3.4數學建模活動：決定蘋果的最佳出售時間點人教B版（2019）必修第一冊第二章

等式與不等式學習目標掌握數學建模中的數據擬合01了解數學建模過程02探索新知數學建模活動是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的過程．主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、構建模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題．數學建模活動是基于數學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，是高中階段數學課程的重要內容．數學建模是連接數學和現實世界的橋梁．下面我們用實例來介紹，怎樣從現實世界中發現問題，如何通過數學建模來求解特定的問題，并探討怎樣整理數學建模的結果．探索新知建模過程描述與介紹俗話說，“物以稀為貴”一般來說，當市面上某種商品的出售量比較多時，這種商品的價格就會比較低；而出售量比較少時，價格就會比較高．例如，當市面上的蘋果比較多時，蘋果的價格就會降低．這時，如果將蘋果利用一定的技術手段進行保鮮存儲，等到市面上的蘋果變少、價格上升之后再出售，則同樣多的蘋果就可以獲得比較高的銷售收入．不過，需要注意的是，保鮮存儲是有成本的，而且成本會隨著時間的延長而增大．針對上述這種日常生活中的現象，我們可以提出一些什么問題呢？探索新知建模過程描述與介紹當然，我們可以探討的問題很多．例如，為什么會發生這些現象？什么情況下不會發生這樣的現象？能夠利用哪些技術手段進行保鮮存儲？哪種保鮮存儲的成本最低？等等．類似的這些問題，因為不僅僅涉及量的關系，所以如果只用數學手段研究，將是十分困難的．不過，上述現象中，涉及了量的增大與減少的問題，這可以用數學符號和語言進行描述．仍以蘋果為例，設市面上蘋果的量為

x萬噸，蘋果的單價為

y元，上述現象說明，y會隨著

x的增大而減少，且

y也會隨著

x的減少而增大——也就是說，如果

y是

x的函數并記作

y＝f

(x)的話，f

(x)是減函數．同樣地，如果設保鮮存儲的時間為

t天，單位數量的保鮮存儲成本為

C元，且C是

t的函數并記作

C＝g(t)的話，g(t)是一個增函數．由于市面上蘋果的量

x會隨著時間

t的變化而變化，因此可以認為

x是

t的函數，并記作

x＝h(t)．探索新知探索新知從上面這些描述不難看出，在第

t天出售蘋果時，單位數量的蘋果所獲得的收益

z元可以用

t表示出來，即z＝y－C＝f(x)－g(t)＝f(h(t))－g

(t)．此時，如果

f(x)，g(t)，h(t)都是已知的，則能得到

z與

t的具體關系式．有了關系式之后，就能解決如下問題：z是否有最大值？如果

z有最大值，那么

t為多少時

z取最大值？問題：怎樣才能確定上述

f(x)，g(t)，h(t)呢？這可以通過合理假設以及收集數據、確定參數來完成．探索新知例如，為了簡單起見，我們可以假設

f(x)和

g(t)都是一次函數，且

f(x)＝k1x＋L1，g(t)＝k2t＋L2；并假設

h(t)是一個二次函數，且

h(t)＝at2＋bt＋c．其中

k1＜0，k2＞0，a≠0．z＝f(h

(t))－g

(t)＝k1at2＋

(k1b一k2)t＋k1c＋L1－L2，上述各參數可以通過收集實際數據來確定．探索新知如果我們收集到了如下實際數據．x/萬噸8.47.6y/元0.81.2t/天12C/元0.110.12t/天123x/萬噸9.4629.3289.198利用待定系數法，根據前面的假設就可以確定出y＝f(x)＝－0.5x＋5，C＝g(t)＝0.01t＋0.1，x＝h

(t)＝0.002t2－0.14t＋9.6，因此z＝－0.001t2＋0.06t＋0.1．探索新知如果我們收集到了如下實際數據．x/萬噸8.47.6y/元0.81.2t/天12C/元0.110.12t/天123x/萬噸9.4629.3289.198注意到上式可以改寫成

z＝－0.001(t－30)2＋1，所以此時在

t＝30時，z取最大值1．也就是說，在上述情況下，保鮮存儲30天時，單位商品所獲得的利潤最大，為1元．這樣一來，我們就建立了一個決定蘋果的最佳出售時間點的模型，并通過有關數據進行了說明．探索新知當然，實際情況與上面的建模結果可能會出現偏差．因為我們假設

