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一、問題的提出,二、對坐標的曲線積分的概念,三、對坐標的曲線積分的計算,四、小結,第三節 對坐標的曲線積分(第二類 曲線積分),一、問題的提出,實例: 變力沿曲線所作的功,常力所作的功,分割,求和,取極限,近似值,精確值,二、對坐標的曲線積分的概念,1.定義,類似地定義,2.存在條件：,3.組合形式,4.推廣,5.性質,即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關.,三、對坐標的曲線積分的計算,定理,特殊情形,例1,解,例2,解,注：被積函數相同，起點和終點也相同，但路徑不同積分結果不同.,例3,解,注：被積函數相同，起點和終點也相同，但路徑不同而積分結果相同.,例4、計算,為：,，,t從0變到1的一段弧。,，,例5、計算,為：,與,的交線。,四、 兩類曲線積分之間的聯系：,（可以推廣到空間曲線上 ）,可用向量表示,有向曲線元；,例、把,化為對弧長的曲線積分，其中,為沿拋物線,從,到,的一段弧。,例、計算,，其中,1)沿曲線,從,到,2)沿從,經,到,為,的一段弧。,的折線段。,例、計算,，其中,為：從,沿曲線,到,。,四、小結,1、對坐標曲線積分的概念,2、對坐標曲線積分的計算,3、兩類曲線積分之間的聯系,思考題,思考題解答,曲

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