數學吧精品帖 數學吧精品帖 之之 數列專題數列專題 作者 數學戰士 編輯 Dether PartPartPartPart 1 1 1 1 1 1 vaua nn 1 這類題目一般是令vuxx 解出ax 則 aan 是公比為u的等比數列 2 2 nnn avaua 12 這類題目一般是令vuxx 2 解出 21 x xx 則 當 21 xx 時 nn n xbxaa 21 其中ba 為待定系數 可根據初始值 21 a a求出 當 21 xx 時 n n xbnaa 1 其中ba 為待定系數 可根據初始值 21 a a求出 3 3 tar vau a n n n 1 這類題目一般是令 trx vux x 解出 21 x xx 則 當 21 xx 時 2 1 xa xa n n 為等比數列 當 21 xx 時 1 1 xan 為等差數列 4 4 tar savau a n nn n 2 1 這類題目一般是令 trx svxux x 2 解出 21 x xx 然后計算 21 11 xa xa n n 看其是否等于 2 1 xa xa n n 的平方 5 5 n n n n a aba a 2 1 2 這類題目一般是由 n nnn abaaa 2 12 得 2 12 2 213 nnnnnn aaabaaa 從而 1 2 2 13 n nn n nn a aba a aba 即 1 2 n nn a aba 為常數列 等于 2 13 a aba 因此可化為第 2 種類型 6 6 2 2 1 nn aa 當 1 a絕對值不大于2時 令 2 arccos 1 a 用歸納法可證 2cos 2 1 n n a 當 1 a絕對值大于2時 令 t ta 1 1 用歸納法可證 1 2 1 2 1 n t ta n n 7 7 nn aa 2 1 當 1 a絕對值不大于2時 令 2 arccos 1 a 用歸納法可證 2 cos 2 1 n n a 當 1 a大于2時 令 t ta 1 1 用歸納法可證 1 1 2 1 2 1 1 n n t tan 8 8 cabaaa nnn 2 1 這類題目一般是配方 可化為 2 1 2 2baabaa nn 9 9 b n a nn aaa 12 這類題目一般是取對數 化為第 2 種類型 1010 上面方法無法奏效時 應先算前幾項 歸納出通項 然后用數學歸納法證明 PartPartPartPart 2 2 2 2 第2 2種類型的擴展 nmmnmnmn auauaua 2211 若 m mmm uxuxux 2 2 1 1 有m個 兩 兩 不 等 的 根 m xxx 21 則 n mm nn n xvxvxva 2211 更重要的是 上述命題的逆命題成立 即 若 n mm nn n xvxvxva 2211 m xxx 21 為 m mmm uxuxux 2 2 1 1 的m個根 則 nmmnmnmn auauaua 2211 上面的逆命題有極其廣泛的應用 證明極其簡單 將通項代入即可 而且 m xxx 21 允許 重復 高中聯賽二試中出現的許多題目可以用它解決 如 06 年第 3 題 00 年第 2 題 下面對逆命題的應用作簡單介紹 PartPartPartPart 3 3 3 3 1 1 1 1 為完全平方數 求證 nnnn aaaaaa4 1 614 2112 11 2 12 347 347 347 347114 14 2 1 nn n nnnnn bab xx bbbab 因此 有兩根由于 則令 證明 注 此處不設n次方 而設1 n次方 是為了便于解方程組 2 1 347 4 1 347 4 1 4 1 11 21 nn n a babb 從而 解得由 下面為證明 n a為完全平方數 自然想到配方 證畢 且 提到的逆命題知則由令 2 1 4 2 2 32 2 32 2 32 2 32 2112 11 2 11 ccccc partc nnn nn n nn 注 上面的證明中 即使你不知道 2 32 347 也不要緊 直接用347 代替 32 對證明沒有任何影響 2 2 2 2 zyxzyxzyxzyx 3 555333 求設 1 1 0133 0133 1 3 3833 33 29 33 29 3 3299 33 3 29 93 2923 03 2 3 0 323 23 53 0123 2 2345 1234 2 2310 123 23 zyxtttt tttzyxc babca c bbacabaa bcbcbbaca baa cbbacabaa bbaaaaa acabaa partzyxa abt c attx y z c b xyzzxyza xyzyx nnnn nnn n 知從而由 的三個根 為方程即從而 得 代入得于是由 又 從而 又易知 提到的逆命題知 則由定義數列 解 3 3 3 3 為正整數對任意正整數 的三個根 求證 為 ac ac cb cb ba ba n xxxcba nnnnnn 01 23 故得證 由韋達定理得出又 提到的逆命題知 由 定義 證明 2 2 3 3 2 11 11 11 210 123 cbaaaa aaaapart c cbac b bacb a acba ac ac cb cb ba ba a nnnn nnn nnnnnn n 4 4 為完全平方數 求證 nnnnn a a aa aaaaa 24321134 421 2 51 2 51 0 1 1 1 2234 ii xxxxxx 所以四根為 可分解為由于 證明 下面仿 3 樓可證 但計算量要比 3