1、拉格朗日方法,x=x(a，b，c，t) y=y(a，b，c，t) z=z (a，b，c，t),在某一時刻，任一流體質點的位置可表示為：,式中a、b、c為初始時刻任意流體質點的坐標,a、b、c為常數，而t為變量，則得到流體質點的運動規律,t為常數，而a、b、c為變量，得到某一時刻不同流體質點的位置分布,拉格朗日變量,第三章流體運動學和動力學基礎,3.1研究流體運動的方法,當地法,描述方法,隨體法,以流體質點為研究對象 追蹤法,2、歐拉法,流體質點的三個速度分量、壓強、密度、溫度可表示為： u=u (x，y，z，t) v=v (x，y，z，t) w=w (x，y，z，t),求一階和二階導數，可得任意流體質點的速度和加速度為：,以流場中固定點(或體積)的流體為研究對象,x，y，z不變而改變時間t,固定點的速度隨時間的變化,參數t不變，而改變x，y，z,某一時刻，空間各點的速度分布,速度和加速度分別為：,拉格朗日法 歐拉法,分別描述有限質點的軌跡 同時描述所有質點的瞬時參數,表達式復雜 表達式簡單,不能直接反映參數的空間分布 直接反映參數的空間分布,不適合描述流體元的運動變形特性 適合描述流體元的運動變形特性,拉格朗日觀點是重要的 流體力學最常用的解析方法,系統 、 控制體,3.2流動的分類,1. 流動維數：,三維流動: 速度場必須表示為三個方向坐標的函數 v=v ( x, y, z, t),二維流動: 速度場簡化為二個空間坐標的函數 v=v ( x, y, t) 或 v=v ( r, z, t),一維流動: 速度場可表示為一個方向坐標的函數 v=v( x ) 或 v=v ( s ),B2 流動分析基礎,a. 定常流動,b. 準定常流動,c.周期性諧波脈動流,d. 周期性非諧波脈動流（生理波）,e.非周期性脈動流(衰減波）,f.隨機流動（湍流）, 不定常流與定常流的轉換,3 粘性與非粘性流動,1、定義,拉格朗日法,流體質點的運動軌跡,跡線：,2、跡線的確定（跡線方程）,由拉格朗日方程給出：,x=x(a，b，c，t) y=y(a，b，c，t) z=z (a，b，c，t),由歐拉方程給出：,直接消去時間即可,積分消去時間,2、流線的確定（流線方程）,由流線定義，任一點速度方向與流線相切,vx dz -vz dx=0 vx dy -vy dx=0 vz dy -vy dz=0,流線：,歐拉法,切線與速度方向一致的假想曲線,流線的重要性質：,1、對于定常流動，流線與跡線重合；,2、通常情況流線不能轉折或相交。,3、流速為0或無窮大點流線可以轉折或相交。,【例3-1】 有一流場，其流速分布規律為：u= -ky，v= kx，w=0，試求其流線方程。,解】 由于w=0，所以是二維流動，將兩個分速度代入流線微分方程，得到,xdx+ydy=0 積分上式得到 x2+y2=c 即流線簇是以坐標原點為圓心的同心圓。,方向,例不定常流場的跡線與流線,求： （1）質點A的跡線方程；,解：,已知：設速度場為 u = t+1 ,v = 1，t = 0時刻流體質點A位于原點。,（2）t = 0時刻過原點的流線方程；,t=0時質點A位于x=y=0，得c1=c2=0。質點A跡線方程為,消去參數t 可得,上式表明質點A的跡線是一條以（-1/2，-1）為頂點，且通過原點的拋物線。,在t = 0時刻，流線通過原點x = y = 0，可得c = 0，相應的流線方程為,這是過原點的，一三象限角平分線，與質點A的跡線在原點相切（見圖）。,流管,流場中任取一條不是流線的封閉曲線，通過曲線上各點作流線，這些流線組成一個管狀表面，稱之為流管。