2024北京重點校高一（下）期末數學匯編

三角函數的圖像與性質

一、單選題

1.（2024北京懷柔高一下期末）下列函數中，周期是兀，又是奇函數的是（）

A.y=sinxB.y=cos2x

C.y=sin21x+：D.y=tanx

2.（2024北京101中學高一下期末）已知奇函數〃x）的圖象的一條對稱軸為直線x=；,那么〃x）的解

析式可以為（）

A.y=sin(37Ex)B.y=cos!x+^-

7171

C.y=sin—x+—D.y=tan(7Lr)

23

3.（2024北京順義高一下期末）下列函數中，以兀為最小正周期，且在區間上單調遞增的是

71

A.y=tanlx+IB.y=|sinx|C.y=cos2xD.y=sinx

7t

4.（2024北京北師大附中高一下期末）設函數/(x)=2sincox---，-其中°>0,0<x<2?r,則“co=2”是“函

6

數y=sinx圖象與產/（x）圖象恰有4個公共點”的（)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

1+cin2X

5.（2024北京海淀高一下期末）已知〃尤）=i+，則下列直線中，是函數/（x）對稱軸的為（）

sinx+cosx

c兀

A.x=0B.%=—c.tD-

16

6.（2024北京延慶高一下期末）設函數y=/0）的定義域為。，若存在常數。滿足［-名可=。，且對任

意的占總存在9目-名勾，使得〃玉）./（-起）=1,稱函數為尸函數，下列說法正確的

是（)

71

A.函數/(x)=tanx是P函數

2兀

B.函數/(%)=cosx是尸函數

C.若函數/（x）=log2（x+。是尸（2）函數,則1=4

71

D.若函數=sinx+b是尸函數，則。=±血

7.（2024北京延慶高一下期末）下列函數中，最小正周期為兀且是偶函數的是（）

A.y=sinxB.y=cos2xC.y=tanxD.y=cosx

8.（2024北京昌平高一下期末）函數〃x）=Atan（s+0）3>O,|利苦）的部分圖象如圖所示，則

9.（2024北京西城高一下期末）方波是一種非正弦曲線的波形，廣泛應用于數字電路、定時器、邏輯控

制、開關電源等領域.理想方波的解析式為y=a+運=1）x,而在實際應用中多采用近似方波發射

M2n-l

信號.如/（x）=sinx+；sin3x+gsin5x+；sin7x就是一種近似情況，則（）

A.函數/（元）是最小正周期為兀的奇函數

B.函數/（x）的對稱軸為x=]+2fct（%eZ）

TT

c.函數/（尤）在區間0,-上單調遞增

D.函數“X）的最大值不大于2

s+A

（2024北京西城高一下期末）已知函數/（x）=sin（ty>0）,“存在九”￡，函數“X）的圖

10.6)嗚

象既關于直線行機對稱，又關于點e，o）對稱”是“。22”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11.（2024北京第八中學高一下期末）已知函數〃x）=Asin?尤+0）（A>0,0,冏苦）的部分圖象如圖

所示，D（5,0）,B（2,A），BC.CD=O,則（）

7171

B./(x)=2A/10sin—x+—

36

71兀

C./(x)=VlOsin—X——D./(x)=+

66

12.(2024北京第八中學高一下期末)下列函數中，最小正周期為兀的偶函數是(

A.y=|cosx|B.y=2sinx

C.y=|sin2x|D.y=cosx

13.(2024北京第八中學高一下期末)已知/(x)Ttan(x+0)|,貝ij“函數/(x)的圖象關于，軸對稱”是

“夕=左乃(左eZ)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

14.(2024北京第八中學高一下期末)已知函數〃x)=sin*°＞。),滿足嚀二樗),且在號苧內恰有

一個最大值點和一個最小值點，則。的值為()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

15.(2024北京北師大附中高一下期末)已知函數f(x)=cos(@x+0)為奇函數，則符合條件的一個。的

取值可以為.

