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第一節可測函數及其性質 第四章可測函數 三 可測函數的性質 一 可測函數定義 二 可測函數的等價描述 四 可測函數與零集的關系 五 可測函數與簡單函數的關系 一 可測函數定義 定義1 設f x 是可測集E上的實函數 可取 若可測 則稱f x 是E上的可測函數 例 1 零集上的任何函數都是可測函數 例 2 簡單函數是可測函數 注 0 1 上的Dirichlet函數是簡單函數 例 3 可測集E上的連續函數f x 必為可測函數 對比 設f x 為 a b 上有限實函數 設f x 為E上有限實函數 稱f x 在處連續 結論 可測集E上的連續函數f x 定為可測函數 證明 任取x E f a 則f x a 由連續性假設知 則G為開集 為可測集 且 二 可測函數的等價描述 證明 定理1設f x 是可測集E上的實函數 下列任一條件都是f x 在E上可測的充要條件 三 可測函數的性質 定理1 可測函數關于子集 并集的性質 反之 若 f x 在En上是可測函數 則f x 在E上也是可測函數 即 若f x 是E上的可測函數 可測 則f x 在E1上也是可測函數 即 若f x g x 是E上的可測函數 則對任意的有限實數 f x f x g x f x g x 1 f x f x g x f x g x f x 仍為E上的可測函數 定理2 可測函數類關于四則運算封閉 定理3 可測函數類關于確界運算和極限運算封閉 推論 特別當極限存在時 它也是可測函數 可測函數列的極限函數仍為可測函數 連續函數列的極限函數不一定為連續函數 即若fn x 是E上的可測函數 則下列函數仍為E上的可測函數 例 R1上的可微函數f x 的導函數f x 是可測函數 利用了可測函數列的極限函數仍為可測函數 從而f x 是一列連續函數 當然是可測函數 的極限 故f x 是可測函數 證明 由于 94頁第2題設 fn 是可測函數列 則它的收斂點全體和發散點全體是可測集 證明 發散點全體為收斂點全體為 再 1 幾乎處處成立 四 可測函數與零集的關系 例1 例2 注 在一零測度集上改變函數的取值不影響函數的可測性 證明 令E1 E f g E2 E f g 則mE1 0從而g x 在E1上可測 定理 設f x g x a e 于E f x 在E上可測 則g x 在E上也可測 另外f x 在E2上可測 從而g x 在E2上也可測 進一步g x 在E E1 E2上也可測 2 函數可測性與零集的關系 注 當f x 是有界函數時 上述收斂可做到一致收斂

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