統計與概率 臨考復習和命題建議 寶應縣柳堡鎮中學 石樹偉 統計在日常生活有廣泛的應用，統計 觀念的形成有賴于經歷統計活動的過程， 新課程中，對統計意識和用數據來說話的 理念非常重視，因此考試中加強統計內容 和統計觀念的考查已成不可逆轉的趨勢， 教學中必須加強統計內容的教學和統計觀 念的培養. 第一部份： 統計與概率的臨考復習 一、進一步理清“統計與概率”領域知識之間 的內在聯系，形成知識結構網絡。 n即通常所說的書要由厚變薄，考前對所學知 識有一個整體把握，頭腦清清爽爽上考場。 n形成知識結構網絡，有利于學生對知識的存 儲和記憶，有利于學生在考試時對所學知識 的提取和運用。 統 計 收集數據 媒體查詢 親自調查 普 查 抽樣調查 抽樣的基本要求 總體 個體 樣本 整理數據 頻數分布表 頻數 頻率 頻數分布直方圖 頻數折線圖 扇形統計圖 分析數據 統計圖表 閱讀圖表提取信息 統 計 量 集中程度 離散程度 加權平均數 平均數 中位數 眾數 極差 方差 標準差 作出決策 用樣本估計總體 作出判斷和決測 回顧反思 樣本選取 數據處理及表示 所得結論 概 率 事 件 確定事件 不確定事件 不可能事件 必然事件 機會的 大小比較 游戲的 公平與否 概 率 實驗估計概率 分析預測概率 模擬等效實驗 列舉法 畫樹狀圖 列表 借助統計活動研究概率 從概率角度分析統計數據特征 統 計 概 率 n知識結構網絡由教師提出大的思路，先讓學 生自主嘗試構建，然后再對照教科書補充完 善，最后師生之間進行比較交流。 n知識結構網絡在復習時可多回憶書寫幾次， 以便加深印象。 n知識結構網絡的再利用： 對照知識結構讓學生自己復習回憶知識 點 對照知識結構讓學生自己嘗試編題交流 、猜測題型，加深對所學知識的理解。 二、針對“統計與概率”部分熱點問題、薄弱 環節進行專題強化訓練 建議各位老師將近幾年各地中考試卷中的統計概率 試題收集分類，組織學生對薄弱環節進行專題強化訓練 ，提高學生解答這類新題的能力，對我們揚州還沒有出 現過的題型更需要關注。 n熱點1: 統計圖表及數據信息的提取 n熱點2: 統計量 n熱點3: 數據的收集 n熱點4: 可能還是確定 n熱點5: 概率及其應用 n熱點6: 統計觀念 熱點1: 統計圖表及數據信息的提取 趨勢: 對于數據的表示，固然要求學生會制作有關 統計圖表，但隨著現代科技的發展，制作統計 圖表的工作將越來越多地為計算機所代替. 因此 ，在有關技能考查中，圖表的制作不再是考查 的重點所在，而對于圖表制作原理的理解以及 圖表信息的提取、圖表的特點和選用等已成為 近年來考查的重點。 n對于數據信息的提取，在考查中可以以多種方式呈現， 可以呈現一些雜亂無章的數據，要求學生通過適當的方 法進行整理. n可以呈現初步整理的結果或比較規范的圖表，要求學生 閱讀圖表提取信息. n可以呈現不完整的圖表，要求學生根據題干中其他信息 補全相應的圖表，這樣既考查了學生對圖表的理解以及 圖表繪制的技能，同時工作量又不是很大，這不失為考 查學生制作統計圖的技能的一種比較可行的辦法. n可以呈現多個圖表，要求學生從不同的圖表中提取不同 的信息解決問題，關注對統計圖表特點以及選擇使用技 能的考查. n也可以以選擇、填空題的形式，在實際問題情境中考查 各種統計圖表的特點和選用. 例1在市政府舉辦的“迎奧運登山活動”中，參加嶗山景區 登山活動的市民約有12000人，為統計參加活動人員的年齡情 況，我們從中隨機抽取了100人的年齡作為樣本，進行數據處 理，制成扇形統計圖和條形統計圖（部分）如下： （1）根據圖提供的信息補全圖； （2）參加登山活動的12000余名市民中，哪個年齡段的人數最多 ？ （3）根據統計圖提供的信息，談談自己的感想（不超過30字） n評析： 本題呈現不完整的圖表，要求學生 根據題干中其他信息補全相應的圖表， 這樣既考查了學生對圖表的理解以及圖 表繪制的技能，同時工作量又不是很大 ，這不失為考查學生制作統計圖的技能 的一種比較可行的辦法. 例2寧波港是一個多功能、綜合性的現代化大港，年貨物 吞吐量位居中國大陸第二，世界排名第五，成功躋身于 國際大港行列如圖是寧波港1994年2004年貨物吞吐 量統計圖 （1)從統計圖中你能發現哪些信息，請說出兩個； (2)有人斷定寧波港貨物吞吐量每兩年問的年平均增長率 都不超過15，你認為他的說法正確嗎?請說明理由 n【試題立意】 本題通過貨物吞吐量的條形統計圖的觀察 ，著重考查學生從圖中獲取信息的能力和利用信息列出 方程并進行判斷的能力及舉反例的數學思想的了解情況. n【求解策略】如果對獲取的信息沒有限定，可從最低、 最高、增長趨勢、增長幅度等角度提取信息.統計中很多 問題很難有統一的結論，只要合理即可，因此，在解答 時注意答案的開放性，切不可感到結果的不確定而無從 下筆。 對于要判斷年平均增長率“都”不超過15的說法正 確，通常可先從否定的角度進行思考，看能否找出反例 ；如果找不出反例，則可認為是正確的.從統計圖知貨物 吞吐量每年都在增長，2002年、2004年的貨物吞吐量 是15398噸、22000噸.設從2002年2004年年均每年的 增長率為x，則15398（1x）222000，解得 x10.195，x22.195（舍去），因為0.19519.5 15，所以，可以認為他的說法不正確. n【復習啟示】統計問題的表現有兩種形式，一 是單純的統計問題本身，一是與其他有關領域 知識發生一定的聯系.本題就是這樣，將統計問 題與方程問題有機地結合起來，考查學生數 形結合思想、方程思想等核心的數學內容， 以統計圖為基礎，從統計圖中獲取信息，并以 所獲得的信息來分析問題，用數字說話，而不 停留在單純的觀察上，這對于培養學生的科學 的態度，溝通不同領域內容的聯系，都是有好 處的，既使統計問題豐富多彩，也使學生對數 學獲得更深刻的認識，因此，適當地選取類似 這樣的題目讓學生練習是有價值的. n【相近試題】 05浙江金華 05南京 熱點2: 統計量 n刻畫數據集中水平的統計量 -平均數、中位數、眾數 刻畫數據波動情況的統計量 -極差、標準差、方差 n趨勢: 對于這些統計量的考查，固然需要學 生進行有關統計量的計算，但考查重點不應 是概念的記憶與運算，而應更多的考查學生 基于統計量計算基礎上對統計量現實意義的 理解或者統計量的選擇使用等。 n設計一定的問題情境，讓學生在具體問題情境 中自主選擇適當的統計量從而解決具體問題。 n以統計圖表呈現數據，從統計圖表中提取數據 信息計算各種統計量，并選擇合適的統計量反 映這組數據的真實狀況。 n單純的統計量計算工作將越來越多地為計算機 所代替. 因此，各種統計量概念的記憶與運算不 應是考查的重點所在，而對統計量概念及現實 意義的理解應成為考查的重點。 例3小明和小華去練習射箭，第一局12支箭射完 時，兩人的成績如下圖所示。通常新手的成績 不太穩定，請根據上述圖中的信息來估計小明 和小華誰是新手?請說明你的理由 n評析：本題通過具體現實問題和圖形呈現了兩 個同學的射箭成績，要求學生評判誰是新手， 也就是說誰的射箭成績不夠穩定，因而就自然 要求學生根據實際問題的意義對穩定性進行數 學表示。通篇沒有一處說明需要用什么數學知 識，但基于實際背景的分析，學生不難想到刻 畫數據波動水平的幾個統計量，因而是考查極 差、標準差、方差這幾個概念的很好的范例。 同時，以統計圖呈現數據，也有助于從圖形直 觀上理解相關數學概念。 本題雖然有統計量的計算，但計算不繁 雜，而且算得有意義（有一定的任務背景）。 