專題03平行四邊形（七大題型）

盛型丈裳合

>題型一利用平行四邊形的性質求解（高>題型六平行四邊形的判定與性質綜合

頻）（重點）

>題型二平行四邊形中最小值問題>題型七平行四邊形中動點綜合題（重

>題型三判斷能否構成平行四邊形點）

>題型四添一個條件成為平行四邊形（高

頻）

>題型五求與己知三點組成平行四邊形的

點的個數

驗理大通關

【題型1】利用平行四邊形的性質求解（高頻）

1.（24-25八年級上?山東威海?期末）如圖所示，在平行四邊形2BCD中，對角線AC,相交于點。，AC1

AB,若力B=4,AC=6,貝的長為（）

A.10B.5C.2V5D.2

【答案】A

【分析】本題考查平行四邊形的性質，勾股定理，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.利用平行四

邊形的對角線互相平分得2。=c。=3,BO=DO,再在RtA4B。中利用勾股定理求出BO,即

可求解.

【詳解】解：回四邊形48CD是平行四邊形，AC=6,

囿4。=CO=-AC=3,BO=DO,

2

EL4CLAB,AB=4,

0BO=y/AB2+AO2=V42+32=5,

0BD=2B0=10,

故選：A.

2.（24-25八年級上?山東淄博?期末）如圖，在EMBCD中，“BC的平分線交邊力D于點E,已知"EB=

40°,貝吐。的度數為（）

A.70°B.75°C.80°D.85°

【答案】C

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質，主要運用了平行四邊形的兩個性質：①邊：平行四邊形

的對邊平行.②角：平行四邊形的對角相等.由平行四邊形的性質得=AD||BC,則

AAEB=Z.BEC=40°,再由角平分線定義得乙4BC=2N4BE=80。，即可得出結論.

【詳解】解：在EMBCD中，AD||BC,

.-.乙AEB=乙EBC=40°.

???BE平分乙4BC交2D于點E,

.-./.ABC=2^ABE=80。.

又???四邊形48CD是平行四邊形,

.-.AABC=ZD=80°.

故選：C.

3.（24-25九年級上,四川成都?期末）如圖，在平行四邊形力BCD中，AB=3,AD=5.按下列步驟作圖：

①以點。為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交D4DC于點E,F；

②分別以點E，F為圓心，大于|EF長為半徑畫弧，兩弧交于點P；

③連接0P并延長交BC于點G.貝IJBG的長是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題考查了角平分線的畫法，平行四邊形的性質，等腰三角形的判定，由作圖可知DG是

NADC的平分線，得UDG=MDG,由平行四邊形的性質得ADIIBC,BC=AD=5,即得N4DG=

NCGD,得到NCDG=NCGD,即可得CG=CD=3,進而根據線段的和差關系即可求解，掌握以上知識

點是解題的關鍵.

【詳解】解：由題可得，DG是N4DC的平分線，

SZ.ADG=乙CDG,

回四邊形4BCD是平行四邊形，

EL4DHBC,BC=AD=5,

SZ.ADG=Z.CGD,

EINCDG=ACGD,

回CG=CD=3,

團BG=BC-CG=5-3=2,

故選：B.

4.（24-25九年級上?海南省直轄縣級單位?期末）如圖，已知平行四邊形4。8c的頂點。（0,0）,4（-2,3）,點

8在x軸正半軸上，按以下步驟作圖：①以點。為圓心，適當長度為半徑作弧，分別交邊。4、0B于點

D,E-,②分別以點。，E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在NAOB內交于點長③作射線

OF,交邊4C于點G,則點G的坐標為（）

A.(V13-2,3)B.(V13-3,3)C.(4-V13,3)D.(5-V13,3)

【答案】A

【分析】本題主要考查了角平分線的作法、勾股定理、平行四邊形的性質、等角對等邊等知識點，掌

握角平分線的作法是解題的關鍵.

如圖：依據勾股定理即可得到RtAAOH中，A0=713,依據乙4GO=NAOG,即可得到4G=4。=

V13,進而得出HG=仍？-2即可確定點G的坐標.

【詳解】解：如圖：

團平行四邊形40BC的頂點。(0,0),2(—2,3),

EL4H=2,HO=3

040=7AH2+"。2=V22+32=V13,

ElRtA4。“中，AO=V13,

由作圖可知：OF平分乙40B,

^\Z-AOG=Z-EOG,

又回4GII。凡

回4AG。=(EOG,

也乙AGO=Z.AOG,

EL4G=A0=V13,

WG=V13-2,

EIG(V13-2,3).

故選：A.

