5.4.3正切函數的性質與圖象

【知識點梳理】

要點一：正切函數的圖象

1、正切函數丁=1311%,兀￡尺且％W]+左"，左￡Z圖象:

要點二：正切函數的性質

1、定義域：|x+k/c,Z:eZj

2、值域：R

由正切函數的圖象可知，當xv2+左萬（左cZ）且無限接近于工+左九時，tan%無限增大，記作tanx—>也

22

（tanx趨向于正無窮大）；當%>-]+左乃（左cZ）,tanx無限減小，記作tanxfyo（tanx趨向于負無窮

大）.也可以從單位圓上的正切線來考慮.因此tanx可以取任何實數值，但沒有最大值和最小值.稱直線

X=k7l+~,左￡%為正切函數的漸進線.

2

3、周期性：周期函數，最小正周期是萬

4、奇偶性：奇函數，即tan（-x）=-tan%.

5、單調性：在開區間（后+左巴尹日，左eZ內，函數單調遞增

要點詮釋：

1、觀察正切函數的圖象還可得到：點[浮,01左€2）是函數y=tanx,xeR,且xw版■+（的對稱中

心，正切函數圖象沒有對稱軸.

2、正切函數在開區間%肛?+左乃],AeZ內單調遞增，不能說正切函數在整個定義域上是增函

數.

知識點三、正切函數型y=Atan（0x+eXAwO,o>O）的性質

1、定義域：將“5+0”視為一個"整體令0匹+夕#4萬+[■，左ez解得x.

2、值域：（-C0,+00）

3、單調區間：

（1）把“5+0”視為一個“整體”；

（2）A>0（A<0）時，函數單調性與y=tanx（無/上乃+1,左eZ）的相同（反）;

（3）解不等式，得出x范圍.

4、周期：7=臺

囪

【題型歸納目錄】

題型一：正切函數的定義域問題

題型二：正切函數的對稱性問題

題型三：正切函數的周期性問題

題型四：正切函數的單調性問題

題型五：正切函數的最值與值域問題

題型六：正切函數的奇偶性問題

題型七：正切函數的圖像問題

題型八：解不等式問題

題型九：比較大小問題

題型十：正切函數的綜合問題

題型十一：根據正切函數單調性求參數的范圍問題

【典型例題】

題型一：正切函數的定義域問題

例L（2022?全國?高一課時練習）函數〃x）=-2tan,+小的定義域是（）

A.卜卜山B.“卜

C.1尤卜中乃+看，左eZ：D.1x卜中與+7，左ez1

例2.（2022.遼寧.沈陽市奉天高級中學高一期中）函數/（%）=tanb+：J的定義域為（）

A.x|XW4兀+卞kWZB.卜|XW2AJI+：,%￡Z

C.,A:GZ|D.{X|XWE#￡Z}

函數〃x）=JtanQx-j-l的定義域為（）

例3.（2022.寧夏?銀川一中高一期中）

fI,n/737r7J

A.<X\K7l-\——<X<k7l-\---,KGZ>B.\j^kTi--<x<kji+—,kEiZ\

I48JI144J

f\k7T71k7l3兀［f?匕w?，kjrn7

I12428JI12424J

TT

變式1.⑵22?全國?高一課時練習）函數『an7，）的定義域是（）

Ti

A.{\|.吟}B.{x\x^—,k^Z}

4

7T37r

C.{x\x^—+k7i,keZ}D.{x\x^---eZ}

44

變式2.（2022.全國?高一單元測試）函數y=Jl-tanx的定義域為（

冗

A.kjt~—^7i,keZB.k兀,k7i-\——,keZ

L4jL4」

[7t7tnJI

C.kn,k兀'—,kwZD.\k/t—，女》+一）,左￡Z

I24」42

【方法技巧與總結】

求三角函數定義域時，常常歸納為解三角不等式組，這時可利用基本三角函數的圖象求得解集.