,流量 有效截面 平均流速,當量直徑：按水力半徑相等的原則將非圓截面折合成圓形對應的直徑。,濕周 ：流體與固壁接觸周長,水力半徑R：截面積與濕周之比RA,對于圓形Ad24，R= （d24）（d）d4,d4R,3.4 流管 流束 流量 當量直徑,長方形管道,圓環形管道,管束,流動過程物理量的變化：,隨流導數 D( )/Dt,流體質點所具有的物理量隨時間變化率. N表示質點具有的物理量,1、隨流導數的表達式,哈密頓算子,3.5 系統 控制體 雷諾輸運公式,系統 控制體,2、物理意義,:給定點上N隨時間變化率，局部導數或當地導數,:空間分布不均勻性，對流導數或遷移導數,3、流體質點的運動加速度,:速度的隨流導數,代入加速度方程,3.5 系統 控制體 雷諾輸運公式,一、定理的推導,任取體積v，表面積A為控制體，取t瞬時控制體內流體為體系，N表示與體系有關的隨流物理量，表示單位體積流體具有的物理量。,N的時間變化率：,t0時，上式第一項為控制體內物理量的時間變化率,第二項表示N進入區域的數量，等于從控制面流出的量,第三項單位時間流入控制體的流體帶進的N的數量,雷諾輸運定理,流體系統某物理量時間變化率等于控制體內物理量的時間變化率與經過控制面物理量的凈通量之和,3.6 積分形式的連續性方程,上式表明：通過控制面凈流出率等于控制體內流體質量 隨時間的減少率。,輸運公式可用于任何分布函數 ，如密度分布、動量分布、能量分布等。,令 ，由系統的質量不變可得連續性方程,一、積分形式的連續性方程,幾種特殊情況連續方程,2、不可壓定常流動,1、可壓定常流,3、一維定常流,二、微分形式連續方程,單位時間沿x方向凈流出量：,單位時間沿y方向凈流出量：,單位時間沿z方向凈流出量：,單位時間從控制體表面凈流出量：,單位時間控制體質量減少量：,質量守恒原理：,化簡后：,微分形式連續方程,展開后：,密度的隨流導數,速度散度,討論：,1）不可壓流,2）可壓定常流,【例3-2】 假設為一不可壓縮流體三維流動，其速度分布規律為：u=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。試分析該流動是否存在？,3.7 動量方程,一、積分形式動量方程,體系所具有的動量的時間變化率等于作用于該體系的合外力,(1)其中,控制體 動量變化,穿過控制面 動量變化,分解成三個坐標分量,流體力學中經常求流體對物體的作用力,1、A2雙層面，積分相互抵消,2、A1面積分結果為物體 對流體作用力，等于,3、A面積分結果為,對應標量方程：,1、從理想流體得出，但可用于粘性流體,2、質量力一般指重力，氣體可忽略,3、應用于定常流,4、控制面封閉，速度壓強分布已知,5、控制面外法向方向為正,最常用的基本方程之一,求解關鍵,1、恰當選擇控制體,2、建立坐標系,3、受力分析,例33 某飛行器模型在風洞中進行吹風試驗,風洞 直徑1m，截面1速度均勻，V140m/s， 壓強1.1105Pa，截面2速度與半徑成線性分布 壓強1.05105Pa，不計風洞阻力，求（1）截面2處最 大速度Vm；（2）模型所受阻力？,在一維定常流中，作用于控制體的合力等于從控制面流入流出動量的差,作用在控制體上的外力,1、表面力,P1A1,P2A2,指向作用面,法向與切向合力,2、質量力,一維定常流,例 已知矩形平板閘下出流 B=6m, H=5m, hc=1m, Q=30m3/s 不計水頭損失,求:水流對閘門推力,代入數據, 得,水流對閘門的作用力, 利用牛頓第三定律, 有,方向向右,例:有一水平噴嘴，如圖所示，D1=200mm和D2=100mm，噴嘴進口水的絕對壓強為345kPa，出口為大氣壓103.4kPa，出口水速為22m/s。