16.(2024北京海淀高一下期末)已知函數/(x)=sin(x+e),g(x)=|cosx|,給出下列四個結論：

①對任意的°eR,函數y=〃x)+g(x)是周期函數；

②存在%WR,使得函數y=/(x)+g(x)在。＜|上單調遞減;

③存在外eR,使得函數尸〃x)g(x)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；

④對任意的°eR,記函數廠(x)=/(x)g(x)的最大值為“(夕)，則

其中所有正確結論的序號是.

17.(2024北京房山高一下期末)命題0：在VABC中，若cosA=sin3,則VABC是直角三角形.能說明

命題P為假命題的一組角為4=,B=.

71兀

sinX,XG

292

18.(2024北京昌平高一下期末)已知函數/(%)=<,則函數“X)的值域

3兀

tanx,xe—,7i

4

為;若關于X的方程/(尤)-。=0恰有三個不相等的實數根，則實數a的取值范圍

為.

19.(2024北京西城高一下期末)已知函數〃x)=cos2x.若非零實數a力，使得/5+。)=妙⑴對xeR

都成立，則滿足條件的一組值可以是“=,b=.(只需寫出一組)

20.(2024北京第八中學高一下期末)設函數〃x)=sin辦，g(x)=x2-x+l,有以下四個結論.

①函數y=〃x)+g(x)是周期函數：

②函數y=/(x)-g(x)的圖像是軸對稱圖形：

③函數y=〃x>g(x)的圖像關于坐標原點對稱：

④函數■f(”x\存在最大值

g(x)

其中，所有正確結論的序號是.

三、解答題

21.(2024北京西城高一下期末)若存在實數上和周期函數/?(力，使得〃x)=^+/z(x),則稱〃x)是好

函數.

⑴判斷”(了)=5血2(%)=》+彳2是否是好函數，證明你的結論；

⑵對任意實數X,函數〃x),g(x)滿足g("尤))=X,f(g(尤))=尤.若“X)是好函數，

(i)當/(x)=2x時，求g(x)；

(ii)求證：f(x)不是周期函數;

(iii)求證：g(x)是好函數.

22.(2024北京懷柔高一下期末)已知函數〃x)=JWsinox?COSS+COS2Gx

從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數/(X)存在且唯一.

條件①：

條件②：/(X)在區間-單調，且/[胃"1]=2；

1萬

條件③：函數g(x)=/(x)-5相鄰兩個零點間的距離為了

選作為條件

(1)求。值;

jrjr

（2）求〃x）在區間-彳冶上的最大值與最小值及對應的x的值.

23.（2024北京延慶高一下期末）已知函數/（x）=2V5sinxcosx+2cos2x-1.

（1）求函數/（x）的最小正周期及單調遞減區間；

（2）當xe0,1時，求函數的最值及取得最值時自變量x的值.

參考答案

1.D

【分析】根據周期公式和奇函數定義判斷各個選項；

【詳解】對于A.y=sinx周期是2兀，A錯誤；

2兀

對于B.y=cos2x周期是一=7i,因為cos（-2x）=cos2x是偶函數，B錯誤；

2

對于C.y=sin2（尤+：）周期是等=兀，因為y=sin2［+3=sin（2x+?=cos2x是偶函數，C錯誤；

對于D.y=tanx周期是71,又是奇函數，D正確；

故選：D.

2.A

【分析】根據三角函數的奇偶性和對稱性逐一分析判斷即可.

【詳解】對于A,函數尸/（無）=初（3叫的定義域為區，

因為/（-X）=-sin（3a）=一/（%）,所以/（%）為奇函數，

因為=所以工=3是）；=$皿（3我）的圖象的一條對稱軸，故A符合題意；

對于B,函數y=/（x）=cos［+：j的定義域為R,

因為了用=0，/（-；］=1，所以函數＞51+：］不是奇函數，故B不符題意；

對于C,函數y=〃x）=singx+3的定義域為R,

因為〃2）=$1“無+3=_曰，〃_2）=$也，兀+3=一咚，

所以函數》=$皿（方x+g］不是奇函數，故C不符題意；

對于D,函數y=tan（7tx）的圖象不是軸對稱圖形，故D不符題意.

