3.4數(shù)學(xué)建模活動(dòng)：決定蘋果的最佳出售時(shí)間點(diǎn)人教B版（2019）必修第一冊(cè)第二章

等式與不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握數(shù)學(xué)建模中的數(shù)據(jù)擬合01了解數(shù)學(xué)建模過程02探索新知數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程．主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題．?dāng)?shù)學(xué)建模活動(dòng)是基于數(shù)學(xué)思維運(yùn)用模型解決實(shí)際問題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)，是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容．?dāng)?shù)學(xué)建模是連接數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界的橋梁．下面我們用實(shí)例來介紹，怎樣從現(xiàn)實(shí)世界中發(fā)現(xiàn)問題，如何通過數(shù)學(xué)建模來求解特定的問題，并探討怎樣整理數(shù)學(xué)建模的結(jié)果．探索新知建模過程描述與介紹俗話說，“物以稀為貴”一般來說，當(dāng)市面上某種商品的出售量比較多時(shí)，這種商品的價(jià)格就會(huì)比較低；而出售量比較少時(shí)，價(jià)格就會(huì)比較高．例如，當(dāng)市面上的蘋果比較多時(shí)，蘋果的價(jià)格就會(huì)降低．這時(shí)，如果將蘋果利用一定的技術(shù)手段進(jìn)行保鮮存儲(chǔ)，等到市面上的蘋果變少、價(jià)格上升之后再出售，則同樣多的蘋果就可以獲得比較高的銷售收入．不過，需要注意的是，保鮮存儲(chǔ)是有成本的，而且成本會(huì)隨著時(shí)間的延長(zhǎng)而增大．針對(duì)上述這種日常生活中的現(xiàn)象，我們可以提出一些什么問題呢？探索新知建模過程描述與介紹當(dāng)然，我們可以探討的問題很多．例如，為什么會(huì)發(fā)生這些現(xiàn)象？什么情況下不會(huì)發(fā)生這樣的現(xiàn)象？能夠利用哪些技術(shù)手段進(jìn)行保鮮存儲(chǔ)？哪種保鮮存儲(chǔ)的成本最低？等等．類似的這些問題，因?yàn)椴粌H僅涉及量的關(guān)系，所以如果只用數(shù)學(xué)手段研究，將是十分困難的．不過，上述現(xiàn)象中，涉及了量的增大與減少的問題，這可以用數(shù)學(xué)符號(hào)和語言進(jìn)行描述．仍以蘋果為例，設(shè)市面上蘋果的量為

x萬噸，蘋果的單價(jià)為

y元，上述現(xiàn)象說明，y會(huì)隨著

x的增大而減少，且

y也會(huì)隨著

x的減少而增大——也就是說，如果

y是

x的函數(shù)并記作

y＝f

(x)的話，f

(x)是減函數(shù)．同樣地，如果設(shè)保鮮存儲(chǔ)的時(shí)間為

t天，單位數(shù)量的保鮮存儲(chǔ)成本為

C元，且C是

t的函數(shù)并記作

C＝g(t)的話，g(t)是一個(gè)增函數(shù)．由于市面上蘋果的量

x會(huì)隨著時(shí)間

t的變化而變化，因此可以認(rèn)為

x是

t的函數(shù)，并記作

x＝h(t)．探索新知探索新知從上面這些描述不難看出，在第

t天出售蘋果時(shí)，單位數(shù)量的蘋果所獲得的收益

z元可以用

t表示出來，即z＝y(tǒng)－C＝f(x)－g(t)＝f(h(t))－g

(t)．此時(shí)，如果

f(x)，g(t)，h(t)都是已知的，則能得到

z與

t的具體關(guān)系式．有了關(guān)系式之后，就能解決如下問題：z是否有最大值？如果

z有最大值，那么

t為多少時(shí)

z取最大值？問題：怎樣才能確定上述

f(x)，g(t)，h(t)呢？這可以通過合理假設(shè)以及收集數(shù)據(jù)、確定參數(shù)來完成．探索新知例如，為了簡(jiǎn)單起見，我們可以假設(shè)

f(x)和

g(t)都是一次函數(shù)，且

f(x)＝k1x＋L1，g(t)＝k2t＋L2；并假設(shè)

h(t)是一個(gè)二次函數(shù)，且

h(t)＝at2＋bt＋c．其中

k1＜0，k2＞0，a≠0．z＝f(h

(t))－g

(t)＝k1at2＋

(k1b一k2)t＋k1c＋L1－L2，上述各參數(shù)可以通過收集實(shí)際數(shù)據(jù)來確定．探索新知如果我們收集到了如下實(shí)際數(shù)據(jù)．x/萬噸8.47.6y/元0.81.2t/天12C/元0.110.12t/天123x/萬噸9.4629.3289.198利用待定系數(shù)法，根據(jù)前面的假設(shè)就可以確定出y＝f(x)＝－0.5x＋5，C＝g(t)＝0.01t＋0.1，x＝h

