§9.3一元線性回歸模型及其應用

【考試要求】L了解樣本相關系數的統計含義.2.了解最小二乘法原理，掌握一元線性回歸模

型參數的最小二乘估計方法.3.針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預測.

■落實主干知識

【知識梳埋】

1.變量的相關關系

(1)相關關系：兩個變量,但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一

個的程度，這種關系稱為相關關系.

(2)相關關系的分類：和.

⑶線性相關：一般地，如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關，而且散點落在

附近，我們就稱這兩個變量線性相關.

2.樣本相關系數

(2)當時，稱成對樣本數據：當*0時，稱成對樣本數據.

(3)|r|Wl；當)越接近1時，成對樣本數據的線性相關程度越_______；當5越接近0

時，成對樣本數據的線性相關程度越.

3.一元線性回歸模型

⑴我們將尸&稱為關于x的經驗回歸方程,

/年一xy>-y

b=---------=—

其中，3L/

、a=y—bx.

(2)殘差：觀測值減去稱為殘差.

【常用結論】

1.經驗回歸直線過點(x,y).

—〃xy

??7=1

2.求洞，常用公式匕=------------.

Z總一〃x2

/-!

3.回歸分析和獨立性檢驗都是基于成對樣本觀測數據進行估計或推斷，得出的結論都可能

犯錯誤.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）相關關系是一種非確定性關系.（）

（2）散點圖是判斷兩個變量相關關系的一種重要方法和手段.（）

⑶經驗回歸直線至少經過點（小，，），（必，乂），…，（無，％）中的一個點.（）

（4）樣本相關系數的絕對值越接近1,成對樣本數據的線性相關程度越強.（）

【教材改編題】

1.在對兩個變量筋y進行回歸分析時有下列步驟：

①對所求出的經驗回歸方程作出解釋：②收集數據（%,%），＞=1,2,…，〃：③求經險回歸

方程：④根據所收集的數據繪制散點圖.

則下列操作順序正確的是（）

A.①②??B.③②④①

C.②③??D.②④③①

2.對「X,y兩變量，有四組成對樣本數據，分別算山它們的樣本相關系數「如下，則線性

相關性最強的是（）

A.-0.82B.0.78C.-0.69D.0.87

3.某單位為了了解辦公樓用電量y（度）與氣溫x（C）之間的關系，隨機統計了四個工作日的

用電量與當天平均氣溫，并制作了對照表：

氣溫（C）181310-1

用電量（度）24343864

由表中數據得到經驗回歸方程y=-2x+a,當氣溫為一4℃時，預測用電量約為（）

A.68度B.52度C.12度D.28度

■探究核心題型

題型一成對數據的相關性

例1（1）（2023?保定模擬）已知兩個變量x和y之間有線性相關關系，經調查得到如下樣本

數據:

X34567

y3.52.41.1-0.2—1.3

根據表格中的數據求得經驗回歸方程為y=bx+a,則下列說法中正確的是()

A.a〉0,b>0B.a>0,伙0

C.XO,力0D.a<0,僅0

(2)對兩個變量尤y進行線性相關分析，得到樣本相關系數八=0.8995,對兩個變量u,r

進行線性相關分析，得到樣本相關系數及=-0.9568,則下列判斷正確的是()

A,變量x與p正相關，變量〃與『負相關，變量x與y的線性相關性較強

B.變量x與y負相關，變量〃與。正相關，變量x與y的線性相關性較強

C.變量x與y正相關，變量〃與『負相關，變量〃與y的線性相關性較強

D.變量x與j，負相關，變量u與p正相關，變量u與，，的線性相關性較強

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思維升華判定兩個變量相關性的方法

(1)畫散點圖：若點的分布從左下角到右上角，則兩個變最正相關；若點的分布從左上角到

右下角，則兩個變量負相關.

(2)樣本相關系數：當r>C時，正相關；當K0時，負相關；廳|越接近1,相關性越強.

(3)經驗回歸方程：當入0時，正相關；當叢0時，負相關.