故選：A.

3.B

【分析】對于A,y力“無+；）在（0,?）單調遞增，在（?舌）單調遞增，故A錯誤；對于B,作出函數

4442

JT

y二|sinx|的大致圖象，由圖可知，B正確；對于C,函數y=cos2x在（0,萬）單調遞減，故C錯誤；對于

D,函數y=sin（x-；）最小正周期為2兀，故D錯誤.

4

IT

【詳解】對于A,函數y=tan（x+?）的最小正周期為兀，

4

、r,小兀、rt兀/兀3兀、

當工e(°，5)時，”+尸打，

所以?在(。令單調遞增，在內女單調遞減，故A錯誤;

對于B,作出函數y=|sinx|的大致圖象如圖所示，函數y=|sinx|的最小正周期為兀，且在區間(0,多JT單調

2

遞增，故B正確；

7?

對于C,函數y=cos2犬最小正周期為兀，由2E:v2x<7i+2E,k￡Z,得E<%<—+E,左cZ,當左=0

2

時，y=cos2尤在(0,女7T單調遞減，故C錯誤；

對于D,函數y=sin(x-￡)最小正周期為2兀，故D錯誤.

故選：B.

4.A

【分析】本題利用三角函數圖像的平移變換，結合三角方程可推出結果.

【詳解】因為函數/'(元)=2sin[0xq],0>O,O4x<27r,

71

所以0<的〈2麗，所以一一<cox——V2。兀——，

666

①當/=2時，—<a)x—<---,

666

又因為y=2sin(2x-/1的最小正周期7===無，是由y=sinx的圖像經過如下變換得到，先使y=sinx

的圖像縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的;得到y=sin2x,再向右平移三單位得到、=疝2x-^，再

/17\n/

所以由0=2可以推出〉=$皿尤與y=/(￡)的圖像恰好有4個公共點;

②當y=sinx與y=/(x)的圖像恰好有4個公共點時，

IIJI

因為——<cox——<2。兀——，

666

13

所以2兀42口兀JT一2三3TI，確軍得

666

所以。的取值不一定是2,即由y=sinx與y=/(%)的圖像恰好有4個交點不能推出刃=2,

所以“g=2”是“函數y=sinx與)/=/(%)的圖像恰好有4個公共點”的充分而不必要條件.

故選：A.

5.C

【分析】舉例說明判斷ABD；利用軸對稱的意義判斷C.

TT

【詳解】依題意，sinx+cosx^O,解得％W---卜kn,keZ,

4

對于A,/(-)=-1,巧)=1,則函數/⑺的圖象關于尤=。不對稱，A不是;

1.兀

l+sm—

4

對于B,了(0)=1,Nl,則函數f(x)的圖象關于苫=夕不對稱，B不是;

.7171

sin—+cos一lo

88

對于C,——x^—-ku,即巴一xw一二+(1一%)兀，左￡Z,

2442244

I+sin2(--x)

1+sinlx7T

嗎-X))⑺，則函數/⑺的圖象關于xq對稱‘c是;

sin(1_%)+cos(^_%)cosx+sin尤

對于D,/(0)=l,/W=-l,則函數/(%)的圖象關于1不對稱，D不是.

故選：C

6.D

【分析】根據P(。)函數的定義逐個分析判斷，即可得答案.