題型二：正切函數的對稱性問題

例4.（2022?陜西西安?高一期末）下列關于函數y=ta“-2x+（J的說法正確的是（）

A.最小正周期為萬

B.圖像關于點成中心對稱

c.在區間（j,-總上單調遞增

D.圖像關于直線犬=-二成軸對稱

12

例5.（2022.陜西?榆林市第十中學高一期末）函數〃%）=圖象的一個對稱中心為（

例6.（2022?遼寧?沈陽市第三十一中學高一期中）已知函數/（x）=tan（。＞0）的圖像與直線y=i

的相鄰兩個交點的距離為1，則/'（X）的圖像的一個對稱中心是（）

7r-1

變式3.（2022?河南?南陽市第二完全學校高級中學高一階段練習）已知函數/（尤）=-

x—\

g（x）=2tan[^x]+2,若兩函數圖象在某一確定區間＞2）內共有

加m

4（%,A”（芍,個交點，則。=Z尤*=2%的值分別為（）

A.a=m,b=mB.a=m,b=2m

C.a=2m,b—mD.a—2m,b=2m

變式4.（2022?全國?高一課時練習）已知函數/⑺=tan2乙則（）

A./（九）的最小正周期為環對稱中心為版■,（）],左eZ

B.7（九）的最小正周期為萬，對稱中心為（!左肛o],%￡Z

C./（九）的最小正周期為對稱中心為左肛次eZ

JT

/W的最小正周期為彳,對稱中心為了女肛。\,keZ

2

變式5.（2022?河南平頂山?高一期末）函數"x）=tangx和g（x）=±的圖象在區間（-1,5）上交點的橫

坐標之和為（）

D.12

變式6.（2022.甘肅.天水市第一中學高一階段練習）已知函數/a）=tan（s+0）（GwO）閘＜■!，點

和（二為°]是其相鄰的兩個對稱中心，且在區間內單調遞減，則0=（）

717171

A.B.C，--次ng-D.

6666

變式7.（2022.河南駐馬店.高一期末（文））若直線y=c（ceR）與函數y=tan8（0*0）的圖象相鄰的兩個

交點之間的距離為1,則函數y=tano尤圖象的對稱中心為（）

A.f1,oKeZB.（k,0）,keZC.序,o],AeZD.（版,0）#eZ

【方法技巧與總結】

正切曲線與無軸的交點及其漸近線與無軸的交點都是正切曲線的對稱中心，正切曲線相鄰兩對稱中心

之間的距離是半個周期.

題型三：正切函數的周期性問題

例7.（2022?全國?高一課時練習）給出下列函數：

（l）y=cos|2x|；（2）y=|cosx|；（S）y=cos^2x+^；@y=tan^2x-^.

其中最小正周期為兀的有（）

A.①②③B.①③④C.②④D.①③

例8.（2022?江蘇省鎮江中學高一階段練習）己知函數/（尤）53+1[0>0）的最小正周期為會，則

。的值是（）

A.1B.2C.3D.4

例9.（2022?全國?高一專題練習）若將函數丁褒川⑺+副①叫的圖象向右平移專個單位長度后，與

8+.

函數V=tan的圖象重合，則①的最小值為（

6J)

￡

A.BC.2D.4

4-I

變式8.（2022.北京市八一中學高一階段練習）函數〃x）=tan不是（）

A.周期為萬的奇函數B.周期為2乃的奇函數

C.周期為萬的偶函數D.周期為2萬的偶函數

變式9.（2022?全國?高一專題練習）函數/■（x）=tanox（0>O）的圖像相鄰的兩支截直線y=?所的線段長

..、r71

度?為:，則43的值為（）

4

71

A.—B.0C.1D.2

4

變式10.（2022.全國?高一課時練習）已知函數五無）=3tan（ox-（）的最小正周期為則正數。=（）

A.4B.3

C.2D.1

（2022?全國?高一專題練習）函數/（%）=tan^2x-|j的最小正周期是（）

變式H.

A.2兀B.7C.-D.-

42

變式12.（2022?全國?高一專題練習）直線>=3與函數y=tanox（o>0）的圖像相交，則相鄰兩交點間的距

離是（)

B.2C.工D.三

A.n

CDCD2(0

變式13.（2022.全國?高一課時練習）若/（〃）=tanr〃eN*）,則/⑴+f（2）+…+7（2019）等于（）

A.#fB.6C.0D.273

【方法技巧與總結】

一般地，函數y=Atan（ox+M的最小正周期為7=」匚，常常利用此公式來求周期.

\?）\

題型四：正切函數的單調性問題

例10.（2022?全國?高一課時練習）函數/（x）=tan]x+￡|的單調遞增區間為（）

A.（2%一萬,2人+耳），k￡ZB.（4左一萬,4左+耳），k￡Z

C.（k——,k+j,k￡ZD.12%—+,k￡Z

例IL（2022?廣西?北海市教育教學研究室高一期末）函數y=tan（3x+"的單調遞增區間是（）

fk7i71ku5）2兀hi71

A.,keZB.，+，女￡Z

（3838）T~9~1~9

。兀75\（737兀）7"

E+—,E+一兀,keZD.IK71--7C,K7T+—I,KGZ

c";88]

例12.（2022?山東濟寧?高一期中）已知函數〃x）=-tan[gx-：

（1）求/（幻的定義域和最小正周期；

（2）求/*）的單調區間.