5.(24-25八年級上?吉林長春?階段練習)在平面直角坐標系中，平行四邊形ABC。的頂點4B、。的坐標

分別是(0,0)，(5,0),(2,3),則頂點C的坐標是()

A.(7,3)B.(8,2)C.(3,7)D.(5,3)

【答案】A

【分析】本題考查平行四邊形的性質，坐標與圖形，熟練掌握平行四邊形的性質并利用數形結合的思

想是解題關鍵.根據平行四邊形的性質結合所給三個頂點的坐標可得出久0=7,yc==

3,即可求解.

【詳解】解：回平行四邊形ABCD的頂點4、B、。的坐標分別是(0,0),(5,0),(2,3),

0CD=AB=5,CD||x軸，

回=%D+CD—7,y?=y。=3,

團頂點C的坐標是(7,3).

故選：A.

6.(23-24八年級下?廣東江門?期末)如圖，在平行四邊形48CD中，AB1AC,若48=4,AC=6,貝

的長是()

【答案】B

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，由平行四邊形的性質可得4。=34。=3,BO=

DO,再由勾股定理求出B。的長即可得解.

【詳解】解：回四邊形4BCD是平行四邊形，

EL4O=-AC=3,BO=DO,

2

胤481AC,AB=4,

回B0=y/AB2+AO2=5,

姐。=2BO=10,

故選：B.

7.(23-24八年級下?廣東佛山?期末)如圖，在團ABC。中，點E是AO中點，作E尸180于點R

已知48=4,AC=6,則EF的長為

【答案w

【分析】本題主要考查平行四邊形的性質，勾股定理以及三角形面積，熟練掌握平行四邊形的性質是

解題的關鍵.

通過計算。4、。8的長度，利用三角形面積公式求得SAME=SAODE=3,即可求出答案.

【詳解】解：如圖，連接?！?

AED

.?四邊形ABCD是平行四邊形，AC=6,

1

???OA=-AC=3,OB=OD,

2

?4,S^ozo—S^OAB~3AB-OA=~x4x3=6,

AB1AC,

??.Z.OAB=90°,

...OB=7AB2+=-y/42_|_32=5,

OD=5,

???點E是中點，

ii

S^OAE=S^ODE=5s△zoo=5X6=3，

EF1BD,

1

SAODE=20D,EF=3，

???OD-EF=6,

即5EF=6,

SEF='

故答案為：

8.（24-25八年級上?全國?期末）如圖，回力BCD的對角線相交于點。，且4。大。。，過點。作。Ml

AC,交力。于點M.如果△CDM的周長為18,那么同4BCD的周長是

【答案】36

【分析】本題考查了平行四邊形的性質與線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是熟練的掌握平行四邊

形與線段垂直平分線的性質.

由四邊形4BCD是平行四邊形，可得。4=。配又由。M14C,可得4M=CM,然后由ACDM的周長

為18,求得平行四邊形2BCD的周長.

【詳解】解：國四邊形4BCD是平行四邊形，

0OX=0C,

0OM1AC,

回。M垂直平分線段4C,

SAM=CM,

0ACDM的周長為18,

0CM+DM+CDAM+DM+CD=AD+CD=18,

回平行四邊形4BCD的周長是：2x18=36.

故答案為：36.

【題型2］平行四邊形中最小值問題

9.（23-24八年級下?山東濱州?期末）如圖，在△ABC中，AB=BC=15,AC=18,。是BC邊上任意

一點，連接4D,以AD,CD為鄰邊作回4DCE,連接DE,則DE長的最小值為（）

A.14.4B.9.6D.4.8

【答案】A

【分析】設力C，ED交于點。，過點。作。尸18C于點尸，連接。B,勾股定理求得。2,等面積法求得

OF,根據垂線段最短，當點。與點F,重合時，。。最小，進而求得DE的最小值，即可求解.

【詳解】解：設AC,ED交于點0,過點。作。F1BC于點F,連接。B,如圖所示，

在平行四邊形4DCE中，AO=CO,E0=DO,

■■AB=BC=15,

.?.△ABC是等腰三角形,

???BO1AC,

■.■AC=18,

AO=CO—9,

在RtABOC中，BO=VBC2-OC2=12,

■-S^OBC=^CO-BO=\BC-OF,

：.OF=7.2,

當點。與點尸重合時，。。最小，

.-.ED的最小值為2。。=14.4.

故選：A.

【點睛】本題考查的知識點是平行四邊形的性質、等腰三角形的性質、三線合一、勾股定理解直角三

角形、垂線段最短，解題關鍵是利用等面積法求解.

