1,第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與 初等函數(shù)的連續(xù)性,四則運(yùn)算的連續(xù)性,反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,初等函數(shù)的連續(xù)性,第一章 函數(shù)與極限,2,定理1,如,則,由于,一、四則運(yùn)算的連續(xù)性,也在點(diǎn) x0連續(xù);,在其定義域內(nèi)連續(xù).,在點(diǎn) x0連續(xù);,在點(diǎn) x0連續(xù).,3,如,結(jié)論: 反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù),定理2,故,同理,二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,單調(diào)增加,且連續(xù),單調(diào)的連續(xù)函數(shù),必有單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).,也是單調(diào)增加且連續(xù).,單調(diào)減少且連續(xù).,單調(diào)增加且連續(xù).,單調(diào)減少且連續(xù).,4,此定理對(duì)計(jì)算某些極限是很方便的.,定理3,設(shè)函數(shù),是由函數(shù),與函數(shù),復(fù)合而成,而函數(shù),連續(xù),則,證,5,將上兩步合起來(lái):,6,意義,例,解,可交換次序;,由,所以,2. 變量代換,的理論依據(jù).,1. 在定理的條件下,7,例,解,這里,不連續(xù),但,所以,8,例,解,同理可得,9,定理4,設(shè)函數(shù),是由函數(shù),與函數(shù),復(fù)合而成,若函數(shù),連續(xù),而函數(shù),連續(xù),則復(fù)合而成,也連續(xù).,是由連續(xù)函數(shù),因此,復(fù)合而成,例,10,三角函數(shù)及反三角函數(shù),(1),(2),(3),是連續(xù)的;,三、初等函數(shù)的連續(xù)性,單調(diào)且連續(xù);,指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),單調(diào)且連續(xù);,(均在其定義域內(nèi)連續(xù) ),(4),冪函數(shù),連續(xù);,討論,不同值.,在它們的定義域內(nèi),11,定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.,基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù),連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù),一切初等函數(shù) 在定義區(qū)間內(nèi) 連續(xù),1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.,注,在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);,12,例,例,解,解,2. 初等函數(shù)求極限的方法,注,代入法.,13,四、小結(jié),連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性;,復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性:,初等函數(shù)的連續(xù)性:,求極限的又