1

兀

變式14.（2022?全國?圖一專題練習）已知函數/1）2-

（1）求/（X）的定義域和值域.

（2）討論Ax）的最小正周期和單調區間.

⑶求了（X）的對稱中心.

【方法技巧與總結】

求函數y=Atan（ox+e）（A,a>,9都是常數）的單調區間的方法

若0>0,由于a在每一個單調區間上遞增，故可用“整體代換”的思想，令

k7r-^<a>x+（p<k7r+^,左eZ,解得尤的范圍即可.

若。<0,可利用誘導公式先把x的系數化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得x的范圍即可.

題型五：正切函數的最值與值域問題

例13.（2022?全國?高一課時練習）函數y=tan（x+5],無ejg.g]的值域為.

例14.（2022?上海?華東師范大學附屬天山學校高一期中）函數〃x）=-2tan2x+5tanx-2,xej

的值域為.

cJLJL

例15.（2022?全國?高一課時練習）函數y=tanx-tanx+2”-了了的值域為---------------

變式15.（2022.全國?高一課時練習）已知函數〃尤）=|l-tanx|+|l+tanx|.

⑴判斷函數〃x）的奇偶性，并給出證明；

⑵求函數“X）的最小值.

變式16.（2022?廣東?佛山市順德區華僑中學高一階段練習）若函數y=tan空/x（左＞0）在區間［0』內

至少有4次失去意義，則上的最小值為.

7171

變式17.（2022?全國?高一課時練習）函數y=tanxe的值域是______

63

變式18.（2022.全國?高一課時練習）若函數y=tan2*-：）+左,

的圖象都在x軸上方，則實數

k的取值范圍為.

【方法技巧與總結】

一般函數的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數法等，而三角函數是函數的特殊形

式，其一般方法也適用，只不過要結合三角函數本身的性質.

題型六：正切函數的奇偶性問題

例16.（2022?河南焦作?高一期中）已知函數〃x）=x3+asinx+btanx+l（。，匕為常實數），且

"1）=3,貝4（-1）=.

例17.（2022?全國?高一課時練習）函數1g也二的奇偶性是__________.

tanx-1

例18.（2022?全國?高一課時練習）已知函數）=/（%）=如0113%-兒111a+以:+8,且"1）=16,則

〃T）=.

變式19.（2022?山東聊城?高一期末）已知函數/（x）=sin犬—左tanx+2（藐R）,若/（$=—1,貝廳（-1）=

)

A.5B.3C.1D.0

變式20.（2022.全國?高一課時練習）下列命題中，為真命題的是（）

A.函數y=tan,既是偶函數又是周期函數

B.函數y=tanx既是奇函數，又是增函數

C.函數＞=誓三的最小正周期為g

2-secx2

D.函數y=lg[cosx（l+6tanx）]的最大值為lg2

變式21.(2022?安徽省亳州市第一中學高一期末)已知函數="‘十"⑷':+/+],若

CCOSX

7(10)=100,則/(-10)=()

A.-100B.102C.98D.-102

變式22.（2022?內蒙古赤峰?高一階段練習（文））定義在R上的函數/（X）既是偶函數又是周期函數.若

的最小正周期是萬，且當xe0,三|時，〃x）=tanx,則/（三）的值為（）

A.B.&C.一乎D.g

【方法技巧與總結】

奇函數，即tan（-x）=-tan尤.

題型七：正切函數的圖像問題

例19.（2022?全國?高一課時練習）作出函數＞=|tanx|的圖象.

例20.（2022.上海.高一課時練習）作函數＞=tan|x|的圖象.

例21.（2022?全國?高一專題練習）設函數/(x)=tan

（1）求函數五尤）的最小正周期、對稱中心;

（2）作出函數#x）在一個周期內的簡圖.

變式23.（2022.北京市第三十五中學高一階段練習）在區間［0,句內，函數、=5加與｝；=1血的圖像交點

的個數是（）個.

