1、透視高考數學試題與導數有關的三大熱點問題 湖南祁陽四中 何雙橋【考題回顧】近5年全國新課程卷對本章內容的考查情況：科別年份題型題量分值考查內容文科2002解答題114導數在實際中的應用2003解答題112利用導數求函數的單調區間2004解答題112綜合運用導數的幾何意義證明不等式2005解答題112利用導數求曲線的切線方程2006(浙江卷)解答題112求函數導數。利用導數求最值，解有關單調性問題。理科2002解答題112導數在實際中的應用2003選擇、解答題各1題5+12利用導數求函數的極值和證明函數的單調性。2004解答題112綜合運用導數的幾何意義證明不等式2005選擇、解答題各1題5+1

2、2導數的幾何意義，利用導數求函數的單調區間2006(浙江卷)選擇、解答題各1題5+12導函數的概念，；利用導數求曲線的切線方程，求函數的最值。【考點解讀】導數是高中新課程的新增內容，它既是研究函數性態的有力工具，又是對學生進行理性思維訓練的良好素材。從近幾年的高考命題分析，高考對到導數的考查可分為三個層次：第一層次是主要考查導數的概念和某些實際背景，求導公式和求導法則。第二層次是導數的簡單應用，包括求函數的極值，求函數的單調區間，證明函數的增減性等；第三層次是綜合考查，包括解決應用問題，將導數內容和傳統內容中有關不等式和函數的單調性、方程根的分布、解析幾何中的切線問題等有機的結合在一起，設計綜

3、合試題。熱點一：導數的幾何意義函數y=f (x) 在點x0導數的幾何意義，就是曲線y=f (x) 在點P(x0, f(x0)處的切線的斜率，也就是說，曲線y=f (x) 在P (x0, f (x0)處的切線的斜率是f(x0)，于是相應的切線方程為yy0=f(x0) (xx0)，巧借導數幾何意義“傳接”的各類綜合題頻頻出現,因此也就成為了高考命題的一個熱點。【錯題分析】錯例1（06全國II）過點（1，0）作拋物線的切線，則其中一條切線方程為（A） （B） （C） （D）誤解： ,根據導數的幾何去何從意義可知，曲線的切線斜率(-1)=1，所以曲線的切線方程為y=(x1),即,選擇（C）剖析：本題錯

4、在對導數的幾何意義理解有誤，切線的斜率k是應是在切點處的導數，而點(1，0) 不在曲線上。故本題應先設切點，再求斜率，寫出直線的方程。正確解法：，設切點坐標為，則切線的斜率為2，且于是切線方程為，因為點（1，0）在切線上，可解得0或4，代入可驗正D正確。選D【典型題例】例1 已知雙曲線與點M（1，1），如圖所示.（1）求證：過點M可作兩條直線，分別與雙曲線C兩支相切；（2）設（1）中的兩切點分別為A、B，其MAB是正三角形，求m的值及切點坐標。【考查目的】本題考查導數的幾何意義在解析幾何綜合問題中的特殊作用，使代數與幾何實現了和諧的勾通。（1）證明：設，要證命題成立只需要證明關于t的方程有兩個

5、符號相反的實根。 ，且t0，t1。設方程的兩根分別為t1與t2，則由t1t2=m0，知t1，t2是符號相反的實數，且t1，t2均不等于0與1，命題獲證。（2）設，由（1）知，t1+t2=2m，t1t2=m，從而，即線段AB的中點在直線上。又，AB與直線垂直。故A與B關于對稱， 設，則有t2-2mt+m=0 由及夾角公式知，即 由得 從而由知，代入知因此，。探究：求切線方程的常見方法有：1、數刑結合。2、將直線方程代入曲線方程利用判別式。3、利用導數的幾何意義。小結：深刻理解導數作為一類特殊函數，其幾何意義所在，熟練掌握利用導數求函數的極值、單調區間、函數在閉區間上的最值等基本方法；導數的應用為

6、研究函數性質、函數圖象開辟了新的途徑，成為勾通函數與數列、圓錐曲線等問題的一座橋梁；此外，導數還具有方法程序化，易掌握的顯著特點。【熱點沖刺】1（06安徽卷）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為 A BC D解：與直線垂直的直線為，即在某一點的導數為4，而，所以在(1，1)處導數為4，此點的切線為，故選A2.（06四川卷）曲線在點處的切線方程是（A） （B） （C） （D）解：曲線，導數，在點處的切線的斜率為，所以切線方程是，選D.3.（06湖南卷）曲線和在它們交點處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是 .解析：曲線和在它們的交點坐標是(1，1)，兩條切線方程分別是y=x+2和y=2x1，它們

