許昌縣一高（高三）第21次考試 數學（理科）試題 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1. 集合，則（ ）a b c d2設，則“”是“復數”為純虛數的（ ）a充分不必要條件b必要不充分條件c充分必要條件 d既不充分也不必要條件3. 在中，的面積為，則（ ）a b c d4. 已知，則下列不等式一定成立的是 （ ） a b c d5. 下列函數在上為減函數的是（ ）a b c d 6. 將函數的圖象周期縮小到原來的一半，再向左平移個單位，所得到的函數圖象關于軸對稱，則的一個可能取值為（ ）a b c d7. 變量、滿足條件 ，則的最小值為（ ）a b c d8. 給出下列關于互不相同的直線、和平面、的四個命題： 若，點，則與不共面； 若、是異面直線，且，則； 若，則； 若，則. 其中為真命題的是（ ）a b c d 9. 如圖， 為等腰直角三角形，為斜邊的高，為線段的中點，則=（ ）a b c d10. 已知拋物線：的焦點為，準線為，是上一點，是直線與 的一個交點，若，則=（ ）a b c d 11過雙曲線的左焦點，作圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點，若，則雙曲線的離心率為（ ）a b c d12. 設，若函數在區間上有三個零點，則實數的取值范圍是（ ）a b c d 第卷 （非選擇題, 共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在答題卡相應的位置上）13設 (其中e為自然對數的底數)，則的值為 _ 14.已知點的距離相等，則的最小值為 . 15在三棱柱中，側棱垂直于底面，且三棱柱的體積為3，則三棱柱的外接球的表面積為 16給出下列命題：.命題“若方程有兩個實數根，則 ”的逆否命題是真命題；.“函數的最小正周期為”是“”的必要不充分條件；.函數的零點個數為； 冪函數的圖像恒過定點.“向量與的夾角是鈍角”的充分必要條件是“” ；.方程有三個實根. 其中正確命題的序號為_. 三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17（本小題滿分12分）已知公差不為0的等差數列的前項和為，且成等比數列。（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和.組距頻率0.0050.07575808590950.0201000.0400.060服務時間/小時o18（本小題滿分12分）某市規定，高中學生三年在校期間參加不少于小時的社區服務才合格教育部門在全市隨機抽取200位學生參加社區服務的數據，按時間段，（單位：小時）進行統計，其頻率分布直方圖如圖所示（1）求抽取的200位學生中，參加社區服務時間不少于90小時的學生人數，并估計從全市高中學生中任意選取一人，其參加社區服務時間不少于90小時的概率；abco（2）從全市高中學生（人數很多）中任意選取3位學生，記為3位學生中參加社區服務時間不少于90小時的人數試求隨機變量的分布列和數學期望.19（本小題滿分12分）如圖，在斜三棱柱中，是的中點，平面， （）求證：； （）求二面角的余弦值. 20. （本小題滿分12分）已知橢圓的右頂點、上頂點分別為坐標原點到直線的距離為且 （1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的左焦點的直線交橢圓于兩點，且該橢圓上存在點,使得四邊形圖形上的字母按此順序排列）恰好為平行四邊形，求直線的方程. 21、（本小題滿分12分）已知函數.（）求函數的單調區間；（）若對定義域內的任意恒成立，求實數的取值范圍；（）證明：對于任意不小于的正整數 ，不等式恒成立.請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.23.（本小題滿分12分）已知橢圓c的極坐標方程為，點f1、f2為其左，右焦點，直線的參數方程為( t為參數，tr) （）求直線和曲線c的普通方程； （）若點p為橢圓c上一動點，求點p到直線的距離的最大值.24（本小題滿分10分）設函數.（i）當，解不等式；（ii）若的解集為，求證：許昌縣一高 高三第21次考試 數 學 理科答案一、acddb bdcbb cb 二、; ; ; 三、17.解：（1）設公差為，則有，即或（舍），(2) ，18解：（1）根據題意，參加社區服務時間在時間段小時的學生人數為 （人），參加社區服務時間在時間段小時的學生人數為（人）所以抽取的200位學生中，參加社區服務時間不少于90小時的學生人數為人 所以從全市高中學生中任意選取一人，其參加社區服務時間不少于90小時的概率估計為 （2）由（）可知，從全市高中生中任意選取1人，其參加社區服務時間不少于90小時的概率為由已知得，隨機變量的可能取值為所以； ； 隨機變量的分布列為0123因為，所以19解：（）因為平面，所以.又，,所以平面，所以.因為，所以四邊形是菱形，所以，,所以平面，所以 （）以，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設是面的一個法向量，則，即，令，取.同理面的一個法向量為 因為.所以二面角的余弦值 20.（1）直線的方程為坐標原點到直線的距離為 又 解得 故橢圓的方程為 (2)由（1）可求得橢圓的左焦點為 易知直線的斜率不為0,故可設直線點因為四邊形為平行四邊形，所以 聯立 ,因為點在橢圓上，所以 那么直線的方程為 21、解： 。（）當時，若，則，若，則，故此時函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是；當時，的變化情況如下表：單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是；當時，函數的單調遞增區間是；當時，同可得，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是 4分（）由于，顯然當時，此時對定義域每的任意不是恒成立的，當時，根據（1），函數在區間的極小值、也是最小值即是，此時只要即可，解得，故