10.（23-24八年級下?黑龍江哈爾濱?期末）如圖，平行四邊形ABC。，AB=2V3,BC=8,乙8=60。點P

為BC上一動點，貝UP4+PD的最小值為

/A7r\

【答案】io

【分析】本題考查了軸對稱最短問題和平行四邊形的性質，學會利用軸對稱的性質解決最短問題是解

題的關鍵;

作點A關于BC的對稱點4,連接4D交BC于點尸，PA+PD即為最小值，根據直角三角形中30。角所對

的直角邊是斜邊的一半及勾股定理求出。4,根據軸對稱得出44,然后根據平行四邊形的性質得出

AA'AD=90°,BC=AD,再次利用勾股定理即可求出結果.

【詳解】如圖：作點A關于BC的對稱點4,連接4D交BC于點P,P4+PD即為最小值，

乙4OB=乙4OP=N&OP=90°,

OP=OP,

??.△AOP三△4。尸(SAS),

團4P=4P,

PA+PD=PA'+P。=A'D,

???乙B=60°,

???乙BAO=30°,

在也△AOB中，AB=2V3

1廠

OB=/AB=v3

OA=7AB2-OB2=3,

???點A和點4關于BC軸對稱，

"""OA'=OA——3,

AA'=6

四邊形力BCD是平行四邊形，BC=8

：.4AOB=^A'AD=90°,AD=BC8,

A'D=^JA'A2+AD2=V62+82=10,

故答案為：：L0.

11.(23-24八年級下?青海西寧?期末)如圖，在回48CD中，〃=120。，48=2,點P是BC邊上的動點,

連接AP,DP,E是AD的中點，F是PD的中點，貝|EF的最小值是.

AED

【答案】y/|V3

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質、勾股定理、直角三角形的性質、三角形中位線的性質等

知識點，靈活運用相關性質成為解題的關鍵.

根據平行四邊形的性質可得NBAD=NC=120。；如圖：過4作4P11BC,連接DPI,

依據直角三角形的性質和勾股定理可得力Pi=V3,再根據垂線段最短可得AP的最小值為APi=V3；

再說明底是4APD的中位線，進而得到EF的最小值為14Pl即可解答.

【詳解】解：團在固4BCD中，ZC=120°,

0ZB71D=ZC=120°,

如圖：過4作4Pli8C,連接DP1

乙

^BAP1=BAD-^DAPr=30°,

i

回=豺8=1,

EL4P1=JAB2-BP/=V3,

回4P的最小值為4P1=V3,

ae是a。的中點，F是PD的中點，

E1EF是△?!「￡）的中位線，

1

團EF=-AP,

2

SEF的最小值為之/lPi=?.

故答案為：--.

12.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，在團力BCD中，AB=4,AD=5,乙4BC=30。，點M為直線BC上一

動點，則MA+MD的最小值為

【答案】V41

【分析】如圖，作4關于直線BC的對稱點4,連接4。交BC于M，，貝必"=4/7,AHIBC,AM'=

A'M',當M,M'重合時，"4+MD最小，最小值為4D,再進一步結合勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，作4關于直線BC的對稱點4,連接4。交BC于Ml則AH1BC,

AM'=A'M',

回當重合時，M4+MD最小，最小值為AO,

A'

13aB=4,^ABC=30°,在I24BCD中，

1

SAH=^AB=2,ADWBC,

SiAA'=2AH=4,AA'1AD,

SAD=5,

SA'D=V42+52=V41,

故答案為：V41

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，軸對稱的性質，求最小值問題，正確理解各性質

及掌握各知識點是解題的關鍵.

13.（2024,廣西欽州?一模）如圖，在四邊形2BCD中，ZB=90°,AB||CD,BC=3,DC=4,點E在BC

上，且BE=1,F,G為邊42上的兩個動點，且FG=1,則四邊形DGFE的周長的最小值為

AGFB

【答案】2b+6

【分析】先確定DE和尸G的長為確定的值，得到四邊形DEFG的周長最小時，即為DG+EF最小時，過

點/作FPIIOG得平行四邊形DGFP,知FP=DG,DP=FG=1,作點E關于2B對稱點。，連接QF,則

QF=EF,連接QP,當Q,F,P三點共線時，QF+PF的值最小，為QP,得到DG+EF最小為QP,在Rt△PCQ

中由勾股定理可得QP,從而可求出結論.

