20.5 等腰梯形的判定a卷一、選擇題 1下列結論中，正確的是（ ） a等腰梯形的兩個底角相等 b兩個底角相等的梯形是等腰梯形 c一組對邊平行的四邊形是梯形 d兩條腰相等的梯形是等腰梯形2如圖所示，等腰梯形abcd的對角線ac，bd相交于點o，則圖中全等三角形有（ ）a2對 b3對 c4對 d5對 3課外活動課上，老師讓同學們制作了一個對角線互相垂直的等腰梯形形狀的風箏，其面積為450cm，則兩條對角線所用的竹條長度之和至少為（ ） a30cm b30cm c60cm d60cm 二、填空題 4等腰梯形上底，下底和腰分別為4，10，5，則梯形的高為_，對角線為_ 5一個等腰梯形的上底長為5cm，下底長為12cm，一個底角為60，則它的腰長為_cm，周長為_cm 6在四邊形abcd中，adbc，但adbc，若使它成為等腰梯形，則需要添加的條件是_（填一個正確的條件即可） 三、解答題7如圖所示，ad是bac的平分線，deab，de=ac，adec求證：四邊形adce是等腰梯形 四、思考題8如圖所示，四邊形abcd中，有ab=dc，b=c，且adbc，四邊形abcd是等腰梯形嗎？為什么？參考答案 一、1d 點撥：梯形的底角分為上底上的角和下底上的角，因此在等腰梯形的性質和判別方法中必須強調同一底上的兩個內角（指上底上的兩個內角或下底上的兩個內角），否則就會出現錯誤，因此a，b選項都不正確，而c選項中漏掉了限制條件另外一組對邊不平行，若平行該四邊形就形成了平行四邊形了，因此應選d2b 點撥：因為abcdcb，badcda，aobdoc，所以共有3對全等的三角形3c 點撥：設該等腰梯形對角線長為lcm，因為兩條對角線互相垂直，所以梯形面積為l2=450，解得l=30，所以所用竹條長度之和至少為2l=230=60（cm）二、44： 點撥：如圖所示，連結bd，過a，d分別作aebc，dfbc，垂足分別為e，f易知baecdf，在四邊形aefd為矩形，所以be=cf=3，ad=ef=4在rtcdf中，fc2+df2=cd2，即32+df2=52，所以df=4，在rtbfd中，bf2+df2=bd2，即72+42=bd2，所以bd=57；31 點撥：如圖所示，過點d作deab交bc于e因為adbc，abde，所以四邊形abed是平行四邊形所以be=ad=5（cm），ab=de又因為ab=cd，所以de=dc，又因為c=60，所以dec是等邊三角形，所以de=dc=ec=7（cm），所以周長為5+12+7+7=31（cm） 6ab=cd（或a=d，或b=c，或ac=bd，或a+c=180，或b+d=180）三、7證明：因為abed，所以bad=ade又因為ad是bac的平分線，所以bad=cad，所以cad=ade，所以oa=od又因為ac=de，所以ac-oa=de-od即oc=oe，所以oce=oec，又因為aod=coe，所以cad=oce所以adce，而adce，故四邊形adce是梯形又因為cad=ade，ad=da，ac=de，所以dacade，所以dc=ae，所以四邊形adce是等腰梯形 點撥：證明一個四邊形是等腰梯形時，應先證其是梯形而后再證兩腰相等或同一底上的兩個角相等四、8解：四邊形abcd是等腰梯形理由：延長ba，cd，相交于點e，如圖所示，由b=c，可得eb=ec又ab=dc，所以eb-ab=ec-dc，即ae=de，所以ead=eda因為e+ead+eda=180，e+b+c=180，所以ead=b故adbc又adbc，所以四邊形abcd是梯形又ab=dc，所以四邊形abcd是等腰梯形 點撥：由題意可知，只要推出adbc，再由adbc就可知四邊形abcd為梯形，再由ab=dc，即可求得此四邊形是等腰梯形，由b=c聯想到延長ba，cd，即可得到等腰三角形，從而使adbc20.5 等腰梯形的判定b卷 一、七彩題1（一題多解題）如圖所示，等腰梯形abcd中，adbc，ab=cd=12cm，上底ad=15cm，bad=120，求下底bc的長 二、知識交叉題2（科內交叉題）如圖所示，在矩形abcd中，ac，bd相交于點o，e，f分別是oa，od的中點，且efad，試判斷四邊形ebcf的形狀，并說明你的理由 三、實際應用題3如圖所示，小軍將兩根長度相等的木條ac，bd交叉擺放，并使木條ac，bd分別與水平線所成的夾角1，2相等，然后在交點o處釘一個釘子固定，oaad，將紙片沿過點d的直線折疊，使點a落在邊cd上的點e，折痕為df，連結ef并展開紙片 （1）求證：四邊形adef是正方形；（2）取線段af的中點g，連結eg，結果bg=cd，試說明四邊形gbce是等腰梯形 五、探究學習篇1（翻折變換題）如圖20-5-8所示，等腰梯形abcd中，adbc，dbc=45，翻折梯形abcd，使點b重合于點d，折痕分別交邊ab，bc于點f，e，若ad=2，bc=8，求be的長2如圖所示，在等腰梯形abcd中，adbc，m，n分別為ad，bc的中點，e，f分別是bm，cm的中點 （1）試說明abmdcm； （2）四邊形menf是什么圖形？請說明理由（3）若四邊形menf是正方形，則梯形的高與底邊bc的長有何數量關系？