變式24.（2022?天津天津?高一期末）函數“力=2了g11%（-1。41）的圖象大致是（

變式25.（2022?全國?高一專題練習）已知函數〃尤）=3cosx（無?［。，句）的圖象與函數g（x）=8tanx的圖象

交于A,B兩點，則OAB（。為坐標原點）的面積為（）

B.四兀

~T

變式26.（2022.全國?高一課時練習）y=a（"為常數）與y=tan3x圖象相交時，相鄰兩交點間的距離為

A.兀

【方法技巧與總結】

作正切型函數圖象應注意的問題

作“龍）=tan（a>x+e）（0wO）的圖象一般是先作出其在一個周期內的圖象,由于/（a）在一個周期內

是單調函數，不需要使用五點法，直接利用單調性作圖即可.

題型八：解不等式問題

1（7t7t\

例22.（2022?陜西渭南?高一期末）已知tanaN——且ce-工，彳，則。的取值范圍為（）

717t

B.1

-r°4'2

7171

D.

24

例23.（2022?全國?高一課時練習）滿足tanA>T的三角形的內角A的取值范圍是（）

C.%,萬

14

例24.(2022?全國?高一專題練習)若tanxVO,則()

兀71

A.2kn--<x<2kii,keZB.2far+—<x<(2Z:+1)TI,keZ

兀71

C.kit——〈xSkii,k^ZD.kit——<%<E,keZ

22

變式27.（2022?上海?高一課時練習）使得不等式-IWtanxvG成立的％的取值范圍是（）

A.

C.kji----,k,7iH—\,kZ

_43；

變式28.（2022?全國?高一課時練習）觀察正切曲線，滿足條件|anx|vi的x的范圍是（）

_,7T_77T

A.2kli,2A71H—(%￡Z)

_44

B.kit^2kit+—(左￡Z)

_4

kTi-?,E+烏](

C.丘z)

L44」'

，兀,3兀

D.KJtH，K7TH化eZ)

44

變式29.（2022?全國?高一課時練習）不等式tanx2-石的解集是（）

A.{x\--+k7i<x<—+k7r,keZ}B.{x\--+k7r<x<—+k兀,%￡Z}

7171JIJI

C.{x\--+2k7r<x<—+2k7r,kE：Z}D.[x|-----F2k7i<%<—F2kjc,kGZ~\

變式30.（2022?全國?高一專題練習）若-g<tanx（-1,則1的取值集合為（）

A.12左兀一2左兀一；）左￡ZB.12%兀+/,2左兀+今］,左￡Z

(,71,71（7171

C.左兀---,KTI-------,keZD.bi——，左兀+—，ZwZ

I34I34j

【方法技巧與總結】

整體法，再利用圖像解決.

題型九：比較大小問題

13萬177T

例25.（2022?湖南?高一課時練習）比較大小：tan_________tan——.

45

例26.（2022?陜西?西北大學附中高一階段練習）設。=5m1,6=85彳,C=12111,則°,6,c的大小關系是

.（用“〈”號連接）

例27.（2022.北京延慶.高一期中）①sin（-2）<sin（-臺

lo1U

②tan4〉tan3

//8兀、丫!兀、

③cos（---）>cos（-----）

36

與.19%./5?、

⑷sin----<sin（------）

74

其中正確命題的序號是.

7T

變式31.（2022?上海?高一專題練習）若/（x）=tan（尤+力，試比較〃-1）,7（0）"（1）,并按從小到大的順序

4

排列：.

變式32.（2022?上海?高一專題練習）若A8是銳角三角形的兩內角，則tanAtanB1（填,或〈）.

變式33.（2022?全國?高一專題練習）tanl,tan2,tan3,tan4從小到大的排列順序為.

【方法技巧與總結】

比較兩個三角函數值的大小

比較兩個同名三角函數值的大小，先利用誘導公式把兩個角化為同一單調區間內的角，再利用函數

的單調性比較.

題型十：正切函數的綜合問題

例28.(2022?全國?高一專題練習)已知函數尸tangx-令.

(1)作出此函數在一個周期的開區間內的簡圖；

(2)求出此函數的定義域、周期和單調區間；

(3)寫出此函數圖象的漸近線方程和所有對稱中心的坐標.

例29.(2022.全國?高一專題練習)已知=

64

⑴求函數〃x)=3tanG-6的周期和單調遞減區間；

o4

⑵試比較/⑺與/(31兀)的大小.

例30.(2022?江西省臨川第二中學高一階段練習)設函數/(x)=tan(s+e)/>0,0<e<gJ,已知函數

y=/(x)的圖象與x軸相鄰兩個交點的距離為且圖象關于點對稱.

⑴求f(x)的單調區間；

(2)求不等式-1Wf(力W⑺的解集.

