第九章 統計、概率 第一節 抽樣方法,1.簡單隨機抽樣 (1)特點：逐個不放回地抽取；每個個體被抽到的機會 相等. (2)常用方法：_和_.,抽簽法,隨機數表法,2.系統抽樣 假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，系統抽樣的步 驟為： (1)采用隨機的方式將總體中的N個個體_. (2)將編號按間隔_分段，當 是整數時,k=_;當 不是整 數時,從總體中_,使剩下的總體中個體的個數N 能被n整除,這時取k=_,并將剩下的總體重新編號.,編號,k,剔除一些個體,(3)在第一段中用_確定起始的個體編號l. (4)按照一定的規則抽取樣本,通常將編號為l,_, _,_的個體抽出.,簡單隨機抽樣,l+k,l+2k,l+(n-1)k,3.分層抽樣,定義：將總體中的個體按_分成 _的幾部分,然后按各部分在 總體中_實施抽樣,這種抽樣方法 叫分層抽樣. 范圍：當總體由_組成 時，往往選用分層抽樣.,不同的特點,層次比較分明,所占的比,差異明顯的幾個部分,判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”). (1)簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣.( ) (2)簡單隨機抽樣每個個體被抽到的機會不一樣，與先后順序有關.( ) (3)系統抽樣在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣.( ) (4)分層抽樣又稱為類型抽樣，即將相似的個體歸入一類(層)，然后每層各抽若干個個體構成樣本，所以分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，必須進行每層等可能抽樣.( ),【解析】由簡單隨機抽樣的特點知(1)正確. (2)錯誤.簡單隨機抽樣是等可能抽樣，即各個個體被抽到的機會相等，與先后順序無關. (3)正確.系統抽樣在起始部分抽樣時采用抽簽法或隨機數法. (4)錯誤.分層抽樣也叫按比例抽樣.在每層用同一抽樣比等可能抽樣. 答案：(1) (2) (3) (4),1.某學校進行問卷調查，將全校5 600名同學分為100組，每組56人按156隨機編號，每組的第18號同學參與調查，這種抽樣方法是_. 【解析】一般地，要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預先制定的規則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣的方法叫做系統抽樣. 答案:系統抽樣,2.某工廠生產A，B，C三種不同型號的產品，產品的數量之比依次為347，現在用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，樣本中A型號產品有15件，那么樣本容量n為_. 【解析】由分層抽樣方法得 15，解得n70. 答案:70,3.為規范學校辦學，省教育廳督察組對某所高中進行了抽樣調 查.抽到的班級一共有52名學生，現將該班學生隨機編號，用 系統抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知7號、33號、46 號同學在樣本中，那么樣本中還有一位同學的編號應是_. 【解析】由系統抽樣的原理知抽樣的間隔為 13，故抽取 的樣本的編號分別為7,713,7132,7133，即7號、 20號、33號、46號. 答案:20號,4.從總數為200的一批零件中抽取一個容量為n的樣本.若每個個體被抽取的可能性為0.1，則n=_. 【解析】 =0.1,n=20. 答案：20,5.為了了解1 206名學生對學校某項教改試驗的意見，打算從 中抽取一個容量為30的樣本，現采用選取的號碼間隔一樣的 系統抽樣方法來確定所選取的樣本，則抽樣間隔k=_. 【解析】由于1 20630的結果不是整數，因此先要剔除6個 個體，再利用系統抽樣，所以 答案：40,考向 1 簡單隨機抽樣 【典例1】(1)下列抽取樣本的方式是否屬于簡單隨機抽樣？ 從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本. 盒子里共有80個零件，從中選出5個零件進行質量檢驗.在抽樣操作時，從中任意拿出一個零件進行質量檢驗后再把它放回盒子里.,從20件玩具中一次性抽取3件進行質量檢驗. 某班有56名同學，指定個子最高的5名同學參加學校組織的籃球賽. (2)第三十屆奧林匹克運動會于2012年7月27日在倫敦舉行，倫敦某大學為了支持奧運會，從報名的60名大三學生中選10人組成志愿小組，請用抽簽法和隨機數表法設計抽樣方案.,【思路點撥】(1)根據簡單隨機抽樣的特點逐一判斷.(2)抽簽法的操作要點:編號、制簽、攪勻、抽取;隨機數表法的操作要點:編號、選起始數、讀數、獲取樣本.,【規范解答】(1)不是簡單隨機抽樣.