兀71

【詳解】對于A,〃x)=tanx的定義域為無+,當°=:時，有Oe

494

此時/(x)=tanx無意義,

所以函數"x)=tanx不是函數，所以A錯誤,

2兀r_LT-2—兀'12兀_

對于B,/(X)=8SX的定義域為R,當〃=不時，有卜可cTqR，

33

JTJT12兀2兀11/、1

當玉=1時，/(%)=cos1=5，而9￡-"Y,~3~時，一萬工cos(-9)W1,

22

2兀

所以/a)"(f)=l不成立，所以函數〃x)=cosx不是尸函數，所以B錯誤,

23

對于C,若t=4,則/(x)=log2(x+4),定義域為(Y,+8),0=2時，［-2,2仁(-4,+8),

G

因為￡[—2,2],x2G[—2,2],所以—%—2,2],

當工￡[—2,2]時，X+4G[2,6],所以lKlog2(%+4)Klog26,

若玉=0,則/(x,)=log2(0+4)=2,

H^l</(-x2)<log26,所以〃石)?"—々)=1不成立，所以C錯誤，

IT1T

對于D,〃x)=sinx+b的定義域為R,=R,

兀71

當％￡時，一iWsinxWl,則/(%)￡屹-1涉+1],

因為函數〃x)=sinx+b是尸D函數，

JTJTIT1T

所以對Vx”，總士----,使〃石)?〃一%)=1,

因為-三e,取％=%，則/(西)"(—%)=1,

當占=5時，有(6-1)(6+1)=1,得6=±0,

當6=0時，/(x)=sinx+及在上遞增，

所以時，有/(玉)=sin%+0?[0-1,血+1],

令近一sin無2=—^―=---------j=e[72-l,A/2+l],

/(入)sm國+J2

ITTT

此時sin/?[T[],則有,

所以對Vx1c一封，總叫e-p|,使/(%)?/(一%)=1,

1

7T7TTTTT

當6=-0時，同理對，總叫e，使/(%卜/(一%)=1,

所以6=±0,所以D正確，

故選：D

【點睛】關鍵點點睛：此題考查函數的新定義，考查對數函數、三角函數的性質，解題的關鍵是對函數新

定義的正確理解，考查理解能力和計算能力，屬于難題.

7.B

【分析】先說明ACD不滿足題意，然后結合最小正周期的求法并用偶函數的定義說明B滿足題意即可求

解.

【詳解】正弦函數丁=411X、余弦函數〉=8$工的周期都是2兀，故排除AD,y=tanx是奇函數，故排除

C,

而函數丫=〃司=32%的最小正周期為千=兀,

Tfij/(-%)=cos(-2x)=cos2x=f(x),且>=8$2;?：的定義域是全體實數,

所以y=cos2元是偶函數，即y=cos2x滿足題意.

故選：B.

8.C

【分析】根據圖象，求得/（x）="an!2x+eJ,即可求出結果.

/(0)=Atan0=1

jr5兀兀jr

【詳解】由圖知獷“得到。=2,又由圖知C/57U、.._57t.?9

126/(—)=Atan(2x—+^)=0

由Atan浮+e）=0,得到夕=一學+而，又時＜:,所以夕=g

6626

由Atan?=l,得到A=百，所以/（耳=包:；anI2x+1,

6

13兀后an（2x展+凱國吟）=3,

得到了

12

故選：C.

9.D

【分析】計算/（x+兀）即可求解A,根據〃-x+3兀）與“X）的關系即可求解B,根據特殊值即可求解C,

根據三角函數的有界性即可求解D.

【詳解】對于A,

/(x+7i)=sin(x+7i)+gsin(3x+37i)+：sin(5x+57i)+；sin(7x+77i)=-sinx—gsin3x—：sin5x—；sin7xw/(%)

故A錯誤,

對于B,/(+3兀)=sin％+3兀)+gsin(-3x+9兀)+：sin(-5%+15兀)+gsin(-7x+21K)

=sinx+gsin3x+gsin5x+；sin7x=/(x),

故X也為的一條對稱軸，B錯誤,

V21V21V21V2V2O

-----F—X--------X----------X=14-1-4----<,

2325272357j2----2

7T144xl-lxl=ll±-±>li^,由于77171

+++,故C錯誤,

235272231014236

對于D,f(x\=sinx+—sin3x+—sin5x+—sin7x<1H----1-----F—<2,故D正確,

故選：D

10.B

■jr5

【分析】以。X+B為整體，結合正弦函數對稱性解得進而根據包含關系分析充分、必要條件.