請說明理由 3閱讀：下面是某同學解一道有關等腰梯形的問題的過程已知：在四邊形abcd中，ab=dc，ac=bd，adbc試說明四邊形abcd是等腰梯形 解：過點d作deab，交bc于點e，如圖20-5-10所示則abe=1 因為ab=dc，ac=db，bc=cb ，所以abcdcb，所以abc=dcb ，所以1=dcb ，所以ab=dc=de ，所以四邊形abcd是平行四邊形 ，所以adbc 又因為adbc，所以四邊形abcd是梯形 因為ab=cd，所以四邊形abcd是等腰梯形 閱讀填空： （1）說明過程是否有錯誤？錯在第幾步？答：_ （2）有人認為第步是多余的，你認為呢？為什么？ 答：_（3）若題目中沒有adbc，那么四邊形abcd一定是等腰梯形嗎？為什么？答：_參考答案一、1解法一：如圖1所示，過a，d分別作aebc，dfbc，垂足分別為e，f，在梯形abcd中，因為adbc，所以b+bad=180，因為bad=120，所以b=60在rtabe中，bae=90-b=30，所以be=ab=6cm因為梯形abcd是等腰梯形，所以c=b=60，所以cf=cd=6cm因為四邊形aefd是矩形，所以ef=ad=15cm，所以bc=be+ef+cf=27cm 圖1 圖2 圖3解法二：如圖2所示，過a作aecd交bc于e點，因為adbc，所以四邊形aecd是平行四邊形所以ec=ad=15cm，ae=ce又因為adbc，所以b+bad=180，因為bad=120，所以b=60，因為ab=cd，所以ab=ae，所以abe是等邊三角形，所以be=ab=12cm，所以bc=be+ec=15+12=27（cm）解法三：如圖3所示，延長ba和cd交于點p，在梯形abcd中，ab=cd，所以b=c，因為adbc，所以pad=b，pda=c，bad+b=180因為bad=120，所以b=pad=c=pda=60，所以pad和pbc都是等邊三角形所以pa=ad=15cm，pb=pa+ab=12+15=27（cm），所以bc=pb=27cm 點撥：以上三種輔助線的方法在梯形中運用相當廣泛，通過它們把梯形的問題轉化為平行四邊形，三角形等的問題來解決，體現了“轉化”的數學思想二、2解：四邊形ebcf是等腰梯形理由如下：因為四邊形abcd是矩形，所以ac=bd，ad=bc又因為ao=oc，ob=od，所以oa=od=oc=ob又因為e，f分別是oa，od的中點，所以oe=of，所以oef=ofe因為ob=oc，所以obc=ocb又因為eof=boc，所以oef+ofe=obc+ocb，即2ofe=2obc，所以ofe=obc，所以efbc因為efad，所以efbc所以四邊形ebcf是梯形因為oe=of，ob=oc，eob=foc，所以oebofc，所以be=cf，所以四邊形ebcf是等腰梯形 點撥：本題是等腰梯形的判定與矩形的性質的知識交叉題要說明一個四邊形為等腰梯形，需先說明這個四邊形為梯形（這一條很容易被忽略），再說明這個梯形為等腰梯形三、3解：小軍得到的四邊形abcd是等腰梯形，理由如下：如圖所示，延長da，cb交于點e，因為ac=bd，1=2，cd=dc所以adcbcd（sas），所以ad=bc，adc=bcd所以ed=ec，所以ed-ad=ec-bc，即ea=eb所以3=4，因為3+4+e=180，adc+bcd+e=180，所以3=，adc=，所以3=adc所以abcd，又因為oaoc，故四邊形abcd必不為平行四邊形，所以四邊形abcd是等腰梯形 點撥：要想使四邊形abcd是等腰梯形，關鍵是求得abdc和ad=bc，可通過同位角相等和三角形全等分別求出四、4證明：如圖所示，（1）因為a=90，abdc，所以ade=90由沿df折疊后daf與def重合，知ad=de，def=90 所以四邊形adef是矩形，且鄰邊ad，de相等所以四邊形adef是正方形（2）因為cebg，且cebg，所以四邊形gbce是梯形，因為四邊形adef是正方形，所以ad=fe，a=gfe=90，又點g為af的中點，所以ag=fg，連結dg在agd與fge中，因為ad=fe，a=gfe，ag=fg，所以agdfge，所以dga=egb因為bg=cd，bgcd，所以四邊形bcdg是平行四邊形所以dgcd所以dga=b所以egb=b所以四邊形gbce是等腰梯形 五、探究學習1解：因為bfe與dfe關于ef對稱，所以bfedfe所以be=de又因為dbc=45，所以ebd=edb=45，所以bed=90過a作ahbc于h，如圖所示因為adbc，所以bed=ade=90又因為ahe=90，所以四邊形adeh是矩形所以ad=he，ah=de在rtabh和rtdce中，因為ab=dc，ah=de，所以rtabhrtdce，所以bh=ec所以ec=（bc-ad）=（8-2）=3，所以be=bc-ec=8-3=5 點撥：要求be的長，因為bc已知，只需求ec的長，由已知條件可得dec=90，故聯系梯形常作輔助線，易求ec的長2解：（1）因為四邊形abcd為等腰梯形，所以ab=cd，a=d因為m是ad的中點，所以am=dm，所以abmdcm（2）四邊形menf是菱形理由：由abmdcm，得mb=mc連結mn，因為n是bc的中點，所以mnbc，而e，f分別是mb，mc的中點，所以me=mb，mf=mc，ne=mb，nf=mc（直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半），所以me=mf=nf=ne