例4.王蘭、李州兩位同學初三學年次數學單元自我檢 測的成績（成績均為整數，且個位數取）分別如圖 所示，利用圖中提供的信息，解答下列問題: （）完成下表： （）如果將分以上 （含分）的成績視為 優秀，則優秀率高的同學 是 （）根據圖表信息，請 你對這兩位同學各提一條 學習建議 姓名平均成績中位數眾數方差 王蘭8060 李州8090 n【試題立意】本題通過測驗成績分布圖來考查 學生對坐標的認識、平均數、中位數、眾數、 方差、優秀率的計算和對統計結果的解釋、運 用水平. n【求解策略】第（1）、（2）問，根據各自的 意義計算；第（3）問，根據統計圖、結合所完 成的表格和算出的優秀率，針對各自的特點提 出不同的建議.第（3）問中，王蘭的平均數、中 位數、眾數都是80，比較穩定但總體水平不高 ，因此，給王蘭的建議可以是：努力將學習成 績提高到一個新的水平；李州的中位數是85， 方差是260，成績不穩定，所以，給李州的建議 可以是：努力使成績保持穩定，等等. n【復習啟示】 統計教學既要有統計量的計算，更要 有對統計結果的合理解釋與正確運用，這是 新課程對統計內容所賦予的新的定位，也是 統計學科本身的特點所決定的. 復習教學中 對于這一點應給予高度關注、領會并執行. n 例5.學校請一位專家到校舉辦一次講座，該專家備有4 個專題，為確定講哪一個專題學生更感興趣，決定對學 生進行調查，并對調查的數據進行處理，確定專家選講 專題的依據是調查后數據的（ ） A平均數 B中位數 C眾數 D方差 n例6.有十五位同學參加智力競賽，且他們的分數互不相 同，取八位同學進入決賽，某人知道了自己的分數后， 還需知道這十五位同學的分數的什么量，就能判斷他能 不能進入決賽 A、平均數 B、眾數 C、最高分數 D、中位數 n【試題立意】本題取材于考生實際，試題背景自然 親切，有效地考查了統計量的意義和學生對統計中 常見統計量（如平均數、中位數、眾數、方差）的 理解水平，而不只是局限于以往的單純的數字計算 ，可使學生領略“數學就在我們身邊，處處可用數學 知識” n【求解策略】根據統計量（平均數、中位數、眾數 、方差）的意義，結合問題情景進行識別、確定， 選B和D n【相近試題】將試題情景作適當改變，就可編出其 他的試題，如下面的試題（四川綿陽題）： 從某市5000名初三學生中，隨機地抽取100名學生 ，測得他們所穿鞋的鞋號（單位：公分）由小到大排列 得到一個樣本，則這個樣本數據的平均數、中位數、眾 數和方差四個指標中，鞋廠最感興趣的指標是（ ） A平均數 B中位數 C眾數 D方差 n【復習啟示】平均數、中位數、眾數是用來刻畫數 據平均水平的統計量，方差、標準差是用來刻畫數 據波動情況的統計量，對于這些概念掌握情況的考 查，重點不應放在概念的記憶與公式的計算方面， 而應側重于對這些概念的理解與運用，試題的設置 就體現出了這一點因此，在復習中，也可考慮設 計一定的問題情景，讓學生在處理具體問題時學會 選擇、運用適當的統計量，從而真正辨別、理解各 統計量的區別與用途，達到真正掌握和正確運用的 目的 熱點3: 數據的收集 n趨勢: 以填空、選擇的形式，考查具體的 問題情境下調查方式的選擇、樣本抽取的 方式是否合適、可行. n例7、下列調查方式合適的是 ( ) A為了了解炮彈的殺傷力，采用普查的方式 B為了了解全國中學生的睡眠狀況，采用普查 的方式 C為了了解人們保護水資源的意識，采用抽樣 調查的方式 D對載人航天器“神舟六號”零部件的檢查， 采用抽樣調查的方式 例8.下列抽樣調查： 某環保網站就“是否支持使用可回收塑料購物袋”進行 網上調查; 某電腦生產商到當地一私立學校向學生調查學生電腦的 定價接受程度; 為檢查過往車輛的超載情況，交警在公路上每隔十輛車 檢查一輛; 為了解中考指要在學生復習用書中受歡迎的程度， 隨機抽取幾個學校的初三年級中的幾個班級作調查. 