【詳解】解：HZXBC=90°,AB\\CD,

0Z71BC+ZT=180°,

0ZC=90°,

???BE=1,BC=3,

CEBC-BE=3-1=2,

在RtADCE中，DC=4,CE=2,

SiDE=yjDC2+CE2=V42+22=2其

0FG=1,

回四邊形DEFG的周長為=DG+EF+2>j5+1,

要使四邊形DEFG的周長最小，只要DG+EF最小即可，

過點尸作FPIIDC交DC于點P,則四邊形DGFP是平行四邊形，

0FP=DG,DP=FG=1,

0DC=4,

0CP=DC-DP=4-1=3

延長CB到點Q,使BQ=BE=1,連接QF,則QF=EF,

SCQ=BC+8Q=3+1=4,

WG+EF=PF+QF,

當Q,F,P三點共線時，QF+PF的值最小，為QP,

aDG+EF的最小值為QP,

在Rt△PCQ中，QP=7PC2+QC2=,32+42=5,

回四邊形DEFG的周長為=5+2V5+1=2V5+6,

故答案為：24+6

【點睛】本題考查軸對稱-最短路線問題，解答中涉及三角形三邊關系，勾股定理，能將周長和的最小

值表示成一條線段的長與固定長度的和是解題的關鍵.

【題型3］判斷能否構成平行四邊形

14.（24-25八年級下?江蘇連云港?階段練習）下列條件中能判定四邊形4BCD是平行四邊形的是（）

A.AB||CD,AD=BCB.AB=AD,CB=CD

C.Z-A—Z-B,Z.C=Z-DD.AB=CD,AD=BC

【答案】D

【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定定理，熟知平行四邊形的判定定理是解題的關鍵.根據平

行四邊形的判定方法，逐項進行判斷即可.

【詳解】解：A.由ABIICD,AD=BC,一組對邊平行，另一組對邊相等，不能判定四邊形4BCD是平

行四邊形，故A不符合題意；

B.由AB=AD,CB=CD,不能判定四邊形力BCD是平行四邊形，故B不符合題意；

C.由N2=NB,NC=AD不能判定四邊形2BCD是平行四邊形，故C不符合題意；

D.由4B=CD,AD=BC,能判定四邊形4BCD是平行四邊形，故D符合題意.

故選：D.

15.（24-25八年級上?山東淄博?期末）如圖，在四邊形力BCD中，已知ZB||CD,對角線AC,BD相交于點

0,若增加下列條件，則可以使四邊形48CD成為平行四邊形的是（）

A.Z.1=Z.2B.AD=BCC.0A=OCD.AD=AB

【答案】C

【分析】本題考查了平行四邊形的判定，三角形全等的判定與性質，熟練掌握平行四邊的判定定理是

解題的關鍵.根據平行四邊的判定定理逐一判斷即可.

【詳解】解：A.由48IICD,41=42,不能判斷四邊形4BCD是平行四邊形，故本選項不符合題意；

B.由2BIICD,2D=BC可知，四邊形4BCD的一組對邊平行，另一組對邊相等，據此不能判定該四邊形

是平行四邊形，故本選項不符合題意；

C.團4BIIC0,

團41=z.2,Z.ABD=乙CDB,

團。A=0C,

回△ZOB=△COD（AAS）,

固48=CD,

回四邊形4BCD是平行四邊形，故本選項符合題意；

D.由ZBIICD,AD=AB,不能判斷四邊形2BCD是平行四邊形，故本選項不符合題意；

故選：C.

16.（24-25八年級上,重慶?期末）如圖，已知四邊形ABCD,下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形

的是（）

A.ABWCD,AD\\BCB.AD=BC,AB=CD

C.Z-A—Z-C,Z-B—Z.DD.AB\\CD,AD=BC

【答案】D

【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定定理.根據平行四邊形的判定定理逐一判斷即可.

【詳解】解：由4B||CD,AD||BC,可以根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形判定四邊形

是平行四邊形，故選項A不符合題意；

AD=BC,AB=CD,可以根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定四邊形力BCD是平行四

邊形，故選項B不符合題意；

由NA=ZC,乙B=ND結合NA+ZB+ZC+ZD=360°,可得N4+NB=180°,zX+=180°,

則AB||CD,AD||BC,可以根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形判定四邊形2BCD是平行四

邊形，故選項C不符合題意；

由力BIICD,AD=BC,則四邊形可能是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故選項D符合題意；

故選：D.

17.（22-23八年級下?廣西南寧?階段練習）如圖，四邊形4BCD中，對角線4C與8。相交于點。，不能判斷

四邊形/BCD是平行四邊形的是（)

A.AB=DC,AD=BCB.AB||DC,AD||BC

C.ABWDC,AD=BCD.OA=OC,OB—OD

【答案】C

【分析】本題考查了平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵.根據各選項對比

平行四邊形的判定定理逐項判斷即可.

【詳解】解：A、符合兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形的判定，故不符合題意；

B、符合兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形的判定，故不符合題意；

C、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，故符合題意；

D、符合對角線相互平分的四邊形是平行四邊形的判定，故不符合題意；

故選：C.

