層dt的產生和吸收的各種過程作了考慮，得到了描述每個能量間隔內的電子數和光子數隨深度變化的方程組，然后對元過程的幾率表達式進行簡化，再來求解這些方程組。后來蘭道(Landau)與魯默(Rumer)等人將這種解析方法進行擴充和完善，并已證明它是處理簇射問題的有效的方法。下面我們簡要地介紹這一方法，在介紹這一方法之前，先回顧一下各元過程的微分幾率。1各元過程的微分幾率單位輻射長度內碰撞過程（電離損失）的微分幾率jcol(E, E)已知電荷為ze、速度為bc、能量為E的粒子，經過單位等效厚度的介質層，發生傳遞給原子電子以能量為E E+d E的碰撞過程的微分幾率為：如果經過介質層的厚度為單位輻射長度X0，則有jcol(E, E)= X0Fcol(E, E)其中單位輻射長度內軔致輻射過程的微分幾率已知在完全屏蔽條件下（E137mec2Z-1/3），能量為E的電子經過單位等效厚度介質發生軔致輻射的微分幾率為：其中v= E/E如果經過介質的厚度為單位輻射長度，則有jrad(E, E)= X0Frad(E, E)v= E/E， dv=d E/E， 即d E=Edv則jrad(E, E)d E=令yrad(v)=其中則有jrad(E, E)d E=yrad(v)dv=單位輻射長度內Compton散射過程的微分幾率已知能量為E的光子發生Compton散射的微分幾率為則經過單位輻射長度介質發生這一過程的微分幾率為jcom(E, E)= X0Fcom(E, E)單位輻射長度內對產生過程的微分幾率和總幾率能量為E的g光子形成正負電子對，其中正電子的動能為E E+d E的微分幾率為（在完全屏蔽條件下，即E137mec2Z-1/3）：經過單位輻射長度的介質發生這一過程的微分幾率為：jpair(E, E)d E= X0Fpair(E, E)d E = =ypair(v)dv =發生這一過程的總幾率為：在完全屏蔽條件下，mpair為一常數，記作m0mpair=X0 = =2電子數的變化在深度t處能量處于EE+dE間隔內的電子數為p(E,t)，光子數為g(E,t)。當輻射再穿過一無限薄的深度dt后，則在EE+dE間隔內的電子數將由于以下效應而變化：具有能量為E( EE)的光子，由于電子對效應和Compton散射，將產生一定數量的能量處于EE+dE間隔內的電子，其數目為：其中jgp(E,E)是單位輻射長度內，能量為E的光子形成能量為EE+dE間隔內的電子的幾率。這一過程可能是由于電子對產生過程，或是由于Compton效應而發生，因此有其中jcom(E,E)是單位輻射長度內，能量為E的光子產生能量為E的次級電子的對產生過程的微分幾率。由于在每個對產生過程中會產生兩個電子，因此在jpair之前有一個因子2。jcom(E,E-E)是單位輻射長度內，能量為E的光子發生Compton散射，形成具有能量(E-E)的散射光子的幾率，其中E為反沖電子的能量。具有能量為E( EE)的電子，由于輻射損失和碰撞過程（電離損失）而產生一定數目的能量處于EE+dE間隔內的電子數目為：其中jpp(E,E)是單位輻射長度內，能量為E的電子產生能量為EE+dE間隔內的電子的幾率。這一過程可能是由于輻射過程，在該過程中電子損失能量(E-E)。或是由于碰撞過程，在該過程中，兩個相撞電子之中一個以能量E離開碰撞點。因此有某些能量原來處于EE+dE間隔內的電子，由于輻射過程和碰撞過程而損失能量，結果這些電子的能量離開了EE+dE的間隔。這些電子的數目為：其中第一個積分代表輻射的貢獻，第二個積分代表碰撞過程的貢獻。綜上所述，可以求得電子數隨深度t變化的方程式為：3光子數的變化在深度t處原來處在EE+dE能量間隔內的光子數為g(E,t)。當輻射再穿過一無限薄的深度dt后，光子數將由于以下過程而變化：具有能量為E( EE)的電子，由于輻射過程而產生能量處于EE+dE間隔內一定數目的光子，其數目為： 其中jpg(E,E)代表每單位輻射長度內的能量為E的電子產生能量在EE+dE間隔內的光子的幾率，這只有輻射過程才能夠產生，因此有具有能量為E( EE)的光子，由于某種過程而產生能量處于EE+dE間隔內一定數目的光子，其數目為： 其中jgg(E,E)代表每單位輻射長度內的能量為E的光子產生能量在EE+dE間隔內的光子的幾率，這只有是由于Compton散射而產生，因此有某些能量原來處于EE+dE間隔內的光子，由于電子對產生和Compton散射而被吸收，其數目可以寫為：其中為每個輻射長度內產生電子對效應和Compton散射的總幾率。