第一講 橢圓一、考情分析解析幾何是用代數的方法解決幾何問題，體現了形數結合的思想，因而這一部分的題目的綜合性比較強，它要求學生既能分析圖形，又能靈活地進行各種代數式和三角函數式的變形，這對學生能力的要求較高“圓錐曲線”是解析幾何的重點內容，特別是在對學生掌握坐標法的訓練方面有著不可替代的作用本講主要是調動學生學習的主動性，注意交代知識的來龍去脈，教給學生解決問題的思路，幫助考生培養分析、抽象和概括等思維能力，掌握形數結合、函數與方程、化歸與轉化等數學思想，培養良好的個性品質，以及勇于探索、敢于創新的精神二、知識歸納（一）橢圓的定義（1）第一定義：平面內與兩個定點的距離之和等于常數的點的軌跡叫作橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距特征式：注：若，則點的軌跡是線段的垂直平分線；若，則這樣的點不存在（2）第二定義：一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數，那么這個點的軌跡叫做橢圓其中定點叫做焦點，定直線叫做準線，常數就是離心率特征式：（二）橢圓的方程（1）橢圓的標準式方程：；（焦點在軸的平行線上，中心在的橢圓方程）（焦點在軸的平行線上，中心在的橢圓方程）（2）橢圓的參數方程：；注：角不是（3）橢圓的向量式方程：（三）性質：對于橢圓而言，范圍：，橢圓落在組成的矩形中對稱性：圖象既關于軸對稱，又關于軸對稱，也關于原點對稱原點叫橢圓的對稱中心，簡稱中心軸、軸叫橢圓的對稱軸頂點：橢圓和對稱軸的交點叫做橢圓的頂點，；加兩焦點共有六個特殊點叫橢圓的長軸，叫橢圓的短軸，長分別為分別為橢圓的長半軸長和短半軸長離心率：橢圓焦距與長軸長之比注：橢圓形狀與的關系：，橢圓變圓，直至成為極限位置的圓，此時也可認為圓為橢圓在時的特例；，橢圓變扁，直至成為極限位置線段，此時也可認為圓為橢圓在時的特例橢圓的準線方程：對于，左準線；右準線；對于，下準線；上準線焦準距：焦點到準線的距離（焦參數）通徑：經過焦點且垂直于長軸的弦稱之為通徑，長度為 焦半徑公式：焦點在軸上的橢圓的焦半徑公式： （左焦半徑）；（右焦半徑）；焦點在y軸上的橢圓的焦半徑公式：（下焦半徑）；（上焦半徑）；（規律：左加右減，上減下加）焦點三角形：曲線上的點與焦點連線構成的三角形稱焦點三角形；（如何證明？）（四）橢圓系方程（焦點在軸的上，中心在原點）（1）共焦點的橢圓系：注：若，則表示共焦點的雙曲線系（2）離心率相同的橢圓系：注：若，則表示共漸進線的雙曲線系三、精典例析（一）活用定義例1：橢圓上有一點它到橢圓的左準線距離為10，求點到橢圓的右焦點的距離解析：橢圓的離心率為，根據橢圓的第二定義得，點到橢圓的左焦點距離為：；再根據橢圓的第一定義得，點到橢圓的右焦點的距離為20812 例2：方程表示什么曲線？解析：設，則原方程等價于：，即：到定點的距離與它到定直線的距離之比為，故原方程表示以定點為焦點，以定直線為準線的橢圓例3：定點是的焦點，是曲線上的動點DP（1）求的范圍；P1AH（2）求的最小值P212解析：是的焦點，（1）（2）引申：也適用于雙曲線、拋物線例4：求過定點，以軸為準線、離心率為的橢圓的左頂點的軌跡方程解析：設，則：，且，故橢圓的左頂點的軌跡方程是（二）焦半徑公式例5：橢圓，其上一點到兩焦點的距離分別是6.5和3.5，求橢圓方程解析：由橢圓的焦半徑公式，得：，解得： 故所求橢圓方程為：例6：已知為橢圓上的點，且與的連線互相垂直，求解析：由題意，得：64，的坐標為例7：橢圓上能否找到一點，使得到左準線的距離是它到兩個焦點的距離的等比中項？ 解析：橢圓的左準線是，若存在，設，則：或，故不存在符合條件的點例8：設是以為中心的橢圓上任意一點，為右焦點，求證：以線段為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓內切解析：設橢圓方程為，焦半徑是圓的直徑，則：，兩圓半徑之差等于圓心距故以線段為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓內切（三）焦點三角形P曲線上的點與焦點連線構成的三角形稱焦點三角形，與曲線三角形有關的問題常常借助正（余）弦定理，借助比例性質進行處理例9：證明：橢圓的焦點三角形中，解析：在中，；在中，例10：已知橢圓的焦點是，為橢圓上一點，且是和的等差中項（1）求橢圓的方程；（2）若點在第三象限，且，求12P解析：（1）是和的等差中項， 橢圓的方程為（）設，則， ，故，（四）對稱問題例11：在直線任取一點，過且以的焦點為焦點作橢圓，問在何處時，所作橢圓的長軸長最短？并求出此橢圓/2解析：法1：待求橢圓的，其焦點在直線的同側，關于直線的對稱點為，則待求橢圓的長軸長為：，12為直線與的焦點時，所作橢圓的長軸長最短；，此時，故待求橢圓為：法2：設待求橢圓為：，則與橢圓相切于點時，橢圓的長軸長最短， ，與橢圓相切，又，故待求橢圓為：，此時，即例12：已知橢圓上有兩個不同的點關于直線對稱，求的取值范圍解析：法1：點關于直線對稱，設，則：，；的中點在直線上，；故的取值范圍是法2：設，的中點，則：，的中點在上，則：，的中點在橢圓內，故的取值范圍是（五）范圍（最值）問題例13：已知橢圓與軸的正半軸交于，是原點，若橢圓上存在一點，使，求橢圓離心率的取值范圍解析：，設， ，故例14：已知是橢圓的上頂點，是橢圓上的動點，求的最大值解析：設，則：（1）若時，；（2）若時，綜上，若時，；若時，（六）直線與橢圓相交問題例15：橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點的準線與軸相交于點A，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點 （1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線PQ的方程；（3）設，過點且平行于準線的直線與橢圓相交于另一點M，證明：解析：（1）設橢圓的方程為，則：，故橢圓的方程為，離心率（2）解：，設直線PQ的方程為，則： ，；又 ，故直線PQ的方程為或 （3）證明：由已知得方程組 ，例16：橢圓E的中心在原點O，焦點在軸上，離心率，過點的直線交橢圓于A、B兩點，且滿足（1）若為常數，試用直線的斜率表示三角形的面積；（2）若為常數，當三角形的面積取得最大值時，求橢圓E的方程解析：設橢圓方程為：，故橢圓方程為： （1）直線交橢圓于，則： ，且； ；， ；，由知：，（2），當且僅當時，即時，S取得最大值當時，代入中，得：，故所求為（七）定點（值）問題例17：已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓與直線相交于A、B兩點，且滿足（為坐標原點）證明：滿足上述條件的橢圓