18.（23-24八年級下?河北邯鄲,期末）如圖，平行四邊形2BCD中，要在對角線上找點E、F,使四邊形

4ECF為平行四邊形，現有甲、乙、丙三種方案，則正確的方案的個數是（）

甲：只需要滿足BE=DF

乙：只需要滿足4E=CF

丙：只需要滿足4EIICF

A.1個B.2個C.3個D.0個

【答案】A

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質，熟記相關定理內容是解題關鍵.證AABE三ACDF即

可求證.

【詳解】解：回四邊形4BCD是平行四邊形，

B\AB\\CDS.AB=CD

^ABE=乙CDF

若BE=DF,則△ABEw/kC。/7

^\AE=CF,Z-AEB=Z-CFD

回180。一乙AEB=180°-Z,CFD

即：乙AEF=LCFE

EL4EHCF

回四邊形4ECF為平行四邊形，故甲的方案正確；

當4E=CF或2磯。尸，不能推出四邊形AECF為平行四邊形，故乙、丙的方案錯誤；

故選：A

【題型4】添一個條件成為平行四邊形（高頻）

19.（2024八年級下?山東?專題練習）如圖，在四邊形4BCD中，AB\\CD,若添加一個條件，使得四邊形

力BCD為平行四邊形，則下列不正確的是（）

A.AD\\BCB.AD=BCC.AB=CDD.Z-A=4C

【答案】B

【分析】本題考查了平行四邊形的判定.根據平行四邊形的判定定理逐項分析判斷即可求解.

【詳解】解：A、根據/BIICD,ADWBC,能判斷四邊形ABCD為平行四邊形，故該選項不符合題意;

B、根據ABIIC。，AD=BC,不能判斷四邊形48C0為平行四邊形，故該選項符合題意；

C、根據ZBIIC。，AB=CD,能判斷四邊形ABC。為平行四邊形，故該選項不符合題意；

D、^\AB\\CD,

團乙4BC+NC=180°,

回乙4=乙C,

^ABC+=180°,

團4DIIBC,

回四邊形ABC。為平行四邊形，

故該選項不符合題意；

故選：B.

20.（23-24八年級下?河南周口,期末）如圖，已知4DIIBC,增加下列條件仍不可以使四邊形4BCD成為平

行四邊形的是（）

A.Z1=Z2B.AD=BC

C.OA-OCD.AB=DC

【答案】D

【分析】此題考查平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟知平行四邊形的判

定定理.根據平行四邊形的判定定理即可求解.

【詳解】解：A.回乙1=乙2,

團4B||CD,

國40IIBC,

團四邊形是平行四邊形，故不符合題意；

B.回A。=BC,AD||BC,

回四邊形4BC0是平行四邊形，故不符合題意；

C.團4。||BC,

回乙。4。=Z-0CB

回。A=0C,Z,A0D=Z-B0C,

同△Z。。=ACOB（ASA）,

團4。=BC,

回四邊形ABC。是平行四邊形，故不符合題意；

D.由4B=DC,4。IIBC不能判定四邊形48CD是平行四邊形，故符合題意；

故選D.

2L（23-24八年級下?吉林長春,期末）如圖，在四邊形力BCD中，AB\\CD,要使四邊形4BCD成為平行四邊

形，應添加的條件是（）

BC

A.AD=BCB.AC=BD

C.乙ADB=乙DBCD.乙ABC+乙DCB=180°

【答案】c

【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定方法，兩組對

邊分別平行的四邊形是平行四邊形.根據平行四邊形的判定方法進行判斷即可.

【詳解】解：A.根據2BIICD,4。=BC無法判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故A錯誤；

B.根據2BIIC0,4C=BD無法判斷四邊形4BCD是平行四邊形，故B錯誤；

C.^\Z-ADB=乙DBC,

021DIIBC,

XABWCD,

回四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形），故C正確.

D.回乙4BC+乙DCB=180°,

SABWCD,

團無法判斷四邊形48CD是平行四邊形，故D錯誤；

故選：C.

22.（23-24八年級下?天津河東?期末）如圖，四邊形A8CD的對角線相交于點0,S.CDWAB,若要證明四邊

形4BCD為平行四邊形，不熊添加的條件是（）

A.ADWCBB.AB=CD

C.AD=BCD.Z.DAB+ZXBC=180°

【答案】C

【分析】此題考查平行四邊形的判定等知識，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵.

由平行四邊形的判定方法分別對各個選項進行判斷即可.

