【經(jīng)典例題一棱柱及其有關(guān)計(jì)算】123-24高三上·山東威海·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，AA1=5，上，M,N分別為棱BB1，AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MC1+MN最小時(shí)，BM=()【答案】D【分析】根據(jù)題意，過點(diǎn)N作NN1//AA1，將平面BCC1B1繞著BB1，把平面BCC1B1旋轉(zhuǎn)到與平面BNN1B1重合，得到矩形DNN1B1，得到當(dāng)D1N丄AC時(shí)，MC1+MN取得最小值，結(jié)合△NBM1∽△NDD1，即可求解.【詳解】如圖所示，過點(diǎn)N作NN1//AA1，分別連接B1N1,BN，將平面BCC1B1繞著BB1，把平面BCC1B1旋轉(zhuǎn)到與平面BNN1B1重合，得到矩形DNN1B1，連接D1N，設(shè)D1N交BB1于點(diǎn)M1，當(dāng)D1N丄AC時(shí)，此時(shí)D1到AC的距離最短，即MC1+MN取得最小值，因?yàn)锳B=BC=2，且上，可得BN=1，即當(dāng)MC1+MN最小時(shí)故選：D.222-23高一下·遼寧大連·階段練習(xí)）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為6，P為BC的中點(diǎn)，Q為CC1的中點(diǎn)，過點(diǎn)A1,P,Q的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)正方體的幾何結(jié)構(gòu)特征，得到過點(diǎn)A1,P,Q的平面截正方體所得的截面為五邊形A1EPQF，結(jié)合正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)6，且P為BC的中點(diǎn)，Q為CC1的中點(diǎn)，進(jìn)而求得截面的周長(zhǎng).【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)PQ交B1C1于點(diǎn)M，延長(zhǎng)QP交B1B于點(diǎn)N，連接A1M交C1D1與點(diǎn)F，連接A1N交AB于點(diǎn)E，分別連接FQ,EP，則過點(diǎn)A1,P,Q的平面截正方體所得的截面為五邊形A1EPQF，因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)6，且P為BC的中點(diǎn)，Q為CC1的中點(diǎn)，可得所以在直角△A1D1F中，可得，在直角△BEP中，可得在直角△CPQ中，可得在直角△C1FQ中，可得所以截面的周長(zhǎng)為L(zhǎng)=AE+EP+PQ+QF+FA,=6V下+3、Z.故答案為：6+3·.322-23高二上·上海徐匯·階段練習(xí)）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，M、N分別是C1D1，AD的中點(diǎn)，P在CC1上且滿足CP=2PC1，過M、N、P三點(diǎn)作正方體的截面，并計(jì)算該截面的周長(zhǎng).【答案【分析】延長(zhǎng)MP交DC的延長(zhǎng)線于E，連接NE交BC于G，連接PG，延長(zhǎng)PM交DD1的延長(zhǎng)線于F，連接NF交A1D1FH，連接MH，則五邊形MHNGP為過M、N、P三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面，通過相似三角形及勾股定理計(jì)算依次求得各邊長(zhǎng)即可求得結(jié)果.【詳解】延長(zhǎng)MP交DC的延長(zhǎng)線于E，連接NE交BC于G，連接PG，延長(zhǎng)PM交DD1的延長(zhǎng)線于F，連接NF交A1D1FH，連接MH，則五邊形MHNGP為過M、N、P三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面.則D1H=截面五邊形的周長(zhǎng)為【經(jīng)典例題二棱錐的展開圖】42024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐P-ABC，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且PC丄平面ABC,PC=2,M為PB的中點(diǎn)，N為平面PAC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則MN+NB的最小值為()【答案】A【分析】根據(jù)題意，由條件可得MN+NB=MN+ND≥MD，然后結(jié)合余弦定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】QPC丄平面ABC,PCì平面PAC,:平面PAC丄平面ABC.如圖，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于平面PAC對(duì)稱的點(diǎn)為D，連接DC，AD，則四邊形ABCD為平行四邊形且上DCB=120°.連接ND,MD,:MN+NB=MN+ND≥MD（當(dāng)且僅當(dāng)M,N,D三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）.取BC的中點(diǎn)H，連接MH,DH，則MH∥PC,MH=PC=1,:MH丄平面ABC.QDHì平面ABC,:MH丄DH.的最小值為22.故選：A.52024高三·全國(guó)·專題練習(xí)1）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)P在線段A1B上運(yùn)動(dòng)，則AP＋D1P的最小值為．（2）在棱長(zhǎng)均為1的正四面體ABCD中，M為AC的中點(diǎn)，P為DM上的動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為【答案】【詳解】(1)由題意，在正方體ABCDA1B1C1D1中，將△ABA1繞A1B旋轉(zhuǎn)90°,使得平面ABA1和平面A1BCD1展成平面圖形，線段AD1的長(zhǎng)即為AP＋D1P的最小值，在△AA1D中，利用余弦定理求得AD1＝.即AP＋D1P的最小值為.(2)如圖，記∠BDM=θ.在△BDM中，BD＝1，可得.將△BDM繞DM旋轉(zhuǎn)，使得△BDM在平面ACD內(nèi)，此時(shí)B在B′處．