7、與軸所圍成的三角形的面積是.4（07預測題）設拋物線y=x2與直線y=xa（a是常數）有兩個不同的交點，記拋物線在兩交點處切線分別為l1，l2，求值a變化時l1與l2交點的軌跡。解答：將y=xa代入y=x2整數得x2xa=0,為使直線與拋物線有兩個不同的交點，必須= (1)24a0，所以a設此兩交點為(，2)，(, 2)，由y=x2知y=2x，則切線l1，l2的方程為y=2x2，y=2x2.兩切線交點為(x，y) 則 因為，是的解，由違達定理可知=1，=a由此及可得x=，y=a從而，所求的軌跡為直線x=上的y的部分。熱點二：利用導數研究函數性質運用導數的有關知識，研究函數的性質（單調性、極值和

8、最值）必將是07年高考的熱點問題。高考試題常以解答題形式出現,主要考查利用導數為工具解決函數、不等式及數列有關的綜合問題，題目較難。【錯解分析】錯例2 (06湖南十校大聯考)已知函數f(x) = 在(2，)內單調遞減，求實數a的取值范圍是_誤解：f(x)=，由f (x)在(2，)內單調遞減，知f(x)0在x(2，)內恒立，即0在x(2，)內恒立。因此，a。剖析：(1)本題看似正確，實際上卻忽視了一個重要問題：未驗證f(x)是否恒為零。因為f (x)在區間D上單調遞增（或遞減）的充要條件f(x)0 (f(x)0且f(x)在任一子區間上不恒為零。而當a=時，f(x) =不是單調遞減函數，不合題意。

9、(2)在區間D內可導數f(x) ，利用導數判別f(x)單調性法則為：若xD時，有f(x)0(0, 則f(x)在D內是增（減）函數；反之，若f(x)在D內是增(減)函數，則xD時，恒有f(x)0（0）。（不恒為0）（3）再由函數的單調性過渡到函數的極值，由錯例2 到 錯例3錯例3 (06江蘇南通三模)函數f (x) = (x21)32的極值點是（ ）A、x=2B、x=1C、x=1或1或0D、x=0誤解: f (x) =x63x43x21,則由f(x)=6x512x36x=0得極值點為x=1，x=1和x=0，故正確答案為C.剖析：滿足f(x0)=0的點x=x0（稱為駐點）只是它為極大（小）值點的必

10、要而不充分條件，如果一味地把駐點等同于極值點，往往容易導致失誤。正確解法: 事實上，這三點只是駐點(導數等于0的點)，由f(x) =6x512x36x=6x(x1)2(x1)2知，當x(，1)時，f(x)0；當x(1，0)時，f(x)0；當x(0，1)，f(x)0；當x(1，)時，f(x)0. f (x)在 (，1)、(1，0)單調遞增，在(0，1)、(1，)單調遞減。則x=0為極小值點，x=1或1都不是極值點（稱為拐點）。故應選D。【典型題例】例2：（06湖南卷）已知函數,數列滿足:證明:(); ().證明: （I）先用數學歸納法證明，1,2,3, (i).當n=1時,由已知顯然結論成立.

11、(ii).假設當n=k時結論成立,即.因為0x0成立.于是故點評：由導數研究函數的單調性，再由單調性來證明不等式、數列有關的綜合問題必將會成為2007高考的重點內容，在學習中要足夠地重視。 例3：設函數f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、dR)的圖象關于原點對稱，且x=1時，f(x)取極小值-。(1)求a、b、c、d的值；(2)當x-1,1時，圖象上是否存在兩點，使得過此兩點的切線互相垂直？試證明你的結論；(3)若x1,x2-1,1時，求證：|f(x1)-f(x2)|。【考查目的】本題主要考查導數的幾何意義、導數的基本性質和應用、絕對值不等式以及綜合推理能力。解(1) 函數f(

12、x)圖象關于原點對稱，對任意實數x，都有f(-x)=- f(x).-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx. f(x)=3ax2+c.x=1時,f(x)取極小值-. f(1)=0且f(1)=- ,即3a+c=0且a+c=-. 解得a=,c=-1.(2)證明：當x-1,1時，圖象上不存在這樣的兩點使結論成立，假設圖象上存在兩點A(x1,y1)、B(x2+y2)，使得過這兩點的切線互相垂直，則由f(x)=x2-1，知兩點處的切線斜率分別為k1=x12-1,k2=x22-1,且(x12-1)(x22-1)=-1