【詳解】解：A、SCD\\AB,AD\\CB,

回四邊形ABCD是平行四邊形，故選項A不符合題意；

B、SCD\\AB,AB=CD,

回四邊形4BCD是平行四邊形，故選項B不符合題意；

C、由。。||48,4。=8。，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故選項C符合題意；

D、^DAB+/.ABC=180°,

SADWBC,

又團C0||4B,

回四邊形A8CD是平行四邊形，故選項D不符合題意；

故選：C.

23.（23-24八年級下?青海玉樹?期末）如圖，四邊形48CD中，AB\\CD,要使四邊形力BCD為平行四邊形,

則需添加一個條件，這個條件可以是.

【答案】AB=CD（答案不唯一）

【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵.

根據平行四邊形的判定方法解答即可.

【詳解】解：,?,在四邊形4BCD中，ABWCD,AB=CD,

???四邊形48CD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），

二可添加的條件是：AB=CD-,

在四邊形力BCD中，

-■?AB||CD.AD||BC,

回四邊形2BCD是平行四邊形；

團可添加條件力。IIBC；

故答案是：AB=CD（答案不唯一）.

【題型5】求與己知三點組成平行四邊形的點的個數

24.（23-24八年級下?遼寧丹東?期末）在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，點C的坐標是（1,3）,點A

的坐標是（5,0）,點8不在第一象限，若以點O,A,B,C為頂點的四邊形是平行四邊形，則點B的坐

標是.

【答案】（—4,3）或（4,—3）

【分析】此題考查了坐標與圖形的性質以及平行四邊形的性質，先建立平面直角坐標第，再分。AII

BC和0C||兩種情況求解即可.

【詳解】解：①當0411BC,0A=BC時，如圖：

回點C的坐標是(1,3)，點A的坐標是(5,0),

回。A=BC=5,

回點2不在第一象限，

團點B坐標為(1-5,3),即(一4,3)

①當。CII28,時，如圖：

由坐標可知：點C向下平移3個單位，向左平移1個單位到點0,

回由坐標可知：點4向下平移3個單位，向左平移1個單位到點B,

故點B坐標為：15-1,0-3)即(4,一3),

綜上所述：點B的坐標是(一4,3)或(4,-3),

25.(22-23八年級下?陜西西安?期末)如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x+8分別交x軸，y軸于點

A、B,直線CD交直線于點C,交x軸于點。，點。的坐標為(1,0),點C的橫坐標為4.

⑴求直線CD的函數解析式；

(2)在坐標平面內是否存在這樣的點凡使以A、C、D、尸為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請

直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=1_\

⑵存在，點下的坐標為（一3,4）或（11,4）或（5,-4）

【分析】（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征，可求出點C的坐標，根據點C,D的坐標，利用待

定系數法即可求出直線CD的函數解析式；

（2）存在，設點P的坐標為（m，n）,分CD為對角線，4C為對角線及4。為對角線三種情況考慮，利

用平行四邊形的性質（對角線互相平分），即可得出關于根，〃的二元一次方程組，解之即可得出點歹

的坐標.

【詳解】（1）（1）當x=4時，y=-1x4+8=4,

13點C的坐標為（4,4）；

設直線CD的函數解析式為y=kx+b（k^O）,

將點C(4,4),0(1,0)代入y=fcr+b,

+5=4

得:tfc+Z?=0

k=-

所以

y=-s

則直線CD的函數解析式：y=—:

（2）解：存在，設點F的坐標為（zn,n）,

當y=0時，-%+8=0,

解得：x=8,

團點A的坐標為（8,0）.

若使以A、C、D、尸為頂點的四邊形為平行四邊形，分三種情況討論:

①當CD為對角線時，記為點后,

回四邊形ACFi。為平行四邊形，

C+8=4+1

+0=4+0

解得產=I3,

所以出的坐標為（—3,4）；

②當AC為對角線時，記為點F2,

回四邊形為平行四邊形，

+1=4+8

C+0=4+0'

解得:｛憶？

回點尸2的坐標為（11,4）；

③當力D為對角線時，記為點&,

回四邊形4CD%為平行四邊形，

C+4=1+8

+4=0+0'

解得：［山='，

In=—4

國點F3的坐標為（5,-4）；

綜上所述，存在點R使以A、C、D、尸為頂點的四邊形為平行四邊形，點尸的坐標為（-3,4）或

（11,4）或（5,-4）.

【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求一次函數解析式以及平行四邊形的

性質，解題的關鍵是：（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征，找出點C,A的坐標；根據點的坐

標，利用待定系數法求出一次函數解析式；（2）分CD為對角線，AC為對角線及2D為對角線這三種情

況，求出點P的坐標.

【題型6】平行四邊形的判定與性質綜合（重點）

26.（23-24八年級下?河南駐馬店?期末）如圖，已知△2BC.