由于被抽取的樣本總體的個體數是無限的，而不是有限的. 不是簡單隨機抽樣.由于它是放回抽樣. 不是簡單隨機抽樣.因為這是“一次性”抽取，而不是“逐個”抽取. 不是簡單隨機抽樣.因為指定個子最高的5名同學是56名中特指的，不存在隨機性，不是等可能抽樣.,(2)抽簽法. 第一步，將60名志愿者編號，編號為1,2,3，60. 第二步，將60個號碼分別寫在60張外形完全相同的紙條上，并揉成團，制成號簽. 第三步，將60個號簽放入一個不透明的盒子中，充分攪勻. 第四步，從盒子中逐個抽取10個號簽，并記錄上面的編號. 第五步，所得號碼對應的志愿者，就是志愿小組的成員.,隨機數表法. 第一步，將60名學生編號，編號為00,01,02，59. 第二步，在隨機數表中任選一數開始，按某一確定方向依次讀取兩位數. 第三步，凡不在0059中的兩位數或已讀過的兩位數，都跳過去不作記錄，依次記錄下得數，直到樣本的10個號碼全部取出. 第四步，找出號碼與記錄的數相同的學生組成志愿小組.,【拓展提升】抽簽法與隨機數表法 (1)抽簽法適用于總體中個體數較少的情況,隨機數表法適用于總體中個體數較多的情況. (2)一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點：一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻.一般地，當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法.,【變式訓練】下面的抽樣方法是簡單隨機抽樣的是_. 在某年明信片銷售活動中，規定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎; 某車間包裝一種產品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產品，檢查其質量是否合格; 某學校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對學校機構改革的意見; 用抽簽法從10件產品中選取3件進行質量檢驗.,【解析】不是簡單隨機抽樣，因為抽取的個體間的間隔是固定的；不是簡單隨機抽樣，因為總體的個體有明顯的層次；是簡單隨機抽樣. 答案:,考向 2 系統抽樣 【典例2】(1)(2012山東高考改編)采用系統抽樣方法從960 人中抽取32人做問卷調查，為此將他們隨機編號為1,2， 960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9. 抽到的32人中，編號落入區間1,450的人做問卷A，編號落入 區間451,750的人做問卷B，其余的人做問卷C.則抽到的人 中，做問卷B的人數為_.,(2)一個總體中有100個個體，隨機編號為0，1，2，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1，2，3，10.現用系統抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規定如果在第1組隨機抽取的號碼為m，那么在第k組中抽取的號碼個位數字與m+k的個位數字相同.若m=6，則在第7組中抽取的號碼是_. 【思路點撥】(1)寫出第k(kN*)組抽中的號碼，構造不等式求解.(2)第7組抽取的號碼十位數字是6，再根據規定求出個位數字即可.,【規范解答】(1)采用系統抽樣方法從960人中抽取32人，將整體分成32組，每組30人，第k組的號碼為(k-1)30+9，令451(k-1)30+9750，而kZ，解得16k25，則滿足16k25的整數k有10個. 答案:10 (2)m=6，k=7，m+k=13，在第7組中抽取的號碼是63. 答案：63,【拓展提升】系統抽樣的特點 (1)適用于元素個數很多且均衡的總體. (2)各個個體被抽到的機會均等. (3)總體分組后，在起始部分抽樣時采用的是簡單隨機抽樣. (4)如果總體容量N能被樣本容量n整除，則抽樣間隔為 【提醒】如果總體容量N不能被樣本容量n整除，可隨機地從總體中剔除余數，然后再按系統抽樣的方法抽樣.,【變式訓練】某班級有50名學生，現要采取系統抽樣的方法在這50名學生中抽出10名學生，將這50名學生隨機編號150號，并分組，第一組15號，第二組610號，第十組4650號，若在第三組中抽得號碼為12的學生，則在第八組中抽得號碼為_的學生. 【解析】易知組距為5，因為在第三組中抽得號碼為12，所以在第八組中抽得號碼為12(83)537. 答案：37,考向 3 分層抽樣 【典例3】(1)(2013鹽城模擬)用分層抽樣的方法從某高中學校學生中抽取一個容量為55的樣本參加問卷調查，其中高一年級、高二年級分別抽取10人、25人.