63

【詳解】若存在九0,-,函數/'(X)的圖象既關于直線x="，對稱，又關于點(",0)對稱,

jr71717T71

因為xw0,—,且。＞0,貝|cox+—e—,—+—

26626

JTJT5

則大◎+T2兀，解得。之；，

263

又因為2+8)是的真子集,

所以“存在也o],函數/(x)的圖象既關于直線x=w對稱，又關于點(〃,0)對稱”是“022”的必要不

充分條件.

故選：B.

11.A

【分析】根據函數圖象，利用周期性確定。的值，利用點。代入確定。的值，最后利用反.①=0列出方

程求得A,即得函數解析式.

【詳解】由圖象可知4=5-2=3,則T=12.

4

因為。>0,所以。===當，所以/(尤)=Asin(2x+。

由/⑸=Asin（胃+05兀

=0,得1■O二E,%eZ,

6

因為|夕|<$所以夕=三，則〃x）=Asin「x+￡

6

A__.__,AAA2

故C（0,5）,又因BCCD=（-2,-5>（5,-萬）=一10+彳=0,

解得A=2ji6（因A>0,負根舍去），

所以/（X）=2Jiisin仁X+《

故選：A.

12.A

【分析】根據正弦函數、余弦函數的性質判斷即可.

【詳解】對于A,廣〃力=卜。5尤|定義域為口，

因為f(-X)=|cos(-x)|=|cosx|=f(x),所以函數y=|cosX為偶函數，

因為y=|cosx|的圖象是由y=cosx的圖象在X軸下方的關于X軸對稱后與X軸上方的圖象共同組成(如下

圖所示)，

又了=<20$x的最小正周期為2兀，所以y=|cosx|的最小正周期為兀，故A正確;

九

2-y=|cosx|

對于B：y=2sinx為最小正周期為2兀的奇函數，故B錯誤；

對于C：>=8(力=卜皿2討定義域為口，g(-x)=|sin(-2x)|=|sin2x\=g(x),即y=而2乂為偶函數，

又g［尤+5)=sin2^+^=|sin(2x+7r)|=|-sin2x\=|sin2x\=g(x),所以g為y=而2才的周期，故C錯

誤；

對于D：y=cos尤為最小正周期為2兀的偶函數，故D錯誤；

故選：A

13.B

【分析】求出函數/(%)的圖象關于,軸對稱所滿足的條件，和。=府(左￡z)進行比較

【詳解】/(x)=1an(x+砌關于，軸對稱，則g(x)=tan(x+0)關于原點對稱，故夕=￡,匕eZ,故

左eZ)是可以推出夕=與，k^Z,但°=￥，匕eZ推不出。=左乃(左wZ),故函數/(x)的圖象

關于y軸對稱是(P=k兀也eZ)的必要不充分條件

故選：B

14.D

【解析】由/￡)=/(?),且在?，?］內恰有一個最大值點和一個最小值點，由正弦函數圖像性質可得其最小

正周期為g,根據正弦函數最小正周期計算公式丁=蕓，即可求得。的值.

2㈤

【詳解】函數/(X)=sina>x(a>>0)

由嚀*苧，且在牛爭內恰有一個最大值點和一個最小值點，

7T

正弦函數圖像性質可得其最小正周期為

2萬

根據正弦函數最小正周期計算公式T=「，可得。=4

\a)\

故選:D.

【點睛】本題考查了求正弦函數/"(x)=sin0x(0>O)的。值，掌握正弦函數圖像和最小正周期公式是解本題

的關鍵，考查了分析能力和計算能力,屬于基礎題.

15.y(答案不唯一，°=fai+|■，左eZ)

【分析】由正余弦型函數的奇偶性，結合誘導公式列式求解即得.

jr

【詳解】函數/(無)=cos(0x+°)為奇函數，則。=E+g,左eZ,

所以符合條件的一個。的取值可以%.

