離散型人壽保險與生存年金的方差計算漆世雄 作者簡介：漆世雄（1958），男，湖南人，浙江財經學院金融學院副教授，碩士。 摘要：在保險精算的理論上，計算人壽保險與生存年金的躉繳凈保費的方差，通常需要借助被保險人的死亡概率密度函數。但在實際應用過程中，被保險人的死亡概率密度函數很難獲得。本文利用生命表編制計算方差的轉換函數，再利用轉換函數計算人身保險中人壽保險與生存年金的方差。 關鍵詞：人壽保險；生存年金；轉換函數；期望值；方差一、引言眾所周知，保險人開辦人壽保險業務，必然要承擔一定的風險。也就是說，保險人在收取保費的時刻，并不知道將來要支付的保險金是多少，因為投保人身保險的被保險人在保險期內是否死亡是隨機的，所以保險公司將來要支付的保險金也就成為一個隨機變量。衡量隨機變量的波動幅度和穩定性的指標是方差或標準差。方差越大，也就表明保險公司將來支付保險金的波動幅度就越大；方差越小，則說明穩定性越好。因此，通過計算保險金的方差來了解保險人開辦人身保險業務所承擔的風險，對保險人來說是十分必要的。如果事先能獲得被保險人的死亡概率密度函數，對于死亡即付的、終身壽險的保險金（稱之為連續型壽險），計算方差時可采用以下公式：但由于被保險人的死亡概率密度函數事先幾乎不可能獲得，所以以上公式很難在實際中被采用。由于這個原因，在保險精算的實際運用中，一般都是采用編制生命表的方法來計算凈保費的。本文所討論的內容，就是利用生命表來編制專門用于計算方差的轉換函數，再通過轉換函數計算離散型壽險和生存年金的方差。對于連續型壽險模型，只需要借助UDD 假設就可以了。而編制用于計算方差的轉換函數和專門用于計算方差的軟件，在計算機上利用辦公軟件是很容易實現的。二、 人壽保險與生存年金的方差計算原理與模型（一）人壽保險方差計算原理與模型 人壽保險又稱之為死亡保險，它只提供一個確定時期的保障，把被保險人在保險期內的死亡作為保險金給付條件，若被保險人在保險期滿依然存活，則沒有保險金給付。對于一個（x）投保定期n年、死亡年末給付1單位元的投保人，保險公司收取的躉繳凈保費為： （1）容易看出，以上公式的右邊正是一個隨機變量的數學期望。假設用T表示一個x歲的被保險人在簽單之后的死亡時間，用Z表示保險人為這個投保人將來所支付的保險金的現值，對于投保n年定期壽險的被保險人，T與Z之間的關系為： ， ；，當被保險人在簽單后的（x，x+1）之內死亡時，在x+1的整數年給付1單位元，這1單位元在簽單時（x歲）的現值為 ；當被保險人在簽單后的（x+1，x+2）之內死亡時，在x+2的整數年給付1單位元在簽單時（x歲）的現值為 ；當被保險人在簽單后的（x+n-1，x+n）之內死亡時，在x+n的整數年給付1單位元在簽單時（x歲）的現值為 ；當被保險人的存活年齡超過x+n歲，就停止給付。將隨機變量T和Z的取值及其相應的概率列表如下：T0T11T2n-2Tn-1n-1TnTnZvv 2v n-1v n0p顯然，以上的概率系列構成一個全概率空間： （2）所以有： （3）因此，我們可以采用以下公式來計算Z的方差： （4）在計算時只需采用目前通用的方法就可以了，現在只需要計算出公式中的值。為了保持符號的一致性，我們記：將分子和分母同乘： （5）為了簡化公式和方便計算，我們設置以下幾個新的轉換函數：，以上公式就可以簡化成： （7）由此而計算出壽險的方差：，或記做： （8）用同樣的推導過程，我們還可以得到終身壽險和延期壽險躉繳凈保費的方差： （9） （10）對于給定的死亡率，利用計算機軟件，我們可以非常容易地制作以上這些轉換函數計算表，例如，對于“中國人壽保險業經驗生命表（1990-1993）”中給出的男女混合死亡率，利用計算機軟件編制的用于計算方差的轉換函數表如下：中國人壽保險業經驗生命表（1990-1993）換算表（男女混合，局部） 利率：6%年齡（x）2Dx2Nx2Sx2Cx2Mx2Rx01000000.009007347.0681246738.352588.99969159.757069916.60791887407.448007347.0672239391.281592.21566570.757460756.85082788197.257119939.6264232044.221031.19434978.541854186.09343700461.556331742.3857112104.60694.47683947.347549207.55164622713.815631280.8350780362.22483.27383252.870745260.20415553729.805008567.0245149081.40345.95792769.596942007.33356492471.594454837.2240140514.38253.77452423.638939237.73667438044.193962365.6335685677.16190.64042169.864436814.09768389667.133524321.4431723311.53146.00381979.224034644.23329346656.353134654.3128198990.10115.38761833.220232665.009310308407.532787997.9525064335.7994.97061717.832630831.789111274386