f(x)和

g(t)都是一次函數等就已經把問題進行了簡化，如果條件容許的話，可以先不假設函數的具體形式，在收集盡量多的數據的基礎上，通過對數據的分析來最終得出函數的具體形式，這樣也就能優化我們最終建立的模型．探索新知以上我們用敘述的方式，讓大家經歷了一個簡單的數學建模全過程．由此可以看出，對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題就是數學建模．數學建模過程主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，驗證結果、改進模型，最終解決實際問題．在實際的數學建模過程中，為了向別人介紹數學建模的成果，給別人提供參考，我們還需要將建模結果整理成論文的形式．探索新知一般來說，數學建模論文的結構可以按照建模過程來確定例如，圖左、圖中、圖右所示都可以是數學建模論文的主題結構．探索新知當然，數學建模論文中還可以根據需要增加作者、摘要、參考文獻、附錄等信息．需要提醒的是，對于一些綜合性比較大的問題而言，數學建模的過程中需要做的事情比較多，比如數據收集與整理、模型試算、對比不同的模型、將結果以可視化方式顯示、資料整理與論文撰寫等，因此數學建模的過程中，往往采用分工合作的方式進行．一般來說，一個數學建模小組由3－5人組成．理想的小組中，既要有數學基礎扎實的同學，也要有能熟練使用計算機的同學，還要有寫作表達能力強的同學．探索新知示例國民收入、消費與投資的關系在政府文件中，我們經常可以看到有關經濟增長與投資、消費的內容．例如，《國務院關于促進創業投資持續健康發展的若干意見》（國發[2016]53號）指出：“近年來，我國創業投資快速發展，不僅拓寬了創業企業投融資渠道、促進了經濟結構調整和產業轉型升級，增強了經濟發展新動能，也提高了直接融資比重、拉動了民間投資服務實體經濟，激發了創業創新、促進了就業增長．”1．發現問題、提出問題探索新知示例國民收入、消費與投資的關系1．發現問題、提出問題2016年11月，《國務院辦公廳關于進一步擴大旅游文化體育健康養老教育培訓等領域消費的意見》（國辦發[2016]85號）指出：“當前，我國國內消費持續穩定增長，為經濟運行總體平穩、穩中有進發揮了基礎性作用．順應群眾期盼，以改革創新增加消費領域特別是服務消費領域有效供給、補上短板，有利于改善民生、促進服務業發展和經濟轉型升級、培育經濟發展新動能．”探索新知示例國民收入、消費與投資的關系1．發現問題、提出問題習慣上，人們總是用收入來衡量經濟狀況，因此所謂經濟增長或者經濟發展，通常指的是收入增加．那么，怎樣描述投資與經濟增長之間的關系呢？為什么說消費增長有利于經濟發展呢？這些現象能用數學語言來描述嗎？探索新知示例國民收入、消費與投資的關系2．分析問題、建立模型要用數學語言描述經濟增長、投資、消費之間的關系，實際上是要研究國民收入（簡稱為收入，用Y表示）、國民投資（簡稱為投資，用l表示）、國民消費（簡稱為消費，用C表示）之間的關系．(1)收入、投資、消費都用同一單位來衡量，為了方便，以下均省略單位；為了簡單起見，可以做出以下假設：探索新知示例國民收入、消費與投資的關系2．分析問題、建立模型(2)收入只用于投資和消費；(3)消費可以分為兩部分，一部分為基本消費（用

C0

表示），另一部分與收入成正比，比例系數為

a．值得注意的是，以上假設都是合理的．例如一個家庭的收入，一般而言，不是用于投資

(比如儲蓄、購買理財產品等)，就是用于消費

(比如家庭成員的生活支出等)；一個家庭的消費，一部分用于滿足基本生活需求

(比如購買食品等)，而另一部分則依賴于收入的多少

(比如家庭成員的旅游支出等)．探索新知示例國民收入、消費與投資的關系2．分析問題、建立模型由假設可知，收入、投資、消費之間的關系可描述為在經濟學中，這通常稱為凱恩斯靜態模型，因為這是英國經濟學家凱恩斯最先得出的．Y＝C＋I，C＝C0＋aY．一此經濟現象，可以通過凱恩斯靜態模型中量之間的關系來體現．例如，如果不存在透支消費，那就意味著消費不大于收入，即

C≤Y，因此

aY＜C0＋aY≤Y，從而有

a＜1．探索新知示例國民收入、消費與投資的關系2．分析問題、建立模型另外，如果將消費看成收入的函數，則這個函數在任意區間[Y1，Y2]內的平均變化率均為這表示收入每增加一個單位，消費將增加

a個單位．因此，a通常稱為邊際消費傾向．探索新知示例國民收入、消費與投資的關系3．確定參數、計算求解（1）收入與消費的關系為了探討經濟增長（即收入）與消費的關系，可以將收入看成消費的函數，即，其中

C0與

a均為參數．可以算出，這個函數在任意區間內的平均變化率均為，這表示消費每增加一個單位，收入將增加個單位．探索新知示例國民收入、消費與投資的關系3．確定參數、計算求解（1）收入與消費的關系可以看到，消費增長5個單位時，收入增加了6.25個單位．例如，當

C0＝10，時，有，因此：如果消費

C＝30，那么如果消費

C＝35，那么探索新知示例國民收入、消費與投資的關系3．確定參數、計算求解（2）收入與投資的關系為了探討經濟增長（即收入）與投資的關系，可以將收入看成投資的函數，通過消去

C求解

Y可得，此時，C0與

a均為參數可以算出，這個函數在任意區間內的平均變化率均為這表示投資每增加1個單位，收入將增加個單位．探索新知示例國民收入、消費與投資的關系3．確定參數、計算求解（2）收入與投資的關系如果投資

I＝15，那么

Y＝5×15＋50＝125．例如，當

C0＝10，時，有

Y＝5I＋50，因此：如果投資

I＝10，那么

Y＝5×10＋50＝100；可以看到，投資增長5個單位時，收入增加了25個單位．探索新知示例國民收入、消費與投資的關系4．驗證結果、改進模型從上述計算結果可以看出，當消費增長或者投資增長時，都將導致收入增加（這樣一來，我們也就完成了本章導語中投資與經濟增長之間關系問題的解答）．而且，一般情況下，收入增加比消費增長