⑴利用無刻度的直尺和圓規作圖：①以4為頂點，AC為一邊，在AaBC的外部作NC4E=N4CB,在

射線4E上截取4。=BC,連接CD；②過點2作BC邊上的高AF；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）若N8=45。，AB=4,8C=8,求四邊形力BCD的面積.

【答案】(1)見解析

(2)1672

【分析】本題主要考查尺規作圖和勾股定理，涉及作一個角等于已知角、截取已知線段和過點作垂

線，

(1)根據作一個角等于已知角即可作的直線2E,結合截取已知線段的做法即可作出直線4D,利用過點

作垂線方法即可作出直線2尸；

(2)根據題意可證明四邊形力BCD是平行四邊形，結合已知條件可求得4F,利用平行四邊形面積公式求

解即可.

【詳解】(1)解：如圖，

(2)???/.DAC=/.ACB,

：.AD||BC

???AD=BC

回四邊形4BCD是平行四邊形

ZB=45°,AF1BC,

：.乙B=ABAF=45°,

???AF=BF,

AB=4

在RtAABF^2AF2=42,解得AF=2或，

???BC=8

???1248c。的面積為BC-AF=8x2a=16V2.

27.(23-24八年級下?重慶永川?期中)如圖，在平行四邊形48CD中，點、E、F分別是邊4。、BC的中點.

______￡_____、D

BFC

(1)求證：AF-CE；

⑵若四邊形4FCE的周長為12,AF=4,AB=3,求平行四邊形4BCD的周長.

【答案】⑴見解析

(2)14

【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質，平行四邊形的周長，掌握平行四邊形的判定與性質是解

題的關鍵.

(1)證明4EIICF且2E=CF得到四邊形2ECF為平行四邊形，繼而得證；

(2)利用四邊形4FCE的周長為12,AF=4,求出CF,繼而求出BC,從而得解.

【詳解】(1)證明：回四邊形A8C。是平行四邊形，

SAD||BC,即力E||CF,AD=BC,

又回點E,尸分別是邊AD,BC的中點，

11

固4E=-AD,CF=-BC,

22

團4E=CF,

團四邊形AECF為平行四邊形，

團4F=CE；

(2)解：由(1)得：四邊形4ECF是平行四邊形，

又回四邊形4FCE的周長為12,即2Q4F+CF)=12,AF=4

0CF=2,

回=2CF=4,,

又加8=3,

回平行四邊形A3CQ的周長=2(AB+3C)=2X(3+4)=14.

28.(22-23八年級下?廣東深圳?期末)已知：如圖，E、尸是回力BCD對角線4C上的兩點.

⑴若4E=CF,求證：四邊形8FDE是平行四邊形；

(2)若。E14C,BF1AC,垂足分別為E、F,NEDF=35。，求NFBE的度數.

【答案】⑴見解析

(2)35°

【分析】(1)連接BD交AC于0,根據E1ABCD,得。B=。￡1,0A=0C,繼可證得0E=OF,即可由

平行四邊形的判定定理得出結論.

(2)先由DE1AC,BF1AC,得出N4ED=NBFC=90。，DEWBF,再證△ADE三△CBF(AAS),得

DE=BF,從而證得四邊形BFOE是平行四邊形，即可根據平行四邊形的性質得NFBE=NEDF=

35°.

【詳解】(1)證明：連接8。交AC于。，

回回力BCD,

0OF=0D,0A=0C,

0X￡=CF,

SAE-OA=CF-OC,即?！?。尸，

回四邊形BFDE是平行四邊形.

(2)解：WE1AC,BF1AC,

^AED=乙BFC=90°,DE\\BF,

S^ABCD,

SAD=BC,ADWBC,

回乙CME=Z.BCF,

在△4￡)￡1和4CBF中，

(/.DAE=LBCF

\/-AED=乙BFC,

(AD=BC

SAADE=△CBF(AAS),

0DE=BF,

回四邊形BFDE是平行四邊形

0ZFBE=AEDF=35°.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質與判定，全等三角形的判定與性質.熟練掌握平行四邊形的性質

與判定是解題的關鍵.

29.(23-24八年級下?廣東揭陽?期末)如圖，在平行四邊形A3C。中，尸是AD的中點，延長8C到點E,

使CE=1BC,連接。E,CF.

（1）求證：四邊形C即尸是平行四邊形；

（2）己知：CD=6,EIA=120。，求EIDCE的底邊CE上的高.

