課時訓練課時訓練 13 對數與對數函數對數與對數函數 說明 本試卷滿分 100 分 考試時間 90 分鐘 一 選擇題 每小題 6 分 共 42 分 1 已知 log7 log3 log2x 0 那么 2 1 x等于 A 3 1 B 32 1 C 22 1 D 33 1 答案 答案 C 解析 解析 log7 log3 log2x 0 log3 log2x 1 log2x 3 x 23 8 22 1 8 2 1 2 1 x 2 若 2 5x 1 000 0 25 y 1 000 那么 yx 11 等于 A 2 1 B 3 1 C 4 1 D 5 1 答案 答案 B 解析 解析 2 5x 1 000 x lg2 5 3 3 11 x lg2 5 同理 3 11 y lg0 25 3 111 yx lg2 5 lg0 25 3 1 13lg10 3 1 3 函數 f x 1 log 2 2 1 x的定義域是 A 2 1 1 2 B 2 1 1 2 C 2 1 1 2 D 2 1 1 2 答案 答案 A 解析 解析 由 2 1 log x2 1 0 得 0 x2 1 1 1 x2 2 2 x 1 或 1 x 2 4 若 1 a0 時 y loga x 2 1 logaa 1 0 故不經過第四象限 5 2010 北京西城區一模 4 若函數 f x 1 0 4 0 1 4 1 x x x x 則 f log43 等于 A 3 1 B 3 C 4 1 D 4 答案 答案 B 解析 解析 log43 0 1 f x 4log43 3 故選 B 6 當 a 1 在同一坐標系中 函數 y a x和 y logax 的圖象是 答案 答案 A 解析 解析 a 1 0 a 1 1 y1 1 x2在 1 遞減 y2 2 1 log x 1 在 1 上遞減 f x 在 1 上是減函數 且 f x 無最值 二 填空題 每小題 5 分 共 15 分 8 設方程 lg2x lg2 lg3 lgx lg2 lg3 0 的兩根為 x1 x2 那么 x1 x2的值是 答案 答案 6 1 解析 解析 lgx1 lgx2 lg2 lg3 lgx1x2 lg6 x1 x2 6 1 9 函數 f x 3 1 log x2 5x 6 的單調遞減區間為 答案 答案 6 解析 解析 y 3 1 logt 遞減 即求 t x2 5x 6 的遞增區間且 t 0 故 f x 的遞減區間為 6 10 關于函數 f x lg 1 2 x x x 0 x R 有下列命題 其中正確命題的序號是 把 你認為都正確的序號都填上 函數 y f x 的圖象關于 y 軸對稱 當 x 0 時 f x 是增函數 當 x 0 時 f x 是減函 數 函數 f x 的最小值是 lg2 當 1 x1 時 f x 是增函數 答案 答案 解析 解析 設 t 1 2 x x 則 t 2 x x 2 f x lg2 易證函數 t 1 2 x x 為偶函數 且 x 0 t x x 1 在 0 1 上遞減 1 遞增 故 f x 在 1 0 或 1 遞增 三 解答題 11 13 題每小題 10 分 14 題 13 分 共 43 分 11 設函數 f x loga 1 x a 其中 0 a1 1 證明 證明 任取 x1 x2 a 且 x1 x2 則 f x1 f x2 loga 1 1 x a loga 1 2 x a loga 21 12 axx axx 21 12 axx axx 1 21 21 21 2112 axx xxa axx axxaxx 0 a 1 a x10 且 21 12 axx axx 1 0 即 0 21 12 axx axx 0 f x1 f x2 f x 是 a 上的減函數 2 解析 解析 解法一 0 a1 loga 1 x a logaa 2 1 1 01 a x a x a 解不等式 得 x a 或 x 0 解不等式 得 0 x a a 1 0 a 1 a a a 1 原不等式解集為 x a xa 或 x 0 0 a 1 當 x1 f x loga 1 x a a 時 解方程 f x 1 得 x a a 1 由 1 知 f x 是 a 上的減函數 f x 1 時 x a a 1 a a a 1 原不等式解集為 x a x 3 4 2 設 A x1 y1 B x2 y2 是 f x 的圖象上任意兩點 求證 直線 AB 的斜率大于零 證明 證明 1 先求 f x 的定義域 由 ln ex e 1 0 得 ex e 1 1 即 ex e 1 1 x ln e 1 1 求得 f x 的定義域為 ln e 1 1 由于 ln ex e 1 及 ex都是增函數 故 f x 在定義域內是增函數 f x f ln e 1 1 e 1 1 3 4 1 3 1 1 71828 2 1 L f x 3 4 2 設 ln e 1 1 x1 x2 y f x 在定義域內是增函數 y10 14 是否存在實數 a 使得 f x loga ax x 在 2 4 上是增函數 若存在 求出 a 的取值 范圍 解析 解析 設 t x 由 ax x 0 at2 t 0 即 at t a 1 0 a 0 t 0 t a 1 時原式有意義 又 u t at2 t a t a2 1 2 a4 1 t a 1 是以 t a2 1 為對稱軸的拋物線 且 t a 1 a2 1 即定義區間 a 1 在對稱軸 t a2 1 的右側 故 u t 在定義區間上單調遞增 要使原函數在 2 4 上單調遞增 應滿足 a 1 且 a 1 2 解得 a 1 存在實數 a 只需 a 1 即可滿足要求 輕松閱讀輕松閱讀 放大你的優點放大你的優點 一個窮困潦倒的青年 流浪到巴黎 期望父親的朋友能幫自己找一份謀生的差事 數學精通嗎 父親的朋友問他 青年羞澀地搖頭 歷史 地理怎么樣 青年還是 不好意思地搖頭 那法律呢 青年窘迫地垂下頭 會計怎么樣 父親的朋友接連地發問 青年都只能搖頭告訴對方 自己似乎一無所長 連絲毫的優 點也找不出來 那你先把自己的住址寫下來吧 我總得幫你找一份事做呀 青年羞愧地寫下了自己 的地址 急忙轉身要走 卻被父親的朋友一把拉住了 年輕人 你的名字寫得很漂亮嘛 這就是你的優點啊 你不該只滿足找一份糊口的工作 把名字寫好也算一個優點 青年在 對方眼里看到了肯定的答案 數年后 青年果然寫出享譽世界的經典作品 他就是家喻戶曉的 法國 18 世紀著名作家大仲馬 世間許多平凡之輩 都擁著一些諸如 能把名字寫好 這類小小的優點 但由于自卑等 原因常常