.642479590.4222276337.8482.78491622.862029113.956512244120.342205203.7919796747.4177.34681540.077127491.094513217188.891961083.4417591543.6376.54571462.730325951.017414193220.791743894.5515630460.1978.58841386.184624488.287015171887.231550673.7613886565.6380.92591307.596223102.102516152898.101378786.5312335891.8881.91941226.670321794.506317135996.841225888.4310957105.3581.09461144.750920567.836018120955.611089891.599731216.9277.93861063.656319423.085119107572.12968935.988641325.3372.9530985.717718359.42882095665.85861363.857672389.3566.2407912.764717373.71112185076.03765698.006811025.5059.3624846.524016460.94642275658.00680621.976045327.5052.5216787.161615614.42242367282.83604963.975364705.5345.9291734.640014827.26092459835.55537681.144759741.5640.0466688.710914092.62092553213.38477845.594222060.4234.9515648.664313403.9100 （二）生存年金的方差計算原理與模型生存年金是指以年金保險的被保險人的生存為條件，在保險有效期內按照年金方式支付保險金的保險。與人壽保險相同，用T表示一個x歲的被保險人在簽單之后的死亡時間，用Y表示保險人為這個投保人將來所支付的保險金的現值，對于投保期首給付、終身生存年金的被保險人，T與Y之間的關系為： ，將隨機變量T和Y的取值及其相應的概率列表如下：T0T11T22T3-1TYp表中的概率系列構成全概率空間。所以有： （11） （12）所以： （13）對于每年期首末給付1單位元的n年定期生存年金，用同樣的推導過程可以得到其方差的計算公式為： （14）三、 應用舉例（一）壽險的方差計算對于一男一女兩個被保險人同為30歲、投保20年定期死亡年末給付的壽險，試采用“中國人壽保險業經驗生命表（1990-1993）”比較他們兩人壽險的風險大小。首先利用計算機軟件分別編制專用于計算方差的男性和女性轉換函數表和計算方差的軟件，然后分別計算他們的方差。應用公式（8），計算男性被保險人的躉繳凈保費方差為：應用公式（8），計算女性被保險人的躉繳凈保費方差為：計算結果表明，在相同壽險險種的情況下，女性被保險人的方差較小，說明保險人未來支付的保險金的穩定性較好，同時，收取的凈保費相對較少。考慮到兩者收取的凈保費（期望值）不同，分別計算兩者的標準差系數為：從保險金的離散程度來看，男性被保險人的離散程度相對較小。如果將以上壽險調整為死亡時即付，即連續型壽險，在UDD假設下，計算結果為：（二）生存年金的方差計算對于一男一女兩個被保險人同為30歲、投保期首付終身生存年金，試采用“中國人壽保險業經驗生命表（1990-1993）”比較他們兩人壽險的風險大小。解：應用公式（13），計算男性被保險人的躉繳凈保費方差為：凈保費為：應用公式（13），計算女性被保險人的躉繳凈保費方差為：凈保費為：計算結果表明，在相同生存年金的情況下，女性被保險人的方差比男性稍大。這個結果與壽險的情況不同，說明生存保險和死亡保險對于保險人的風險是不同的。在以上的計算結果中，導致男女性別的差異使得保險人承擔的風險不同的原因，是因為在生命表中，兩種性別被保險人的存活概率的不同，在所有的年齡段上，女性存活概率都要大于男性。四、結束語本文探討了借助與生命表、采用計算離散型壽險和生存年金的方法，通過編制專用的轉換函數來計算壽險和生存年金的方差，從而避開了難以獲得的被保險人的死亡概率密度函數，使得方差的計算簡便易行，具有實際意義。參考文獻1李秀芳 、曾慶五：保險精算, 中國金融出版社,2005年3月。2王曉軍、江星、劉文清：保險精算學, 中國人民大學出版社,1995年 12月。3范克新：保險精算學教程， 南京大學出版社,2003年3月。4李曉林：一元生命保險與年金, 經濟科學出版社, 2001。5蔣勝, 李伯經：“老人精算中服務表的構造”，精算通訊, 2000年第2 期。4王曉軍：“企業養老金計劃精算模型”,統計研究，1996年第2期。6高建偉、 邱菀華：“現收現付制與部分積累制的繳費率模型”,中國管理科 學，2002年第4期。7Bellhouse, D. R. and H. H. Panjer，1981，“Stochast ic modeling of interest rates w ith app licat iopns to life cont ingencies2Part II”, J ou rnal o