跟蹤訓練1(1)某公司2017?2022年的年利潤x(單位：百萬元)與年廣告支出y(單位：百

萬元)的統計資料如表所示：

年份201720182019202020212022

利潤X12.214.6161820.422.3

支出y0.620.740.810.8911.11

根據統計資料，則利潤中位數()

A.是16,才與夕有正相關關系

B.是17,x與y有正相關關系

C.是17,x與y有負相關關系

D.是18,x與y有負相關關系

(2)已知相關變量x和y的散點圖如圖所示，若用y=b\,ln(4x)與y=%v+A擬合時的樣

本相關系數分別為門，。則比較口，心的大小結果為()

A.r\>r2

C.D.不確定

題型二回歸模型

命題點1一元線性回歸模型

例2(2023?蚌埠模擬)某商業銀行對存款利率與口存款總量的關系進行調研，發現存款利

率每上升一定的百分點，日均存款總額就會發生一定的變化，經過統計得到下表：

利率上升百分點X0.10.20.30.40.5

日均存款總額y(億元)0.20.350.50.650.8

(1)在給出的坐標系中畫出卜.表數據的散點圖:

(2)根據.上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的經驗回歸方程了="+身

(3)已知現行利率卜的口均存款總額為0.625億元，試根據(2)中的經驗回歸方程，預測口均

存款總額為現行利率下的2倍時，利率需上升多少個百分點？

2必六一〃xy

參考公式及數據：①方=-------------

n__

22

工XLfix

?__A__55

a=y—bx,②9,g第=0.55.

/=!/=!

命題點2非線性回歸模型

例3（2023?保山模擬）某縣為了解鄉村經濟發展情況，對全縣鄉村經濟發展情況進行調研,

現對2013年以來的鄉村經濟收入近單位：億元）進行了統計分析，制成如圖所示的散點圖,

其中年份代碼x的值1一10分別對應2013年至2022年.

加鄉村經濟收入、（億元）

80.***

7。.???.

60.,

012345678910年份代碼x

⑴若用模型①尸a+H,②片a+/加擬合y與x的關系，其樣本相關系數分別為八=0.851

9,尼=0.9901,試判斷哪個模型的相關程度更強？

（2）根據（1）中相關程度更強的模型，求y關于x的經驗回歸方程（系數精確到0.01）,并估

計該縣2026年的鄉村經濟收入（精確到0.01）.

___11(1

參考數據：ti=F，7=而斗，713^3.606,{1^3.742,共23.873.

x)?(y-?"

%-7)2

7i((x,—xy

y/=1/=1

T)

72.652.25126.254.52235.4849.16

參考公式：對于一組數據（右，y）,（右，鹿），…，（&,,%）,經驗回歸方程y=0r+a中的斜

.普一￡六一y._.

率和截距的最小二乘估計公式分別為〃=-------=—,a=~-iTi.

nt-t

/=l

思維升華求經驗回歸方程的步驟

計算出元無或*（x,-x）（y（-y）,

￡（憶一幻2的值

q

利用公式計算逐

寫出經臉回歸方程R=Rr+aj

跟蹤訓練2（2022?南B充模擬）某特色餐館開通了某APP的外賣服務，在一周內的某特色菜

外賣份數x（單位：份）與收入〃單位：元）之間有如下的對應數據:

外賣份數）（份）24568

收入y（元）3040605070

（1）在給出的坐標系中畫出數據散點圖:

（2）請根據以上數據用最小二乘法求出收入y關于份數x的經驗回歸方程;

（3）據此估計外賣份數為12時，收入為多少元.

參考數據公式：ZW=14￡,E*,匕=1380,

/=i/=?

a=y—bx.

題型三殘差分析

例4（1）（多選）下列說法正確的是（）

A.在經驗回歸方程p=—0.85x+2.3中，當解釋變量x每增加1個單位時，響應變量產？均

減少2.3個單位

B.在經驗回歸方程尸一0.85x+2.3中，相對于樣本點(1,1.2)的殘差為一0.25

C.在殘差圖中，殘差分布的水平帶狀區域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好

D.若兩個變量的決定系數〃越大，表示殘差