題型十一：根據正切函數單調性求參數的范圍問題

例3L(2022?全國?高一課時練習)若函數〃x)=tanx在區間，拳5上是增函數，則實數。的取值范

圍是.

例32.(2022.北京.高一期末)函數y=tanx在區間(0,〃)上為增函數，則實數。的一個取值可以為

TTJT

例33.(2022.上海市建平中學高一期中)若函數y=tan(0r)在上為嚴格減函數，則實數。的取

值范圍是.

變式34.（2022?上海市奉賢中學高一期中）己知函數〉=1211如:在［-內是減函數，則（）

A.0<69<1B.—1<69<0

C.C9>1D.69<—1

變式35.（2022.全國?高一專題練習）直線y與函數〃x）=tan（ox+￡|（0>O）的圖象的相鄰兩個交點的

距離為2萬，若函數”X）在區間（-加,加）（冽>0）上是增函數，則實數加的取值范圍是（）

A.?B.［歸］CL（0，：

變式36.（2022.全國?高一課時練習）已知函數丁=1m0%在b5（J內是減函數，則。的取值范圍為

()

A.（-2,0）B.［-1,0）C.（0,1］D.［1,2］

（JT7T\

變式37.（2022.全國?高一課時練習）已知函數y=3tans+l在［-內是減函數，則。的取值范圍是

()

333

A.——<a><—B.——<6><0C.-2<a)<0D.-2<^<2

222

變式38.（2022?江西?南昌二中高一階段練習）已知函數”另=1211（3+0）卜￡0,網<1｝點（午,0］和

（?可是函數八）圖像的相鄰的兩個對稱中心，且函數小）在區間停，?）內單調遞減，則。=

()

7171n71

A.B.D.

~6~67

/JII7T71

變式39.（2022?江西?贛縣中學高一階段練習）若函數y=tan3+n在一彳.上為減函數，且在

I⑺L33」

jrJT

上的最大值為百，則。的值可能為（）

A.—B.±C.—1D.1

22

【方法技巧與總結】

已知正切函數的單調性求參數范圍，多用數形結合思想及轉化思想求解.

【同步練習】

一、單選題

1.（2022?山東?濟南市章丘區第四中學高一階段練習）下列說法正確的是（）

B.sin145>tan47

TT

C.函數，=tan（ox+0）的最小正周期為一

CO

D-，=2tanx（寧x檸的值域是[2,+co）

2.（2022?全國?高一課時練習）若直線x=〃兀（0<?<1）與函數y=tanx的圖象無公共點，則不等式

tan尤之2。的解集為（）

[I,兀，7717r.B.，卜7i+：Wx<左兀+],左￡Z

A.Sx\kn+—<x<kii+—,keZ

II62

I,7Tj7U.—

C.Ix+—<x<bc+—GZD.<XKJl+—<X<KJl+—,KeZrr

II3244

3.（2022.全國.高一課時練習）函數y=tan[q],”（-去1,直域為（）

4.（2022?全國?高一課時練習）已知〃x）=tan（x+°）,貝廣函數〃尤）的圖象關于原點對稱”是

°=E（ZwZ）”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2022?陜西渭南?高一期末）若函數/（x）=tan（o尤+[]（。>0）的圖象相鄰兩支截直線y=l所得線段長

為gJT,則下列結論錯誤的是（）

2

A.函數/（元）的最小正周期為！B.函數/⑺在區間上單調遞增

2I66J

C.函數Ax）的圖像與直線x=?不相交D.函數〃x）的圖像關于點對稱

6.（2022?遼寧?沈陽市第一二O中學高一期末）已知a=cosl,b=sin2,c=tan3,貝！|（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

7.（2022.河南南陽.高一階段練習）現有四個命題:

①土中（—+tanx=V2；

71

1

②＞3

tanx-1

③函數/（x）=xcosx+sin2%的圖像存在對稱中心;

④函數〃X）=cospx-gj的最小正周期為5.

其中真命題的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

8.（2022?全國?高一課時練習）田忌賽馬是中國古代對策論與運籌思想運用的著名范例.故事中齊將田忌

與齊王賽馬，孫臏獻策以下馬對齊王上馬，以上馬對齊王中馬，以中馬對齊王下馬，結果田忌一負兩

勝，從而獲勝.在比大小游戲中（大者為勝），已知我方的三個數為a=cos。，〃=sin6+cos。，

c=cos6>-sin6>,對方的三個數以及排序如表：

第一局第二局