其中選取樣本的方法合適的有：（ ） A、1個 B、2個 C、3個 D、4個 例9.列舉一個需要普查的例子：_, 列舉一個需要抽樣調查的例子：_. 熱點4: 可能還是確定 n趨勢: 聯系生活實際，以填空、選擇的形 式，考查各種事件發生的類型，特別要注 意 “按要求舉例”這一類試題,讓學生主動尋 求知識的實際背景,探索其應用價值,從另一 角度更為真實地考查學生的應用意識,讓學生 用數學的眼光看世界. n例10、拋擲兩枚分別標有1，2，3，4的四面體骰 子，寫出這個實驗中的一個可能事件是 ； 寫出這個實驗中的一個必然事件是 _; 寫出這個實驗中的一個不可能事件是 _。 n評析： 例10的命題意圖是在知識意義的自我建構中考 查學生對知識的理解水平.對數學知識理解水平的 考查，除了關注其從實際問題中的抽象過程外， 還可以要求學生自主尋求知識的現實意義或者數 學意義，從而自我建構數學知識。這既是反映學 生的知識理解水平的一個尺度，也是數學應用意 識的一種外在表現。 熱點5: 概率及其應用 實驗估計概率 n概率 分析預測概率 n趨勢: 能夠借助概率模型或通過設計具體活動 解釋、估計、預測一些事件發生的概率. 聯系生活實際，注意它的應用性和趣味 性. n能夠預測分析一些簡單事件發生的概率，這 些事件可以來自生活實際，也可以與學生已 經學過的數學學科其他領域的知識有關. n應用大量重復實驗中的頻率與事件發生的概 率之間的關系設計一些應用性和趣味性較強 的問題，并設計等效的模擬實驗方案. n靈活運用列舉法計算簡單事件發生的概率， 解決一些實際問題. n比較事件發生概率的大小，判斷游戲公平與 否，若不公平，修改游戲規則使游戲公平. 例11、四張完全相同的卡片上，分別畫有圓、矩形、等邊 三角形、等腰梯形，現從中隨機抽取一張，卡片上畫的 恰好是中心對稱圖形的概率為( ) A1/4 B1/2 C3/4 D1 例12一個均勻的立方體六個面上分別標有數1，2，3，4 ，5，6右圖是這個立方體表面的展開圖拋擲這個立 方體，則朝上一面上的數恰好等于朝下一面上的數的的 概率是（ ） A、1/6 B、1/3 C、1/2 D、2/3 例13.如圖，某商場設立了一個可以自由轉動的轉 盤，并規定：顧客購物10元以上就能獲得一次轉動 轉盤的機會，當轉盤停止時，指針落在哪一區域就 可以獲得相應的獎品，下表是活動進行中的一組統 計數據： (1)計算并完成表格； (2)請估計當n很大時，頻率將會接近多少？ (3)假如你去轉動該轉盤一次，你獲得可樂的概率是多少？在該轉 盤中，表示“可樂”區域的扇形的圓心角約是多少度？ (4)如果轉盤被一位小朋友不小心損壞, 請你設計一個等效的模擬 實驗方案(要求交代清楚替代工具和游戲規則). 轉動轉盤的次數n1001502005008001000 落在“鉛筆”的次數m68111136345564701 落在“鉛筆”的頻率 m/n n評析：本題意在考查學生頻率與概率之間的 關系,以及應用概率知識解決實際問題的能力 .只要平時重視動手操作實驗,那么對頻率與 概率之間的關系就會有深刻的認識和體會,解 決小題就不會有太大困難.這就要求我們 在平時的統計概率教學中,不能忽略學生的動 手操作實驗,概率的意義、統計觀念只有在學 生的動手操作實驗中才能形成. 例14. 