第七章

命題與證明1.認識證明第1課時

認識證明

情境導入壹目錄課堂小結肆當堂達標叁新知初探貳情境導入如果有一天有人這樣告訴你：“你可以沿著一段一直向上的臺階(或樓梯)走，最終能回到出發點.”你會怎樣回答?彭羅斯階梯埃舍爾的著名版畫作品《升與下降》叁叁肆叁壹情境導入問題1：兩圖的中間圓大小一樣嗎？叁叁肆叁壹情境導入問題2：觀察下面圖片，是運動的還是靜止的？你的感悟是什么?僅僅通過觀察得到的結論不一定正確.叁叁肆叁壹新知初探貳新知初探探究一：數學的結論必須經過嚴格的論證貳ab(1)線段

a

與線段

b

哪個比較長？(2)圖中的四邊形是正方形嗎？問題3：新知初探貳aba=b探究方法：觀察驗證方法：實驗驗證觀察得出的結論不一定正確是正方形新知初探貳有時候視覺受周圍環境的影響，往往誤導我們得出錯誤的結論，所以僅靠經驗、觀察是不夠的，只有通過科學的實驗進行嚴格的推理，才能得出最準確的結論.歸納總結新知初探貳問題4

如圖，假如用一根比地球的赤道長1米的鐵絲將地球赤道圍起來，那么鐵絲與地球赤道之間的間隙能有多大？（把地球看成球形）能放進一個紅棗嗎？能放進一個拳頭嗎？解：設赤道周長為

cm，則鐵絲與地球赤道之間的間隙為它們的間隙不僅能放進一個紅棗，而且也能放進一個拳頭.

新知初探貳問題5

(2)如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，連接DE.DE與BC有怎樣的位置關系和數量關系？請你先猜一猜，再設法檢驗你的猜想.ADEBC位置關系：DE∥BC數量關系：驗證方法：測量推理測量得出的幾何結論不一定正確你能肯定你的結論對所有的△ABC都成立嗎？與同伴進行交流.新知初探貳費馬

對于所有自然數

n，的值都是質數當

n=0，1，2，3，4時，=3，5，17，257，65537都是質數.歐拉當

n=5時，=4294967297=641×6700417.舉反例是說明數學結論錯誤的有效方法.大數學家也有失誤新知初探貳

這個故事告訴我們：1.學習歐拉的求實精神與嚴謹的科學態度.2.沒有嚴格的推理，僅由若干特例歸納、猜測的結論可能潛藏著錯誤，未必正確.3.要證明一個結論是錯誤的，舉反例就是一種常用方法.歸納總結新知初探貳

判斷一個數學結論是否正確，僅靠觀察、猜想、實驗還不夠，必須經過一步一步、有根有據的推理.歸納總結總結：(1)直覺有時會產生錯誤，不一定可信；(2)圖形的性質并不都是通過測量得出的；(3)少數具體例子的觀察、測量或計算得出的結論，并不能保證一般情況下都成立．新知初探探究二：檢驗數學結論的常用方法貳【類型一】實驗驗證例1

先觀察再驗證．(1)圖①中的實線是直的還是彎曲的？(2)圖②中兩條線段

a與

b哪一條更長？(3)圖③中的直線

AB與直線

CD

平行嗎？新知初探貳解：通過觀察可能得出的結論是：(1)實線是彎曲的.(2)a更長一些.(3)AB與

DC不平行.而我們用科學的方法驗證后發現：(1)實線是直的.(2)a與

b一樣長.(3)AB平行于

CD.新知初探貳【類型二】推理證明例2

如圖，從點

O

出發作出四條射線

OA、OB、OC、OD，已知

OA⊥OC，OB⊥OD.(1)

若∠BOC＝30°，求∠AOB

和∠COD

的度數；(2)

若∠BOC＝54°，求∠AOB

和∠COD

的度數；(3)

由

(1)、(2)

你發現了什么？(4)

你能肯定上述發現嗎？分析：由于∠AOB、∠COD

均與∠BOC

互余，故可根據∠BOC

的度數求得∠AOB

與∠COD

的度數，進而歸納出兩角之間的關系.新知初探貳(1)

若∠BOC＝30°，求∠AOB

和∠COD

的度數；(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB

和∠COD

的度數；解：(1)因為

OA⊥OC，OB⊥OD，所以∠AOC＝∠BOD＝90°.所以∠BOC＝30°，所以∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－30°＝60°，

∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°.(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝36°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°.新知初探貳(3)

由

(1)、(2)

你發現了什么？(4)

你能肯定上述的發現嗎？解：(3)

發現∠AOB＝∠COD.(4)

因為∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，

∠COD＋∠BOC＝∠BOD＝90°，所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC.所以∠AOB＝∠COD.【方法總結】檢驗數學結論具體經歷的過程是：觀察、度量、實驗→猜想歸納→結論→推理→正確結論．新知初探貳

代數式

n2

-

n+11的值是質數嗎？取

n=0，1，2，3，……，10試一試，你能否由此得到結論：對于所有的自然數n，n2

-

n+11的值都是質數？n012345678910n2-n+11質數/合數11111317233141536783101質數質數質數質數質數質數質數質數質數質數質數當

n=11時，n2

-

n+11的值為121=112，所以，對于所有自然數

n，n2

-

n

+11的值未必都是質數.【類型三】舉出反例當堂達標叁當堂達標叁1.下列結論中你能肯定的是（）A.今天下雨，明天必然還下雨B.三個連續整數的積一定能被6整除C.小明在數學競賽中一定能獲獎D.兩張相片看起來佷像，則肯定照的是同一個人B叁叁肆叁叁當堂達標叁2.下列判斷正確的是（

）A．一個中學學校里不可能有同月同日生的同學B．若a＞b，則a2＞b2C．不論a為何值，總有a2＞0D．任何一個整數平方后的末位數字都不會是2或3D叁叁肆叁叁當堂達標叁3.在一次1500米跑步比賽后，甲說：“丙第一，我第三”乙說：“我第一，丁第四．”丙說：“丁第二，我第三．”若每人的兩句話中都只說對了一句，則可判斷第一名是(??)

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁B叁叁肆叁叁當堂達標叁4.在學習中，小明發現：當

n＝1，2，3時，n2－6n的值都是負數．于是小明猜想：當

n為任意正整數時，n2－6n的值都是負數．小明的猜想正確嗎？請簡要說明你的理由．解：不正確．理由：當

n＝6時，n2－6n＝0，所以當