第一節 離散型隨機變量及其概率分布,基礎梳理,隨機試驗的結果,1. 基本概念 (1)隨機變量：一般地，如果 ，可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量.通常用字母x,y,等表示. （2）離散型隨機變量：隨機變量的取值都是離散的，我們把這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量. （3）一般地，假定隨機變量x有n個不同的取值，它們分別是 ，且p(x= )= (i=1,2,n),則稱表,概率分布表,概率分布,為離散型隨機變量x的 ，它和都叫做隨機變量x的 . 2. 離散型隨機變量的基本性質 （1） 0(i=1,2,n);(2) . 3. 兩點分布 如果隨機變量x的分布列為 則稱x服從0-1分布或兩點分布，并記為 ,或 .,x0-1分布,x兩點分布,4. 超幾何分布 一般地，在含有m件次品的n件產品中，任取n件，其中恰有x件次品數，則事件x=r發生的概率為 ,r=0,1,2,l, 其中l=minm,n,且nn,mn,n,m,nn*，稱分布列 為 .如果隨機變量x的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量x .記為xh(n,m,n).并將 記為h(r;n,m,n).,超幾何分布列,服從超幾何分布,題型一 隨機變量的概念 【例1】寫出下列隨機變量可能的取值，并說明隨機變量所表示的意義. （1）一個袋中裝有2個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數; (2)投擲兩枚骰子，所得點數之和為x，所得點數的最大值為y.,典例分析,分析 (1)所取三個球中，可能有一個白球，也可能有兩個白球，還可能沒有白球. （2）投擲結果為（i,j）,其中1i6,1j6,其中i,jn,投擲結果用x,y表示.,解 (1)可取0,1,2. =0表示所取三球沒有白球; =1表示所取三球是1個白球，2個黑球; =2表示所取三球是2個白球，1個黑球. （2）x的可能取值有2,3,4,5,12,y的可能取值為1,2,3,6.若以(i,j)表示先后投擲的兩枚骰子出現的點數,則 x=2表示（1，1）; x=3表示（1，2），（2，1）; x=4表示（1，3），（2，2），（3，1）; x=12表示(6,6); y=1表示（1，1）; y=2表示（1，2），（2，1），（2，2）; y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2）; y=6表示（1，6），（2，6），（3，6），（6，6），（6，5），（6，1）.,學后反思 研究隨機變量的取值關鍵是準確理解所定義的隨機變量的含義，明確隨機變量所取的值對應的試驗結果是進一步求隨機變量取這個值時的概率的基礎.,1. 下列幾個結果: 某機場候機室中一天的游客數量為x； 某尋呼臺一天內收到的尋呼次數為x； 某水文站觀察到一天中長江的水位為x； 某立交橋一天經過的車輛數為x. 其中不是離散型隨機變量的是 .,解析: 、中的隨機變量x可能取的值，我們都可以按一定次序一一列出，因此，它們都是離散型隨機變量；中的x可以取某一區間內的一切值，無法按一定次序一一列出，故x不是離散型隨機變量.,答案: ,題型二 求離散型隨機變量的分布列 【例2】已知甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內有大小相同的2個紅球和4個黑球，現從甲、乙兩個盒內各任取2個球.設為取出的4個球中紅球的個數，求的分布列.,分析 本題主要考查互斥事件、獨立事件離散型隨機變量的分布列，考查運用概率的知識解決實際問題的能力.,解 可能取的值為0,1,2,3, p(=0)= , p(=1)=,又p(=3)= , p(=2)=1-p(=0)-p(=1)-p(=3) = . 的分布列為,學后反思 求概率分布（分布列）的一般步驟為： （1）明確隨機變量的取值范圍; （2）搞清楚隨機變量取每個值對應的隨機事件，求出隨機變量取每個值對應的概率值; （3）列出分布列（一般用表格形式）; （4）檢驗分布列（用它的兩條性質驗算）.,舉一反三 2. 盒中裝有大小相同的10個球,編號分別為0,1,2,9,從中任取1個，觀察號碼是“小于5”，“等于5”，“大于5”三類情況之一，并求其概率分布.,解析： 分別用 表示“小于5”，“等于5”，“大于5”三種情況，設是隨機變量，其可能取值分別是 則 p(= )= ,p(= )= , p(= )= , 故的概率分布為,題型三 超幾何分布 【例3】某校高三年級某班的數學課外活動小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數學競賽考試，用x表示其中的男生人數，求x的概率分布.,分析 x服從超幾何分布，利用超幾何分布的概率公式來求解.,解 依題意隨機變量x服從超幾何分布， 所以p（x=k）= (k=0,1,2,3,4). p(x=0)= , p(x=1)= , p(x=2)= , p(x=3)= , p(x=4)= .,x的概率分布為,學后反思 對于服從某些特殊分布的隨機變量，其概率分布可以直接應用公式給出.