綜上所述，可以求得光子數隨深度t變化的方程式為：4擴散方程考慮到以上各種過程，可以得到電子數、光子數隨深度t變化的方程式為：對此方程組的求解過程可參閱B.Rossi的High-Energy Particles(1952)一書，這里直接給出方程組在A近似和B近似下的解。5擴散方程在A近似下的通解在A近似下，擴散方程的通解為：通解中常數a1與a2的確定假設一束電子和g光子入射到介質中，以p(E,0)dE代表t=0時能量處于EE+dE間隔內每秒入射的電子數，g(E,0)dE代表t=0時能量處于EE+dE間隔內每秒入射的光子數。則初始條件p(E,0)，g(E,0)可用具有相同冪指數的量來表示：代入擴散方程的通解，便可得到a1與a2。相應于各種s值的函數均有表可查，請參閱B.Rossi的High-Energy Particles(1952)一書第296頁。簇射年齡參數s的物理意義簇射年齡參數“s”反映了簇射發展的不同階段，由B.Rossi書296頁表可知：當s0. 簇射粒子數隨介質厚度t增加；s=1，l1=0. 簇射粒子數達到極大；s1，l10. 簇射粒子數隨介質厚度t減少；s，l1=-m0=-0.7736在A近似下，擴散方程在單電子或單光子入射情況下的解能量為E0的單電子入射時微分譜：函數最大值及相應最佳厚度：能量為E0的單電子入射時的積分譜函數最大值及相應最佳厚度：能量為E0的單光子入射時的微分譜函數最大值及相應最佳厚度：能量為E0的單光子入射時的積分譜函數最大值及相應最佳厚度：相應于各種s值的函數均有表可查，請參閱B.Rossi的High-Energy Particles(1952)一書第296297頁。7在B近似下，擴散方程在單電子或單光子入射情況下的積分解能量為E0的單電子入射時的積分譜能量為E0的單光子入射時的積分譜其中e0為臨界能量；而在上式中，為gamma函數，其值為：sD(s)01.0000.51.8050.72.020.82.111.02.291.12.381.22.461.42.651.62.831.83.062.03.32函數p(s,e)的表達式為：其中f(l)函數的表達式為：， D=0.7733上式中大括號中的部分在l=l1(s)或s=s1(l)的情況下取值。8簇射粒子的橫向擴展上述對簇射的描述是一維的，它只考慮了簇射的縱向發展。然而，通過對廣延大氣簇射的研究，和乳膠室的觀測已經證實，在電子簇射中粒子也產生橫向擴展。而且在某些情況下，簇射的橫向擴展在其發展過程中起相當重要的作用。有以下幾種原因，可以引起簇射粒子的橫向擴展：a) 在軔致輻射過程中的電子的發射角q；b) 在電子對產生過程中的電子的分離角(又稱開角，或發射角)q；c) 在電磁級聯簇射中產生的次級電子，在傳播過程中由于在介質中發生多次庫侖散射，而使電子偏離原來的方向。設能量為E的電子，在簇射中穿過的厚度為t（t=，以輻射長度為單位），若忽略電子的能量損失，則由于多次散射而引起的散射角的方均值為：= 其中Es=21MeV。電子穿過厚度為t的介質后，由輻射或對產生而引起的發射角或開角q相對于多次散射而引起的散射角的比值為： 因此，與多次散射角相比較，由于輻射或對產生而引起的發射角或開角的貢獻可以忽略（在電子簇射發展的剛開始階段不能忽略）。一個能量為臨界能量Ec的電子，若沿縱向穿過距離為一個輻射長度的介質，則其橫向擴展的距離為： 物理量rm稱為Moliere單位，又稱為特征長度，或散射長度，rm具有長度的量綱。對于空氣而言，在海平面，由于Ec=81MeV，X0=37.1g/cm2，電子的散射長度為：rm9.6 g/cm2，接近于0.26個輻射長度，水平距離接近于79米。由上述可見，在級聯簇射理論中，必須考慮簇射粒子的橫向擴展，只要把多次散射的貢獻包括進去，便可建立起令人滿意的三維級聯簇射理論。結構函數的數值計算為了描述電磁級聯簇射的三維發展情況，必須給出粒子離開簇射軸的距離，及其軌跡與簇射軸之間的夾角（這些坐