1、第二章 數值微分和數值積分,數值微分,函數f(x)以離散點列給出時，而要求我們給出導數值， 函數f(x)過于復雜,這兩種情況都要求我們用數值的方法求函數的導數值,微積分中，關于導數的定義如下：,自然，而又簡單的方法就是，取極限的近似值，即差商,向前差商,由Taylor展開,因此，有誤差,向后差商,由Taylor展開,因此，有誤差,中心差商,由Taylor展開,因此，有誤差,f(x)=exp(x),例：,由誤差表達式，h越小，誤差越小，但同時舍入誤差增大，所以，有個最佳步長,我們可以用事后誤差估計的方法來確定,設D(h),D(h/2) 分別為步長為h,h/2 的差商公式。則,時的步長h/2 就是

2、合適的步長,插值是建立逼近函數的手段，用以研究原函數的性質。因此，可以用插值函數的導數近似為原函數的導數,誤差,插值型數值微分,用Taylor展開分析,給定點列,且,，求,解：,例：,Taylor展開分析，可以知道，它們都是,稱為三點公式,數值積分,關于積分，有Newton-Leibniz 公式,但是，在很多情況下，還是要數值積分：,1、函數有離散數據組成,2、F(x)求不出,3、F(x)非常復雜,定義數值積分如下：是離散點上的函數值的線性組合,稱為積分系數，與f(x)無關，與積分區間和積分點有關,兩個問題：,1、系數ai如何選取，即選取原則,2、若節點可以自由選取，取什么點好？,代數精度,對

3、任意次數不高于k次的多項式f(x)， 數值積分沒有誤差,用插值函數的積分，作為數值積分,代數精度,由Lagrange插值的誤差表達式，,，有,可以看出，至少n 階代數精度,插值型,Vandermonde行列式,使用盡可能高的代數精度,已知,求系數,所以，要存在唯一，mn，確定一個n1 階的方程組,前面得到的系數是最好的嗎？,所以，m=n時存在唯一，且至少n階代數精度。與節點的選取有關。,誤差,一點數值積分,0階代數精度,1階代數精度,例：,Newton-Cotes 積分,若節點可以自由選取，則，一個自然的辦法就是取等距節點。對區間做等距分割。,該數值積分稱為Newton-Cotes積分,設節點

4、步長,(b-a),與步長h無關，可以預先求出,N1時,梯形公式,N2 時,Simpson公式,1、梯形公式,此處用了積分中值定理,誤差,2、Simpson 公式,注意到，Simpson 公式有3 階代數精度，因此為了對誤差有更精確地估計，我們用3 次多項式估計誤差,為0,一般的有,因此，N-C積分，對偶數有n+1 階代數精度，而奇數為n 階代數精度,復化積分,數值積分公式與多項式插值有很大的關系。因此Runge現象的存在，使得我們不能用太多的積分點計算。采用與插值時候類似，我們采用分段、低階的方法,誤差,做等距節點，,復化梯形公式,由均值定理知,可以看出，復化梯形公式是收斂的。,如果節點不等距

5、，還可以做復化積分嗎？怎么處理？,誤差,做等距節點，,復化Simpson公式,由均值定理知,可以看出，復化Simpson公式是收斂的。,例：計算,解：,其中,= 3.138988494,其中,= 3.141592502,函數變化有急有緩，為了照顧變化劇烈部分的誤差，我們需要加密格點。對于變化緩慢的部分，加密格點會造成計算的浪費。以此我們介紹一種算法，可以自動在變化劇烈的地方加密格點計算，而變化緩慢的地方，則取稀疏的格點。,積分的自適應計算,先看看事后誤差估計,以復化梯形公式為例,n等分區間,2n等分區間,近似有：,類似，復化Simpson公式,自適應計算,記,為復化一次，2次的Simpson公

6、式,控制,求,是,由前面的事后誤差估計式，,則，,這啟發我們，可以用低階的公式組合后成為一個高階的公式。,類似，,Romberg積分,記,為以步長為h的某數值積分公式，有,有如下的Euler-Maclaurin定理,若,為2m階公式，則,Romberg 積分就是不斷地用如上定理組合低階公 式為高階公式，進而計算積分, Romberg 算法：, ?, ?, ?, ,Lab03 復化積分,1.分別編寫用復化Simpson積分公式和復化梯形積 分公式計算積分的通用程序,2.用如上程序計算積分,取節點xi , i=0,N，N 為 2k,k=0,1,12 ，并估計誤差,3.簡單分析你得到的數據,重積分的

7、計算,在微積分中，二重積分的計算是用化為累次積分的方法進行的。計算二重數值積分也同樣采用累次積分的計算過程。簡化起見，我們僅討論矩形區域上的二重積分。對非矩形區域的積分，大多可以變化為矩形區域上的累次積分。,a,b,c,d 為常數，f 在D 上連續。將它變為化累次積分,首先來看看復化梯形公式的二重推廣,做等距節點，x軸，y軸分別有：,先計算,，將x作為常數，有,再將y作為常數，在x方向，計算上式的每一項的積分,二重積分的復化梯形公式,系數，在積分區域的四個角點為1/4，4個邊界為1/2，內部節點為1,誤差,類似前面有：,記,二重積分的復化Simpson公式,做等距節點，x軸，y軸分別有：,m，

8、n為偶數,誤差,Gauss型積分公式,Newton-Cotes 積分公式，可以知道n為偶數時，n+1個點數值積分公式有n+1階精度。是否有更高的代數精度呢？n個點的數值積分公式，最高可以到多少代數精度？本節會解決這個問題。,例：在兩點數值積分公式中，如果積分點也作為未知量，則有4個未知量，可以列出4個方程： （以f(x)在-1,1為例）,可解出：,數值積分公式,具有3階代數精 度，比梯形公式 1階代數精度高,證明：,取,易知：,也就是說，數值積分公式，對一個2n+2階的多項式是有誤差的， 所以，n+1個點的數值積分公式不超過2n+1階,如何構造最高階精度的公式？,一般性，考慮積分：,稱為權函數

9、,定義兩個可積函數的內積為：,兩個函數正交，就是指這兩個函數的內積為0,利用Schmidt 正交化過程，,變為正交基,就可以將多項式基函數,以n階正交多項式的n個零點為積分點的數值積分公式有2n1階的代數精度,證明：,若 f 為 2n1 次多項式，則,為 n1 次多項式,具有一個很好的性質：,(2)求出pn(x)的n個零點x1 , x2 , xn 即為Gauss點.,(1)求出區間a,b上權函數為W(x)的正交多項式pn(x) .,(3)計算積分系數,Gauss型求積公式的構造方法,解 按 Schemite 正交化過程作出正交多項式:,例：,故兩點Gauss公式為,積分系數為,P2(x)的兩個

10、零點為,區間-1,1上權函數W(x)=1的Gauss型求積公式,稱為Gauss-Legendre求積公式,其Gauss點為Legendre多項式的零點.,(1) Gauss-Legendre求積公式,公式的Gauss點和求積系數可在數學用表中查到 .,幾種Gauss型求積公式,由,因此,a,b上權函數W(x)=1的Gauss型求積公式為,區間0,)上權函數W(x)=e-x的Gauss型求積公式,稱為Gauss-Laguerre求積公式,其Gauss點為Laguerre多項式的零點.,(2) Gauss-Laguerre求積公式,公式的Gauss點和求積系數可在數學用表中查到 .,由,所以,對0, +)上權函數W(x)=1的積分,也可以構造類似的Gauss-Laguerre求積公式:,(3) Gauss-He