故答案為：—

2

16.①②③

5jr

【分析】根據周期函數的定義可以證明①，取9=三時可以判斷②，取。=。時可以判斷③、④.

6

【詳解】對于①，令H(x)=〃x)+g(x),則

2兀)=/(%+2TI)+g(尤+2兀)=sin(x+2兀+0)+|cos(九+2TI)|=sin(x+夕)+|cosx\=H(x),

所以對任意的owR,函數y=/(%)+g(%)是周期函數，故①正確；

對于②，當■￥￡0,|-時，OWcosxWl,所以g(x)=|cos%|=cosx

所以y=f(x)+g(x)=sin(x+^)+cosx,

當夕=3時，y=f(x)+x(x)=sin(x+—)+cosx=sinxcos—+cosxsin—+cosx=-sinx+—cosx

67v76V766622

BPy=-sin^-|^|,

JTJr7T7TI7Ti7T

因為xe0,-,所以,易知y=-sinx-w在0,-上單調遞減，

_zJ336」13J2_

jr

即存在外eR,使得函數y=〃x)+g(x)在0,-上單調遞減，故②正確；

對于③，當0=0時，令G(x)=y=/(x)g(x),即G(x)=sinx|cosx|,易知G(x)定義域為R.

因為G(TT-尤)=sin(兀一%)卜os(兀一x)|=sinx|cosx|=G(尤)

所以G(x)圖象關于軸對稱；

又因為G(-尤)=sin(-x)卜os(-x)|=-sinx|cosx|=-G(x),

所以G(x)為奇函數，圖象關于原點中心對稱，

所以存在%eR,使得函數y=〃x)gG)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；故③正確;

對于④，假設④為假命題，則它的否定：

“存在夕eR,記函數*x)=/(x)g(x)的最大值為M(0),則為真命題，

—sin2x,cosx>0

由③知，當0=0時尸(x)=/(x)g(x)=sinx|cosx|=，］，

——sin2x,cosx<0

所以尸（無Lx=；，所以，存在。?R，函數網耳=/（"8（尤）的最大值為M（。），則所以假設

成立，即④為假命題，

故答案為：①②③.

IT27r

17.y（答案不唯一）-f（答案不唯一）

63

【分析】首先假設cosA=sinB=@>0,得出4臺的可能值，只需滿足VA5c不是直角三角形即可.

2

【詳解】設cosA=sin8=￥>0,因為48?0,兀），所以4哈或8

若A=[,8=4,顯然C=7，

636

所以能說明命題P為假命題的一組角為A=m7T，8=弓917；

63

若A=15°,8=105°,C=60。，則cos15。=sin105。，故A=15。,8=105。也滿足題意;

故答案為：y,=（答案不唯一）.

o3

18.[-1,1];-與，。■

【分析】求出每段函數的值域求并集可得的值域；作出函數〃x）的圖象，根據直線>與函數

/（"的圖象有三個交點可得。的取值范圍.

【詳解】當時，sinxe（-l,l]；

、[,（兀3兀）1（A/2八、

當X￡|—,--時，COSXE.----,0；

124；[2）

當xe時，tanjce[-l,0）.

綜上,函數的值域為

作出函數/（x）的圖象如圖:

因為關于X的方程〃力-4=0恰有三個不相等的實數根,

所以直線y=a與函數/（%）的圖象有三個交點，

由圖可知，_顯<”0,即實數。的取值范圍為1-坐,。.

(正、

故答案為：[T[];--丁,。.

19.兀1

【分析】根據余弦函數的周期性當〃=兀時，b=1滿足題意.

【詳解】若于(x+a)=bf(x),則cos[2(無+a)]=Z?cos2x,

當a=加時，cos2x=/?cos2x,:.b=l,

故可取〃=兀，b=l.

故答案為：兀，1.(答案不唯一).

20.②④

【分析】根據正弦型函數和二次函數的周期性、對稱性、值域進行逐一判斷即可.