(t)＝0.002t2－0.14t＋9.6，因此z＝－0.001t2＋0.06t＋0.1．探索新知如果我們收集到了如下實(shí)際數(shù)據(jù)．x/萬噸8.47.6y/元0.81.2t/天12C/元0.110.12t/天123x/萬噸9.4629.3289.198注意到上式可以改寫成

z＝－0.001(t－30)2＋1，所以此時(shí)在

t＝30時(shí)，z取最大值1．也就是說，在上述情況下，保鮮存儲(chǔ)30天時(shí)，單位商品所獲得的利潤(rùn)最大，為1元．這樣一來，我們就建立了一個(gè)決定蘋果的最佳出售時(shí)間點(diǎn)的模型，并通過有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行了說明．探索新知當(dāng)然，實(shí)際情況與上面的建模結(jié)果可能會(huì)出現(xiàn)偏差．因?yàn)槲覀兗僭O(shè)

f(x)和

g(t)都是一次函數(shù)等就已經(jīng)把問題進(jìn)行了簡(jiǎn)化，如果條件容許的話，可以先不假設(shè)函數(shù)的具體形式，在收集盡量多的數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，通過對(duì)數(shù)據(jù)的分析來最終得出函數(shù)的具體形式，這樣也就能優(yōu)化我們最終建立的模型．探索新知以上我們用敘述的方式，讓大家經(jīng)歷了一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模全過程．由此可以看出，對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題就是數(shù)學(xué)建模．?dāng)?shù)學(xué)建模過程主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題．在實(shí)際的數(shù)學(xué)建模過程中，為了向別人介紹數(shù)學(xué)建模的成果，給別人提供參考，我們還需要將建模結(jié)果整理成論文的形式．探索新知一般來說，數(shù)學(xué)建模論文的結(jié)構(gòu)可以按照建模過程來確定例如，圖左、圖中、圖右所示都可以是數(shù)學(xué)建模論文的主題結(jié)構(gòu)．探索新知當(dāng)然，數(shù)學(xué)建模論文中還可以根據(jù)需要增加作者、摘要、參考文獻(xiàn)、附錄等信息．需要提醒的是，對(duì)于一些綜合性比較大的問題而言，數(shù)學(xué)建模的過程中需要做的事情比較多，比如數(shù)據(jù)收集與整理、模型試算、對(duì)比不同的模型、將結(jié)果以可視化方式顯示、資料整理與論文撰寫等，因此數(shù)學(xué)建模的過程中，往往采用分工合作的方式進(jìn)行．一般來說，一個(gè)數(shù)學(xué)建模小組由3－5人組成．理想的小組中，既要有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)的同學(xué)，也要有能熟練使用計(jì)算機(jī)的同學(xué)，還要有寫作表達(dá)能力強(qiáng)的同學(xué)．探索新知示例國民收入、消費(fèi)與投資的關(guān)系在政府文件中，我們經(jīng)常可以看到有關(guān)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)與投資、消費(fèi)的內(nèi)容．例如，《國務(wù)院關(guān)于促進(jìn)創(chuàng)業(yè)投資持續(xù)健康發(fā)展的若干意見》（國發(fā)[2016]53號(hào)）指出：“近年來，我國創(chuàng)業(yè)投資快速發(fā)展，不僅拓寬了創(chuàng)業(yè)企業(yè)投融資渠道、促進(jìn)了經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)調(diào)整和產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)，增強(qiáng)了經(jīng)濟(jì)發(fā)展新動(dòng)能，也提高了直接融資比重、拉動(dòng)了民間投資服務(wù)實(shí)體經(jīng)濟(jì)，激發(fā)了創(chuàng)業(yè)創(chuàng)新、促進(jìn)了就業(yè)增長(zhǎng)．”1．發(fā)現(xiàn)問題、提出問題探索新知示例國民收入、消費(fèi)與投資的關(guān)系1．發(fā)現(xiàn)問題、提出問題2016年11月，《國務(wù)院辦公廳關(guān)于進(jìn)一步擴(kuò)大旅游文化體育健康養(yǎng)老教育培訓(xùn)等領(lǐng)域消費(fèi)的意見》（國辦發(fā)[2016]85號(hào)）指出：“當(dāng)前，我國國內(nèi)消費(fèi)持續(xù)穩(wěn)定增長(zhǎng)，為經(jīng)濟(jì)運(yùn)行總體平穩(wěn)、穩(wěn)中有進(jìn)發(fā)揮了基礎(chǔ)性作用．順應(yīng)群眾期盼，以改革創(chuàng)新增加消費(fèi)領(lǐng)域特別是服務(wù)消費(fèi)領(lǐng)域有效供給、補(bǔ)上短板，有利于改善民生、促進(jìn)服務(wù)業(yè)發(fā)展和經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型升級(jí)、培育經(jīng)濟(jì)發(fā)展新動(dòng)能．”探索新知示例國民收入、消費(fèi)與投資的關(guān)系1．發(fā)現(xiàn)問題、提出問題習(xí)慣上，人們總是用收入來衡量經(jīng)濟(jì)狀況，因此所謂經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)或者經(jīng)濟(jì)發(fā)展，通常指的是收入增加．那么，怎樣描述投資與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)之間的關(guān)系呢？為什么說消費(fèi)增長(zhǎng)有利于經(jīng)濟(jì)發(fā)展呢？這些現(xiàn)象能用數(shù)學(xué)語言來描述嗎？探索新知示例國民收入、消費(fèi)與投資的關(guān)系2．分析問題、建立模型要用數(shù)學(xué)語言描述經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)、投資、消費(fèi)之間的關(guān)系，實(shí)際上是要研究國民收入（簡(jiǎn)稱為收入，用Y表示）、國民投資（簡(jiǎn)稱為投資，用l表示）、國民消費(fèi)（簡(jiǎn)稱為消費(fèi)，用C表示）之間的關(guān)系．(1)收入、投資、消費(fèi)都用同一單位來衡量，為了方便，以下均省略單位；為了簡(jiǎn)單起見，可以做出以下假設(shè)：探索新知示例國民收入、消費(fèi)與投資的關(guān)系2．分析問題、建立模型(2)收入只用于投資和消費(fèi)；(3)消費(fèi)可以分為兩部分，一部分為基本消費(fèi)（用