求固定噴嘴法蘭螺栓上所受的力為多少？假定為不可壓縮定常流動，忽略摩擦損失。,二、 微分形式的動量方程,取質量為xyz，由牛頓 第二定律：,表面力：,X方向,y方向,z方向,表面力合力為：,質量力：,微團合力為：,代入（1）式即為微分形式動量方程,單位質量流體慣性力與該流體壓強力和質量力平衡,直角坐標系分量形式,3.8 歐拉運動微分方程的積分(伯努利方程),定常流沿流線積分,將各式分別乘以dx，dy，dz,由流線方程Vxdy= Vydx， Vzdy= Vydz， Vxdz= Vzdx,dVx,相加,dU,dp,沿流線積分（引用了流線方程）,伯努利常數，沿同一流線相等,3.9 動量矩方程,體系對某軸的動量矩的時間變化率等于作用在該體系上所有外力對同一軸的力矩和,利用輸運定理：,作用于控制體內流體所有外力矩之和等于控制體內流體所具有的動量矩的時間變化率加上通過控制面的動量矩通量,1、對于定常流：,2、對于葉輪機械（無限多葉片）,作用于控制體上外力對某軸的力矩 總和,等于單位時間從控制面流出與 流入的流體對該軸的動量矩之差,單位重量流體能量,在沒有外力矩作用下動量矩方程：,流體靠本身慣性運動,氣體稱壓頭，液體稱揚程,49,求： (1)輸入軸矩Ts,例B4.5.1 混流式離心泵：固定控制體動量矩方程,已知: 一小型混流離心泵如圖。d1=30mm，d2= 100 mm，b = 10 mm, n = 4000轉/分， = 3 m/s。,(2)輸入軸功率,設流動是定常的，由連續性方程可得,例B4.5.1 混流式離心泵：固定控制體動量矩方程,V1= 0,由歐拉渦輪機方程,輸入功率為,葉輪旋轉角速度為,= 2n / 60 = 24000 / 60 = 418.88 (1/s ),出口切向速度為,V2 = R 2 =d 2 /2= 418.880.1/ 2= 20.94 (m / s),已知: 灑水器示意圖。R = 0.15m ,噴口A = 40mm2,=30,Q =1200 ml / s ， 不計阻力。,求： (1) Ts= 0時，旋轉角速度(1/s）；,例B4.5.2 灑水器：有多個一維出入口的動量矩方程,(2) n=400轉/分的軸矩Ts 和軸功率,對圓心取動量矩，當地變化率為零,不同位置上的動量矩流量遷移項中的作用是相同的，作為具有兩個一維出口的定常流動處理。,設噴口流體的絕對速度為V，牽連速度為U 及相對速度為Vr,(1)設Ts0 , V1 = 0 , 由多出口動量矩方程:,例B4.5.2 灑水器：有多個一維出入口的動量矩方程,(2)當n=400轉/分時,例B4.5.2 灑水器：有多個一維出入口的動量矩方程,=4002/60 = 41.89 (1/s),= 0.15(41.890.15-15cos30)1.2 = -1.21 (N m ),B4.6 能量方程,單位時間外界傳給體系的熱量，等于體系所 貯存的總能量增加率加上體系對外界作功,3.8 能量方程,為外界輸入控制體的傳熱率；,為控制體內流體對外所做功率,體系總能量變化率,一、積分形式能量方程,則,控制體內流體能量的時間變化率與經過控制面的能量凈通量之和等于作用于控制體內流體上的質量力和表面力所作功率及外界換熱率之和,積分形式能量方程,1）、重力作用下絕能管流方程：,單位體積流體質量力做功：gz,表面力做功：只有管路進出口,定常管流,氣體一維定常管流,求： (1) 有用功的增量w ；,解： 能量方程適用于整個風道,例B4.6.2 軸流式風扇的效率,(2) 能頭損失 。