若該校高三年級共有學生400人，則該校高一和高二年級的學生總數為_人. (2)(2012天津高考)某地區有小學150所，中學75所，大學25所，現采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取30所學校對學生進行視力調查，應從小學中抽取_所學校，中學中抽取_所學校.,【思路點撥】(1)先計算出高三年級學生的入樣率，再計算出 高一和高二年級的學生總人數. (2)根據抽取樣本的比例計算. 【規范解答】(1)高三年級抽取55-10-25=20(人)，入樣率為 設高一和高二年級的學生總數為n人，則 n=700. 答案:700,(2)分層抽樣也叫按比例抽樣，由題知學校總數為250所， 應從小學中抽取 (所)，同理可 得從中學中抽取 (所). 答案：18 9,【互動探究】在本例(2)中，若將條件“某地區有小學150所， 中學75所，大學25所”改為“某地區小學、中學、大學數量 之比是631”，其他條件不變，試解答問題. 【解析】從小學中抽取 30=18(所)，從中學中抽取 (所).,【拓展提升】常用的抽樣方法及它們之間的聯系和區別,【變式備選】某中學開設了數學史選講對稱與群球面上的幾何三門選修課程，供高二學生選修，已知高二年級共有學生600人，他們每人都參加且只參加一門課程的選修.為了了解學生對選修課的學習情況，現用分層抽樣的方法從中抽取30名學生進行座談.據統計，參加數學史選講對稱與群球面上的幾何的人數依次組成一個公差為40的等差數列，則應抽取參加數學史選講的學生的人數為_.,【解析】根據題意可得，參加數學史選講的學生人數為 240人.抽取比例是 故應該抽取240 12(人). 答案:12,【易錯誤區】找不準比例關系導致錯誤 【典例】(2013深圳模擬)一汽車廠生產A,B,C三類轎車,每類 轎車均有舒適型和標準型兩種型號,某月的產量如下表(單位: 輛):,按類型分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.則z的值為_. 【誤區警示】本題易出現的錯誤主要有兩個方面： (1)分層中不明確有幾層.(2)計算比例時找不準比例關系，出現計算錯誤.,【規范解答】設該廠本月生產轎車為n輛,由題意得, 所以n=2 000.z=2 000-100-300-150-450-600=400. 答案：400,【思考點評】 1.分層抽樣每層抽取樣本數量的依據 分層抽樣時，每層抽取的個體可以不一樣多，但必須滿足抽 取 (i=1,2,k)個個體(其中k是層數，n是抽取的 樣本容量，Ni是第i層中個體的個數，N是總體容量).,2.分層抽樣分層的原則 分層抽樣中分多少層，如何分層要視具體情況而定，總的原則是：層內樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊.,1.(2013無錫模擬)將參加2012年全國數學競賽的1 000名學生編號如下：000，001，002，999，現打算從中抽取一個容量為50的樣本，按系統抽樣方法分成50個部分，第一組編號為000，001，002，019.如果在第一組隨機抽取的一個號碼為015，則抽取的第25個號碼為_.,【解析】由題意可知，分段間隔 則抽取的第25個號碼為015+(25-1)20=495. 答案:495,2.(2013南通模擬)某校高一、高二、高三學生共有3 200名，其中高三學生800名，如果通過分層抽樣的方法從全體學生中抽取一個160人的樣本，那么應當從高三的學生中抽取的人數是_. 【解析】應當從高三的學生中抽取： (人). 答案:40,3.(2012福建高考)一支田徑隊有男女運動員98人，其中男運 動員有56人.按男女比例用分層抽樣的方法，從全體運動員中 抽出一個容量為28的樣本，那么應抽取女運動員人數是_. 【解析】由題意知，女運動員總數為42，因此抽取的女運動員 為28 =12. 答案：12,4.(2012江蘇高考)某學校高一、高二、高三年級的學生人數 之比是334，現用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的 學生中抽取容量為50的樣本，則應從高二年級抽取_名學生. 【解析】高二年級學生人數占總數的 樣本容量為50，則 答案：15,1.某初級中學領導采用系統抽樣方法，從該校初一年級全體 800名學生中抽50名學生做牙齒健康檢查.現將800名學生從1 到800進行編號，求得間隔數k 16，即每16人抽取一 個人.在116中隨機抽取一個數，如果抽到的是7，則從33 48這16個數中應抽取的數是_. 【解析】按系統抽樣分組，3348這16個數屬第3組，則這一組應抽到的數是721639. 答案:39,2.某學院的A，B，C三個專業共有1 200名學生，為了調查這些 學生勤工儉學的情況，擬采用分層抽樣的方法抽取一個容量為 120的樣本.已知該學院的A專業有380名學生，B專業有420名學 生，則在該學院的C專業應抽取_名學生. 【解析】C專業的學生有1 200-3