27r

【詳解】①：函數/a)=sin"的最小正周期為：同=2,函數g(x)=%2-X+1沒有周期性，所以函數

y=〃x)+g(x)不是周期函數，故本結論不正確；

131

②：因為函數g(x)=f-x+l=(x-])2+z,所以該函數的對稱性為：x=5，

因為d=sin]=l,所以函數〃X)=sin乃X也關于x=1■對稱，

因此函數y=/(x)-g(x)的圖像是軸對稱圖形，故本結論說法正確；

③：令y=P(x)=〃x).g(x),

f(-x)=sin(f尤)=-sin7rx=-f{x),g(一無)=g(x)對于xwR不恒成立，

所以F(-x)=〃-x)?g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x)對于xeR不恒成立，

因此函數y=〃x)-g(x)不是奇函數，故圖象不關于原點對稱，所以本結論說法不正確；

@：因為了出=si吟=1,所以/■(x)V/(；)=l,

13314

H^g(x)=x2-x+l=(x--)2+->-,所以

4

所以y=

g(x)gf3

因此本結論正確，

故答案為：②④

【點睛】關鍵點睛：正確理解函數的周期性和對稱性是解題的關鍵.

21.⑴〃(同是好函數，v(x)不是好函數，證明見解析;

⑵(i)g(尤)=3尤(ii)證明見解析(iii)證明見解析

【分析】(1)根據好函數的定義直接判斷即可；

(2)(i)由所給條件直接得出gq)=g無(H)假設函數為周期函數，推出矛盾可證明函數不是周期函數

(iii)證明函數為好函數轉化為證明r(x)=g(尤)-1尤為周期函數，再由函數周期的性質化簡即可得證.

【詳解】(1)因為〃(x)=Ox+sinx,其中sinx為周期函數，所以a(x)為好函數，、

若v(x)=x+x2為好函數，則存在實數上和周期函數/z(x),使得v(x)="+->),

所以〃(x)=Y+0一左卜為周期函數，又由二次函數性質知當且僅當x=?時，

取最小值，這與人。)是周期函數矛盾，

所以v(x)不是好函數.

⑵(i)由g(/(x))=x,/(g(x))=x,〃x)=2x,

可得g(元)=；尤.

(ii)若/(x)是周期函數，設T(T>。)是f(x)的一個周期，

貝U元=g(f(x))=g(f(x+T))=x+T,這與T>0矛盾，

所以f(x)不是周期函數.

(iii)因為/(x)是好函數，所以存在實數%和周期函數力(X),使得/(尤)=立+以力，

由(ii)知)*0,否則/'(X)是周期函數，矛盾.

令r(無)=g(尤)一〈尤,

以下證,。)是以上T為周期的周期函數，T是/7(x)的周期，

1Y

r^x+kT^-r(x)=g(x+AT)—工(％+左T)=g(%)—1=g(x+kT)=g(%)+T

假設存在玉。工2，使得%=/(%)=/(九2)，

則g(yo)=g(〃xi))"，g(y())=g(/(x2))=x2，矛盾.

所以g(x+kT)=g(x)+Tof(g(x+kT))=f(g(x)+T)

<^x+kT=左(g(x)+T)+/z(g(x)+T)oa=kg(x)+/?(§(%))=/(g(%)),

所以r(x+kT)=r(x).

所以g(x)=；x+r(-x)是好函數.

K

【點睛】關鍵點點睛：證明g(x)是好函數，即證存在實數?和周期函數《X),使得

K

8(%)=\尤+/(無)，據此可構造函數r(無)=g(x)-〈無，轉化為證明,⑶是以0為周期的周期函數，再由周

KK

期函數的定義證明即可.

22.(1)^=1

X

⑵當X=q時,當X=￡時,/()max=|

【分析】先化簡/(x),(1)若選條件，分別求解。，舍掉不滿足了(%)存在且唯一，逐一檢驗即可得解,

(2)由(1)得到了(元)解析式，求出相位范圍即可求解.

1

【