,已知: 圖為一軸流式風扇, d2=1m , V2= 10m/s ； 為大氣壓強， 0.65 kw，空氣密度=1.23 kg/m3,(3) 風扇效率。,由于z1= z2, p1= p2= patm, V1 = 0,質流量,能頭損失為,例B4.6.2 軸流式風扇的效率,風扇效率為,3-9 伯努利方程及應用,將微分形式動量方程沿流管積分,一、不可壓流的伯努利方程,一維定常絕能流動能量方程 伯努力方程,1、物理意義,第一項z表示單位重量流體所具有的位勢能；,第二項p/(g)表示單位重量流體壓強勢能；,第三項V2/(2g)為單位重量流體具有的動能。,機械能,2、幾何意義,第一項z表示單位重量流體的位置水頭,第二項p/(g)表示單位重量流體的壓強水頭,第三項V2/(2g)速度水頭,總水頭,流動在同一水平面：,靜壓,動壓,總壓,二、可壓流的伯努利方程,對于氣體，重力可忽略,對于等熵過程,完全氣體,三、推廣的伯努利方程,Ws：流體做功，對外界作功為正，對流體 作功為負 Wf：摩檫功,四、伯努利方程的應用,理想流體微元流束的伯努利方程，在工程中廣泛應用于管道中流體的流速、流量的測量和計算。,一、皮托管,皮托管測速原理,由于流體的特性，以及皮托管本身對流動的干擾，實際流速,流速修正系數，一般由實驗確定， =0.97,如果測定氣體的流速，則無法直接用皮托管和靜壓管測量出氣柱差來，必須把兩根管子連接到一個形差壓計上,考慮到實際情況,在工程應用中多將靜壓管和皮托管組合成一件，稱為皮托靜壓管，又稱動壓管，習慣上常簡稱它為皮托管,二、文特里(Venturi)流量計,文特里流量計用于管道中流體的流量測量，主要是由收縮段、喉部和擴散段三部分組成,以文特里管的水平軸線所在水平面作為基準面，列截面1-1，2-2的伯努利方程,由一維流動連續性方程:,若液， ，A2，A1已知，只要測量出h液，就可以確定流體的速度：,考慮到實際情況,Cd為流量系數，通過實驗測定,例1 已知無窮遠 V=1.2m/s , p=0 求:駐點處的壓強ps,解:,故 ps= 0.073 m水柱,【例2】 有一貯水裝置如所示，貯水池足夠大，當閥門關閉時，壓強計讀數為2.8個大氣壓強。而當將閥門全開，水從管中流出時，壓強計讀數是0.6個大氣壓強，試求當水管直徑d=12cm時，通過出口的體積流量(不計流動損失)。,3、水平放置在混凝土支座上的變直徑彎管，彎管兩端與等直徑管相連接處的斷面1-1上壓力表讀數p1=17.6104Pa，管中流量qv=0.1m3/s，若直徑d1=300，d2=200，轉角=600，如圖所示。求水對彎管作用力F的大小,沿x軸方向：,沿y軸方向:,管壁對水的反作用力：,【例4】 水流通過如圖所示管路流入大氣，已知：形測壓管中水銀柱高差h=0.2m，h1=0.72m H2O，管徑d1=0.1m，管嘴出口直徑d2=0.05m，不計管中水頭損失，試求管中流量qv。,【解】 首先計算1-1斷面管路中心的壓強,列1-1和2-2斷面的伯努利方程,由連續性方程：,管中流量,例5 p1=98kpa V1=4m/s d1=200mm d2=100mm a=450 不計水頭損失 求: 水流作用于彎管上的力,列X方向動量方程,列Y方向動量方程,代入有關數據得 Rx=-2.328(kN) Ry=1.303(kN) 利用牛頓第三定律, 可得到水流對管壁的作用力, 并可求得合力及合力與X方向的夾角,例6:有