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數.,舉一反三 3. 設有產品100件，其中有次品5件，正品95件，現從中隨機抽取20件，求抽得次品件數的分布列.,解析： 由題意知的可能取值為0,1,2,3,4,5,服從超幾何分布，其中m=5,n=100,n=20. 所以p(=k)= (k=0,1,2,3,4,5). 所以的分布列為,題型四 利用隨機變量的分布列解決概率問題 【例4】（14分）袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率是17.現在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取,取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用x表示取球終止時所需要的取球次數.,（1）求袋中原有白球的個數； (2)求隨機變量x的概率分布； （3）求甲取到白球的概率.,分析 (1)求袋中原有白球的個數，需列出方程求解. (2)寫出x的可能取值，求出相應概率，求出x的分布列. （3）利用所求分布列，甲取到白球的概率為p(a)=p(x=1)+p(x=3)+p(x=5).,解 (1)設袋中原有n個白球，由題意知 ,2 所以n(n-1)=6,解得n=3(舍去n=-2), 即袋中原有3個白球.4,(2)由題意，的可能取值為1,2,3,4,5. p(x=1)= , p(x=2)= , p(x=3)= , p(x=4)= , p(x=5)= 6 所以取球次數的分布列為 8,(3)因為甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，記“甲取到白球”的事件為a， 則p（a）=p(“x=1”或“x=3”或“x=5”)10 因為事件“x=1”、“x=3”、“x=5”兩兩互斥， 所以p(a)=p(x=1)+p(x=3)+p(x=5) = 14,學后反思 （1）處理有關離散型隨機變量的應用問題，關鍵在于根據實際問題確定恰當的隨機變量，并明確隨機變量所有可能的取值. （2）離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和. （3）注意應用概率之和為1這一性質檢驗解答是否正確.,舉一反三 4. (2010廣州模擬)某運動員射擊一次所得環數x的分布列如下： 現進行兩次射擊，以該運動員兩次射擊中最高環數作為他的成績，記為. (1)求該運動員兩次都命中7環的概率； （2）求的分布列.,解析： (1)該運動員兩次都命中7環的概率為 p(7)=0.20.2=0.04.,(2)的可能取值,為0,7,8,9,10,則 p(=0)=0,p(=7)=0.04, p(=8)=20.20.3+ =0.21, p(=9)=20.20.3+20.30.3+ =0.39, p(=10)=20.20.2+20.30.2+20.30.2+ =0.36. 所以的分布列為,易錯警示,【例】某射手有5發子彈，射擊一次命中概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數的分布列.,錯解 p(=1)=0.9,p(=2)=0.10.9=0.09, p(=3)=0.10.10.9=0.009, p(=4)= 0.9=0.000 9, p(=5)= 0.9=0.000 09,故其分布列為,錯解分析 當=5時，應包含兩種情形：一是前4發都沒有命中，恰第5發命中，概率為 0.9; 二是這5發子彈均未命中目標，概率為 ,所以p（=5）= 0.9+ =0.000 1或p(=5)=1-(0.9+0.09+0.009+0.000 9)=0.000 1.,正解 錯解中取1,2,3,4時的概率均正確，當=5時，只要前四次射不中，都要射第5發子彈，不必考慮第5發子彈射中與否，所以p(=5)= ,從而知耗用子彈數的分布列為,10. 設隨機變量x的概率分布如下表所示： f(x)=p(xx)，則當x的取值范圍是1,2)時，求f(x).,考點演練,解析: 由分布列的性質知a= ,當x1,2)時， f(x)=p(xx)=p(x=0)+p(x=1) =,11. (2009濟南模擬)設隨機變量的分布列 p= =ak(k=1,2,3,4,5). （1）求常數a的值；（2）求p ;(3)求p( ).,解析： 的分布列為 (1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a= . (2)p( )=p(= )+p(= )+p(=1) = 或p( )=1-p( )=1-( + )= .,(3)因為 ,只有= , , 滿足， 故p( )=p(= )+p(= )+p(= ) =,12. (2009深圳模擬)一批零件中有10個合格品