【答案】（［）見解析；（2）3V3

【分析】（1）由平行四邊形的性質可得AL&BC,AD=BC,由線段關系可證即=CE,可得結論；

（2）由平行四邊形的性質可得ABEIC。，EA+EADC=180°,SDCE=EADC,由EA=120。，得到EICDG

=30。，由含30。角的直角三角形的性質和勾股定理可求解.

【詳解】證明：（1）回四邊形ABC。是平行四邊形，

0ADEIBC,AD^BC,

團尸是A。的中點，

SFD=-AD,

2

ECE=-BC,

2

⑦FD=CE,

0FMCE,

回四邊形CEQb是平行四邊形；

（2）過點。作。（窕CE于點G,

團四邊形ABCD是平行四邊形，

她3團CO,AD^BC,

團朋+媯。。=180°,WCE=^ADC,

甌A=120°,

^\DCE=BADC=180°-她=60°,

在R煙。GC中，回DGC=90°,回DCE=60°,

甌CDG=30°,

BCD=6,

1

0CG=-CD=3,

2

故MOE的底邊CE上的高DG=slCD2-CG2=3?。?

【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定和性質，勾股定理，解決本題的關鍵是要熟練掌握平行四邊

形的判定和性質.

30.（22-23八年級下?四川成都?期末）如圖，在團力BCD中，點E,尸在對角線4C上，S.AF=CE,連接

BE,DE,BF,DF.

（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）若NB2C=80°,AB=AF,DC=DF,求NE8F的度數.

【答案】（1）見解析

（2）30°

【分析】（1）根據平行四邊形的對邊相等可得4B=CD,對邊平行可得4B||CD,再根據兩直線平

行，內錯角相等可得NB4F=NOCE,然后利用“邊角邊"證明△力BF三ACDE,故可得出結論；

（2）根據平行四邊形的性質得力B=BE,然后根據等腰三角形的性質即可解決問題.

此題主要考查了平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，解題的關

鍵是得出4ABFdCDE,再由全等三角形的性質得出結論.

【詳解】（1）證明：在回4BCD中，AB=CD,AB||CD,

回N84F=4DCE,

在△439和4CDE中，

-AB=CD

4BAF=乙DCE,

.AF=CE

SAABF=ACDE（SAS）,

^\BF=DE,Z-DEF=Z-BFA,

回E。||BF,

團四邊形BED尸是平行四邊形；

(2)解：回四邊形BEDF是平行四邊形,

回BE=DF,

回AB=DC=DF,

回AB=BE,

^\Z-BEA=ABAC=80°,

^ABE=180°-2X80°=20°,

團48=AF,

^ABF=4AFB=jx（180°-80°）=50°

0Z￡BF=/.ABF-/.ABE=50°-20°=30°.

【題型7】平行四邊形中動點綜合題（重點）

31.（23-24八年級下?河南鶴壁?期末）如圖所示，等邊三角形A8C的邊長為10cm,射線4G||BC,點E從

點A出發沿射線：4G以2cm/s的速度運動，同時點尸從點8出發沿射線BC以3cm/s的速度運動.設運動時

間為ts,當以A,C,E,尸為頂點的四邊形是平行四邊形時，/的值為（）

【答案】D

【分析】本題考查了平行四邊形的判定.此題難度適中，注意掌握分類討論思想、數形結合思想與方

程思想的應用.分別從當點尸在C的左側時與當點F在C的右側時去分析，由當AE=C尸時，以力、C、

E、尸為頂點四邊形是平行四邊形，可得方程，解方程即可求得答案.

【詳解】解：①當點F在C的左側時，根據題意得：AE=2tcm,BF=3tcm,

則CF=BC-BF=10-3t（cm）,

-■?AG||BC,

當月E=CT時，四邊形力ECF是平行四邊形，

即2t=10-3t,

解得：t=2；

②當點F在C的右側時，根據題意得：AE=2tcm,BF=3tcm,

貝UCF=BF-BC=3t-10(cm),

???AG||BC,

當月E=CF時，四邊形4EFC是平行四邊形，

即2t=3t-10,

解得：t=10；

綜上可得：當t=2s或10s時，以力、C、E、F為頂點四邊形是平行四邊形.

故選：D.

32.(23-24八年級下?河北承德,期末)如圖，在四邊形力BCD中，AD\\BC,Z.B=90°,AD=12cm,BC=

15cm.點P從4點出發，以lcm/s的速度向點D運動；同時點Q從點C出發以2cm/s的速度向點B運

動.規定運動時間為t秒，當其中一點到達終點時另一點也同時停止運動.

(1)AP-cm,BQ=cm(分別用含有t的式子表示)；

(2)四邊形4PCQ可能是平行四邊形嗎？說明理由.

⑶當四邊形PQCD的面積是四邊形4BQP面積的2倍時，求出t的值