13、. (*)x1、x2-1,1, x12-10，x22-10(x12-1)(x22-1)0，這與(*)相矛盾，故假設不成立.(3)證明：f(x)=x2-1,由f(x)=0,得x=1.當x(-，-1)或（1，+）時，f(x)0; 當 x(-1，1)時，f(x)0.f(x)在-1,1上是減函數，且fmax(x)=f(-1)= , fmin(x)=f(1)= -.在-1,1上，|f(x)|.于是x1,x2-1,1時，|f(x1)-f(x2)|f(x1)|+|f(x2)|+=.故x1,x2-1,1時,|f(x1)-f(x2)|.探究：若x0點是y=f(x)的極值點，則f(x0)=0,反之不一定成立；在討

14、論存在性問題時常用反證法；利用導數得到y=f(x)在-1,1上遞減是解第(3)問的關鍵.【熱點沖刺】1.（06浙江卷）在區間上的最大值是(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4解：，令可得x0或2（2舍去），當1x0，當0x1時，0，所以當x0時，f（x）取得最大值為2。選C2（06安徽卷）已知函數在R上有定義，對任何實數和任何實數，都有（）證明；（）證明 其中和均為常數；（）當（）中的時，設，討論在內的單調性并求極值。證明（）令，則，。（）令，則。假設時，則，而，即成立。令，假設時，則，而，即成立。成立。（）當時，令，得；當時，是單調遞減函數；當時，是單調遞增函數；所以當時，函數在內取得極小

15、值，極小值為3（06福建卷）已知是二次函數，不等式的解集是且在區間上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在實數使得方程在區間內有且只有兩個不等的實數根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。本小題主要考查函數的單調性、極值、最值等基本知識，考查運用導數研究函數性質的方法，考查運算能力，考查函數與方程、數形結合、分類與整合等數學思想方法和分析問題、解決問題的能力。解：（I）當即時，在上單調遞增，當即時，當時，在上單調遞減，綜上，（II）函數的圖象與的圖象有且只有三個不同的交點，即函數的圖象與軸的正半軸有且只有三個不同的交點。當時，是增函數；當時，是減函數；當時，是增函數；當或時

16、，當充分接近0時，當充分大時，要使的圖象與軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須即所以存在實數，使得函數與的圖象有且只有三個不同的交點，的取值范圍為4.（預測題）證明方程x=sinx在(，)內只有一個實根。解答：設f(x)=xsinx，即證f(x)=0只有一個實數。因為f(x)=1cosx0，其中等號只在孤立點x=2k(kZ)時成都市立。故f(x)在(，)上是遞增的。又由于f(0)=0，故當x0時，f(x)0，當x0時，f (x)0。因此f (x)=0只有一個實數根x=0.5（預測題）.已知0x1，n為大于1的正整數，求證：xn(1x)n1解答：設則，令，得，由于0x1，則有x=1x，解得x=又

17、經比較知f(x)在0，1上的最小值、最大值分別為，所以xn(1x)n1熱點三：運用導數解決實際問題：學習的目的，就是要會實際應用，學生要有運用導數知識解決實際問題的意識，思想方法以及能力。近幾年，高考越來越注重對實際問題的考查，因此要學會應用導數解決有關最優化的問題及即時速度、邊際成本等問題。實際應用問題的考查必將是07年高考的又一熱點.【錯解分析】錯例4從邊長為2a 的正方形鐵片的四個角各截去一小塊邊為的正方形（如右圖所示），再將四邊向上折起，做成一個無蓋的長方體鐵盒，要求長方體的高度與底面正方形邊長的比值不超過常數t.問：取何值時，容積V有最大值。誤解： 因為所以函數的定義域為（0，這時V

18、在定義域內有惟一極值點由問題的實際意義可知，剖析：求解函數的最值問題，應注意函數的定義域，本例由導數為0的點是否落在定義域內，引出了討論。有時還要注意對導數為0的情形進行討論。正確解法：當這時V在定義域內有惟一極值點由問題的實際意義可知，知V在定義域內為增函數，故當【典型題例】例4（06江蘇卷）請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？點撥：本題難點是如何把實際問題中所涉及的幾個變量轉化成函數關系式. 技巧與方法主要有：根據題設條件作出圖形，分析各已知條件之間的關系，借助圖形

19、的特征，合理選擇這些條件間的聯系方式，適當選定變化，構造相應的函數關系.解：設OO1為x m,則由題設可得正六棱錐底面邊長為O1（單位：m）于是底面正六邊形的面積為（單位：m2）帳篷的體積為（單位：m3）求導數，得令解得x=-2(不合題意，舍去),x=2.當1x2時，,V(x)為增函數；當2x4時，,V(x)為減函數。所以當x=2時,V(x)最大。答當OO1為2m時，帳篷的體積最大。點評：解決實際應用問題關鍵在于建立數學模型和目標函數.把“問題情景”譯為數學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系近似化，形式化，抽象成數學問題，再劃歸為常規問題，選擇合適的數學方法求解（尤其要注意使用導數解決最優化的問題）。【熱點沖刺】1.(06福建