兩人要去某風景區游玩，每天某一時段開往該 風景區有三輛汽車（票價相同），但是他們不知道 這些車的舒適程度，也不知道汽車開過來的順序， 兩人采用了不同的乘車方案：甲無論如何總是上開 來的第一輛車，而乙則總是先觀察后上車，當第一 輛車開過來時，他不上車，而是仔細觀察車的舒適 狀況如果第二輛車的狀況比第一輛好，他就上第 二輛車；如果第二輛車不比第一輛好，他就上第三 輛車 如果把這三輛車的舒適程度分為上、中、下三 等，請嘗試解決下列問題： （1）三輛車按出現的先后順序共有幾種不同的可能？ （2）你認為甲、乙兩人采用的方案，哪一種方案使自 己乘坐上等車的可能性大？為什么？ n【求解策略】在仔細讀題的基礎上，發現問題中所隱含 的數學模型，并用這一模型來解決問題學生在解決一 些應用性問題時往往會有這樣一種感覺，盡管與解題相 聯系的數學概念和原理相差無幾，但問題所處的情境和 背景越是具有現實意義的、越是自己平時見過但從沒有 想過的、越是新穎和不熟悉的，解決這樣的問題通常就 越難這個“難”不是難在某個特定的解題技巧，而是難 在對現實情境的思考和表征：把問題的現實情境符號化 ，或者建立一個與之等價的數學模型本題的最大難點 即在于此我們容易想到用A、B、C分別表示三輛車的 舒適程度上、中、下三等，接著用樹狀圖得到車輛出現 的先后順序的所有情況,于是原題中所有可能的情形即能 被符號化為：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA， 共計6種可能，其中能使甲乘坐上等車的所有情形是 ABC、ACB；能使乙乘坐上等車的所有情形是BAC、 BCA、CAB因為6種情形出現的可能性相等，所以甲 坐上等車的概率是2/6=1/3，乙坐上等車的概率是 3/6=1/2 n【試題立意】本題創設甲、乙兩人兩種選車方 案的生動情景，意在考查學生用概率的觀點來 分析問題、做出決策的思維水平，重在考查學 生靈活地運用“畫樹狀圖法”或列表法求得事件的 概率 n【復習啟示】概率是日常生活中的常見現象， 學會用概率的觀點、隨機觀念來觀察、分析問 題，常能走出憑主觀臆想做出決策的誤區，因 此，學習概率對科學決策、提升數學素養的意 義是很大的同時，概率是一個與確定數學有 明顯差異的、較難理解的數學概念，本題的設 計回避了對問題解決的思路作出任何暗示，需 要學生根據實際問題的分析來發現其中所隱含 的數學模型，這是一種做數學的要求.因此，復 習中多讓學生思考、討論是有效的、必需的 概率問題中，有許多有用的基本模型類似 代數中的公式與幾何中的基本圖形，模型理解 透了，就自然提高了運用水平與解決問題的能 力 熱點6: 統計觀念 趨勢: 統計觀念是統計意識、統計技能以及評 判質疑能力的一個統一體，因而統計觀念的 發展與考查過程中都離不開統計技能，在前 面我們已經闡述了統計相關技能的考查，這 里主要關注對統計意識和評判質疑能力等方 面的考察。具體包括： n能意識到做一個合理的決策需要借助統計活 動去收集信息； n面對數據時能對它的來源、處理方法和由此 而得到的推測性結論做合理的質疑等。 (1)對于統計意識的考查，一般可以設計一個任 務，要求學生自主解決，從學生的解答中觀 察學生是否能主動地從統計的角度思考問題 ，是否掌握用樣本估計總體的思想. 例15、一只不透明的口袋內裝有紅、黃、白三 種顏色的球共10只，不允許打開口袋觀看， 你能設計一個實驗估計口袋內各種顏色的球 的數目嗎？說說你的實驗方案。 例16、某市電信局對計算機撥號上網提供三種付費 方式供用戶選擇（每個用戶只能選擇其中一種付 費方式）：甲種方式是按實際用時付費，每小時 付信息費4元，另加付電話費每小時1元2角；乙 種方式是包月制，每用付信息費100元，同樣加 付電話費每小時1元2角；丙種方式也是包月制， 每月付信息費150元，但不必另付電話費，某用 戶為選擇適合的付費方式，連續記錄了7天中每 天上網所花的時間如下（單位:分鐘） ： 62, 40, 35, 74, 27, 60, 80 根據上述情況，該用戶選擇哪種付費方式比 較合算？