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第13章三角形13.3.1三角形的內(nèi)角第2課時直角三角形的性質(zhì)與判定情境導(dǎo)入壹目錄課堂小結(jié)肆當(dāng)堂達(dá)標(biāo)叁新知初探貳情境導(dǎo)入壹情境導(dǎo)入在一個直角三角形里住著三個內(nèi)角,平時,它們?nèi)值芊浅F結(jié).可是有一天,老二突然不高興,發(fā)起脾氣來,它指著老大說:“你憑什么度數(shù)最大,我也要和你一樣大!”“不行啊!”老大說:“這是不可能的,否則,我們這個家就再也圍不起來了……”“為什么?”老二很納悶.你知道其中的道理嗎?內(nèi)角三兄弟之爭直角三角形作為特殊的三角形,它是否具有一般三角形的性質(zhì)呢?換言之,三角形的內(nèi)角和定理適用于直角三角形嗎?直角三角形的內(nèi)角之間還有什么獨特的性質(zhì)嗎?直角三角形的表示:直角三角形可以用符號“Rt△”表示,直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC.新知初探貳新知初探任務(wù)一探究直角三角形的性質(zhì)(1)下圖所示是我們常用的一副直角三角板,觀察這兩個直角三角形,它們兩銳角之和分別為多少?那對于任意直角三角形,這一結(jié)論是否還成立呢?兩銳角之和分別為90°活動1問題根據(jù)測量的結(jié)果,你能得到什么結(jié)論?(2)請同學(xué)們畫一個直角三角形ABC,其中∠C=90°,用量角器分別量出∠A,∠B的度數(shù),并且求出∠A+∠B的值.直角三角形的兩個銳角互余.(3)結(jié)合圖形你能寫出已知、求證和證明嗎?已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°.求證:∠A+∠B=90°.證明:在Rt△ABC中,∠C=90°,由三角形內(nèi)角和定理,得∠A+∠B+∠C=180°,即∠A+∠B+90°=180°,所以∠A+∠B=90°.這也就是說,直角三角形的兩個銳角互余.ABC直角三角形的兩個銳角互余.應(yīng)用格式:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°.總結(jié)歸納即時測評1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=56°,則∠A的度數(shù)為()
A.34°B.44°C.124°D.134°2.直角三角形中兩個銳角的差為20°,則這兩個銳角的度數(shù)分別為
.55°,35°A范例應(yīng)用
如圖所示,∠C=∠D=90°,AD,BC相交于點E,∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系?為什么?解:在Rt△ACE中,∠CAE=90°-∠AEC,在Rt△BDE中,∠DBE=90°-∠BED.因為∠AEC=∠BED,所以∠CAE=∠DBE.例1ABCDE任務(wù)二探究直角三角形的判定方法有兩個角互余的三角形是直角三角形.我們知道,如果一個三角形是直角三角形,那么這個三角形有兩個角互余.反過來,你能得出什么結(jié)論?這個結(jié)論成立嗎?如何驗證你的想法?思考活動1證明:有兩個角互余的三角形是直角三角形.已知:如圖,在△ABC中,∠A+∠B=90°.求證:△ABC是直角三角形.在△ABC中,因為∠A+∠B+∠C=180°,又∠A+∠B=90°,所以∠C=90°.于是△ABC是直角三角形.ABC幾何語言:在△ABC中,∵∠A+∠B=90°,∴△ABC是直角三角形.有兩個角互余的三角形是直角三角形.
總結(jié)歸納1.在△ABC中,若∠B+∠C=90°,則△ABC是()A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.以上都錯2.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,則△ABC是
三角形.即時測評B直角范例應(yīng)用例2
如圖所示,在ΔABC中,若∠ACD=∠B,CD⊥AB于D,ΔABC為直角三角形嗎?為什么?解:因為CD⊥AB,所以∠ADC=90°,所以∠A+∠ACD=90°,因為∠ACD=∠B,所以∠A+∠B=90°,所以ΔABC為直角三角形.判定一個三角形是直角三角形的方法:(1)根據(jù)定義:有一個角是直角的三角形是直角三角形;(2)根據(jù)判定方法:有兩個角互余的三角形是直角三角形.總結(jié)歸納當(dāng)堂達(dá)標(biāo)叁當(dāng)堂達(dá)標(biāo)2.把一根直尺與一塊三角尺如圖放置,若∠1=55°,則∠2的度數(shù)為()
A.125° B.135°C.145° D.155°C1.如果一個三角形的兩個內(nèi)角分別是36°和54°,那么這個三角形是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形B3.如圖,AB⊥BD,AC⊥CD,∠A=35°,則∠D=
.
4.如圖,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,則圖中除直角外相等的角有________________________________,互余的角有:__________________________________.∠A=∠BCD,∠B=∠ACD∠A與∠ACD,∠B與∠BCD,∠ACD與∠BCD,∠A與∠B35°
5.如圖所示,在△ABC中,AD是BC邊上的高,點E是AB邊上的一點,CE交AD于點M,且∠DCM=∠MAE.求證:△ACE是直角三角形.證明:因為AD是BC邊上的高,所以∠DMC+∠DCM=90°.因為∠DMC=∠AME,∠DCM=∠MAE,所以∠AME+∠MAE=90°.所以∠AEC=90°,所以△ACE是直角三角形.ABCDEM6.如圖所示,直角△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,∠B=∠BAD,求∠ADC的度數(shù).解:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,∵∠B=∠BAD,∴∠B=∠BAC,∵△ABC是直角三角形,∴∠B+∠BAC=90°,即∠BAC+∠BAC=90°,∴∠BAC=60°,∠DAC=30°,∵△ADC是直角三角形,∴∠
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