C0

表示），另一部分與收入成正比，比例系數(shù)為

a．值得注意的是，以上假設(shè)都是合理的．例如一個(gè)家庭的收入，一般而言，不是用于投資

(比如儲(chǔ)蓄、購買理財(cái)產(chǎn)品等)，就是用于消費(fèi)

(比如家庭成員的生活支出等)；一個(gè)家庭的消費(fèi)，一部分用于滿足基本生活需求

(比如購買食品等)，而另一部分則依賴于收入的多少

(比如家庭成員的旅游支出等)．探索新知示例國民收入、消費(fèi)與投資的關(guān)系2．分析問題、建立模型由假設(shè)可知，收入、投資、消費(fèi)之間的關(guān)系可描述為在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，這通常稱為凱恩斯靜態(tài)模型，因?yàn)檫@是英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家凱恩斯最先得出的．Y＝C＋I(xiàn)，C＝C0＋aY．一此經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，可以通過凱恩斯靜態(tài)模型中量之間的關(guān)系來體現(xiàn)．例如，如果不存在透支消費(fèi)，那就意味著消費(fèi)不大于收入，即

C≤Y，因此

aY＜C0＋aY≤Y，從而有

a＜1．探索新知示例國民收入、消費(fèi)與投資的關(guān)系2．分析問題、建立模型另外，如果將消費(fèi)看成收入的函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)在任意區(qū)間[Y1，Y2]內(nèi)的平均變化率均為這表示收入每增加一個(gè)單位，消費(fèi)將增加

a個(gè)單位．因此，a通常稱為邊際消費(fèi)傾向．探索新知示例國民收入、消費(fèi)與投資的關(guān)系3．確定參數(shù)、計(jì)算求解（1）收入與消費(fèi)的關(guān)系為了探討經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)（即收入）與消費(fèi)的關(guān)系，可以將收入看成消費(fèi)的函數(shù)，即，其中

C0與

a均為參數(shù)．可以算出，這個(gè)函數(shù)在任意區(qū)間內(nèi)的平均變化率均為，這表示消費(fèi)每增加一個(gè)單位，收入將增加個(gè)單位．探索新知示例國民收入、消費(fèi)與投資的關(guān)系3．確定參數(shù)、計(jì)算求解（1）收入與消費(fèi)的關(guān)系可以看到，消費(fèi)增長(zhǎng)5個(gè)單位時(shí)，收入增加了6.25個(gè)單位．例如，當(dāng)

C0＝10，時(shí)，有，因此：如果消費(fèi)

C＝30，那么如果消費(fèi)

C＝35，那么探索新知示例國民收入、消費(fèi)與投資的關(guān)系3．確定參數(shù)、計(jì)算求解（2）收入與投資的關(guān)系為了探討經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)（即收入）與投資的關(guān)系，可以將收入看成投資的函數(shù)，通過消去

C求解

Y可得，此時(shí)，C0與

a均為參數(shù)可以算出，這個(gè)函數(shù)在任意區(qū)間內(nèi)的平均變化率均為這表示投資每增加1個(gè)單位，收入將增加個(gè)單位．探索新知示例國民收入、消費(fèi)與投資的關(guān)系3．確定參數(shù)、計(jì)算求解（2）收入與投資的關(guān)系如果投資

I＝15，那么

Y＝5×15＋50＝125．例如，當(dāng)

C0＝10，時(shí)，有

Y＝5I＋50，因此：如果投資

I＝10，那么

Y＝5×10＋50＝100；可以看到，投資增長(zhǎng)5個(gè)單位時(shí)，收入增加了25個(gè)單位．探索新知示例國民收入、消費(fèi)與投資的關(guān)系4．驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型從上述計(jì)算結(jié)果可以看出，當(dāng)消費(fèi)增長(zhǎng)或者投資增長(zhǎng)時(shí)，都將導(dǎo)致收入增加（這樣一來，我們也就完成了本章導(dǎo)語中投資與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)之間關(guān)系問題的解答）．而且，一般情況下，收入增加比消費(fèi)增長(zhǎng)