請你幫助選擇，并說明理由（每月按30 天計算）. 例17、某學校招聘教師時要在張、王兩位老師中選擇一位， 現從面試、理論考試、上課三個方面對他們進行考核，考 核結果如下表所示： 統計兩人的總分，誰的總分高就招聘誰，你認為這樣挑選 合適嗎？為什么？ 對上述考核成績，請你提出一個統計計算的方案。按照你 的方案這個學校應該招聘哪位老師？ 評析:本例告訴我們應意識到不同的指標重要程度不同，應 為各個指標設定一個占分比例（即權重意識）。 面試理論考試上課 滿 分100100100 張老師908580 王老師758590 (2)對于評判質疑能力的考查，一般可以呈現一 些具體的統計活動或者活動的有關結論、甚 至一些爭議等，要求學生進行適當的評析， 這樣做既可以考查學生利用統計知識解決實 際問題的能力，也具有一定的現實意義。 例18、A、B兩布袋中裝有除顏色外其他都相同 的紅、白兩種玻璃球，A袋中裝有2只紅球和6 只白球，B袋中裝有10只紅球和30只白球，有 甲、乙二人分別從A、B兩袋中去摸球，每次 摸1只看一下放回袋中攪勻，繼續摸，兩人摸 的次數相同，乙摸到紅球的機會一定比甲摸 到紅球的機會大嗎？談談你的看法。 例19、某校初三(1)班、(2)班各有49名學生，兩班在 一次數學測驗中的成績統計如下表： (1)請你對下面的一段話給予簡要分析：初三(1)班的 小剛回家對媽媽說：“昨天的數學測驗，全班平均 79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里可算 上游了!” (2)請你根據表中的數據，對這兩個班的測驗情況進 行簡要分析，并提出教學建議。 班 級平均分眾數中位數標準差 初三(1)班79708719.8 初三(2)班7970795.2 例20某公司2001年的利潤是2100萬元，2002年的利潤是 2400萬元，在2002年底召開的股東大會上，該公司提 供給廣大股民的財務報表中選用了圖1.1的一幅條形圖 來說明盈利情況。 (1)公司繪制的條形圖希望說明什么？它的畫法是否合理 ？為什么？ （2）畫一幅你認為合理的條形圖。 （3）比較兩幅不同的條形圖產生的視覺效果，如果你是 股民更希望看到哪一幅條形圖？為什么？ (3)關注學生解決問題策略與反思能力的考查， 引導學生對解決問題的過程和問題的最終結 果進行反思。例如，反思結果的正確性與合 理性，反思自己的思維過程，反思在問題解 決中所遇到的困難以及解決的方法，反思這 些問題與日常生活或者以前所解決其他問題 的聯系，反思解決問題各個方案的優缺點和 相互關系，反思該問題解決中的方法并遷移 使用，反思問題本身并進行引申拓廣等。 例21、小紅和小明在操場做游戲，他們先在地上畫了 半徑分別2和3的同心圓（如左圖），蒙上眼在 一定距離外向圈內擲小石子，擲中陰影小紅勝，否 則小明勝，未擲入圈內不算，你來當裁判。 你認為游戲公平嗎？為什么？ 游戲結束，小明邊走邊想，“反過來，能否用頻率 估計概率的方法，來估算某一不規則圖形（如右圖 ）的面積呢？”。請你設計方案，解決這一問題。 （要求補充完整圖形，說明設計步驟、原理，寫出 估算公式） 三、引導學生做好解題后的反思和 總結. n易錯分析 題不二錯 用好錯題集 錯題要歸類訂正,特別要做好易錯分析,寫下注意點, 如：確定事件不僅僅指必然事件, 還包括不可能事件 n規律總結 舉一反三 提高解題效益 如：常見概率模型的歸納小結 有返回摸 無返回摸 面積模型 例22、口袋中裝有1個紅球和2個白球，有返回地 摸出兩個球： 正： 摸出球1 紅 白 白 摸出球2 紅 白 白 紅 白 白 紅 白 白 誤： 摸出球1 紅 白 摸出球2