連接AB′，B′P，則所求最小值即為AB′的長(zhǎng)．∵∠ADB′=θ+30°,:AB′2＝AD2＋DB′2－2AD·DB′·cos∠ADB′＝12＋12－2cos(θ+30°)＝2－2(cosθcos30°-sinθsin30°)＝1＋.:PA＋PB的最小值為.【考查意圖】空間中的最短距離問題．6622-23高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在正方形ABCD中，E,F分別為AB,BC的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿DE,DF及EF把ΔADE,ΔCDF和ΔBEF折起，使A,B,C三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P．（1）依據(jù)題意制作這個(gè)幾何體．（2）這個(gè)幾何體有幾個(gè)面，每個(gè)面的三角形為什么形狀的三角形？（3）若正方形的邊長(zhǎng)為2a，則每個(gè)面的三角形的面積為多少？（2）四個(gè)面，ΔDEF為等腰三角形，ΔDFP，ΔEFP，ΔDEP為直角三角形3）SΔDPE=a2，SΔEFP=a2，【分析】（【分析】（1）根據(jù)條件畫出對(duì)應(yīng)的幾何體2）根據(jù)長(zhǎng)度以及原來的位置關(guān)系直接判斷三角形形狀3）根據(jù)長(zhǎng)度直接求解三角形面積..（2）這個(gè)幾何體有四個(gè)面，即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP.由平面幾何知識(shí)可知DE=DF，所以ΔDEF為等腰三角形，ΔDFP，ΔEFP，ΔDEP為直角三角形.所以【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的構(gòu)成、認(rèn)識(shí)、簡(jiǎn)單計(jì)算，難度一般.將平面圖形翻折后形成立體圖形時(shí)，有一些位置關(guān)系是不變的，這是需要著重注意的地方.【經(jīng)典例題三圓柱的展開圖及最短距離問題】722-23高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為2cm，AB，CD分別是兩底面的直徑，AD，BC是母線.若一只小蟲從點(diǎn)A出發(fā)，沿側(cè)面爬行到點(diǎn)C處，則小蟲爬行的最短距離是()【答案】【答案】A【分析】小蟲爬行的最短路線，利用在圓柱側(cè)面展開圖中，線段AC1的長(zhǎng)度即為所求.【詳解】如圖，在圓柱側(cè)面展開圖中，線段AC1的長(zhǎng)度即為所求，在中故小蟲爬行的最短距離是22cm.故選：A.821–22高二上·湖北·期中）某圓柱的側(cè)面展開圖是面積為4π2的正方形，則該圓柱一個(gè)底面的面積【答案】【答案】π【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面積公式，結(jié)合側(cè)面展開圖的性質(zhì)，求得圓柱底面圓的周長(zhǎng)，求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A柱的側(cè)面展開圖是面積為4π2的正方形，所以該正方形的邊長(zhǎng)為2π,又圓柱的底面圓的周長(zhǎng)為其展開圖正方形的邊長(zhǎng)，所以圓柱的底面圓半徑為1，922–23高一·全國(guó)·課后作業(yè)）用一張兩邊長(zhǎng)分別為4cm和8cm的矩形硬紙卷成圓柱側(cè)面，求圓柱軸截面的面積.（接頭忽略不計(jì)）【解析】根據(jù)圓柱與側(cè)面展開圖的關(guān)系，對(duì)圓柱的母【解析】根據(jù)圓柱與側(cè)面展開圖的關(guān)系，對(duì)圓柱的母線分類討論，即可求解.【詳解】分兩種情況：（1）以矩形8cm長(zhǎng)的邊為母線，把矩形硬紙卷成圓柱側(cè)面，如圖①,軸截面為矩形A1ABB1，根據(jù)題意可知底面圓的周長(zhǎng)為2π.OA=4cm，根據(jù)矩形的面積公式，得S軸截面（2）以矩形4cm長(zhǎng)的邊為母線，把矩形硬紙卷成圓柱側(cè)面，如圖②,軸截面為矩形A1ABB1，根據(jù)題意可知底面圓的周長(zhǎng)為2π.OA=8cm，根據(jù)矩形的面積公式，得S軸截面綜上所述，軸截面的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的結(jié)構(gòu)特征，考查計(jì)算能力，屬于中檔題【經(jīng)典例題四圓錐中截面的有關(guān)計(jì)算】1023–24高二上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）若圓錐的軸截面是一個(gè)頂角為，腰長(zhǎng)為3的等腰三角形，則過此圓錐頂點(diǎn)的所有截面中，截面面積的最大值為()【答案】【答案】C2π【分析】根據(jù)圓錐的軸截面是頂角為知過此圓錐頂點(diǎn)的所有截面中截面面積最大值為.3【詳解】由題意得，圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，圓錐的母線長(zhǎng)為l=3，設(shè)過圓錐頂點(diǎn)的截面三角形頂角為a，則，故選：C．11（24–25高二上·上海·期中）已知圓錐底面半徑為、，高為1，則過圓錐的母線的截面面積的最大值【答案】【答案】2【分析】依題意求得圓錐的母線長(zhǎng)，確定軸截面的頂角，從而求出截面面積的取值的最大值，由此得解．【詳解】依題意，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，Q圓錐的底面半徑為3，高為1，設(shè)圓錐的軸截面的兩母線夾角為則過該圓錐的母線作截面，截面上的兩母線夾角設(shè)為，故截面的面積為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故截面的面積的最大值為2．故答案為：2.1223-24高一下·陜西寶雞·階段練習(xí)）用一個(gè)過圓錐的軸的平面去截圓錐，所得的截面三角形稱為圓錐的軸截面，也稱為圓錐的子午三角形.如圖，圓錐SO底面圓的半徑是4，軸截面SAB的面積是4.(1)求圓錐SO的母線長(zhǎng)；(2)過圓錐SO的兩條母線SB，SC作一個(gè)截面，求截面SBC面積的最大值.【分析】（1）借助軸截面面積可得其高，即可得其母線長(zhǎng)；（2）借助面積公式可得夾角為時(shí)，截面SBC面積取最大值.【詳解】（1）軸截面SAB的面積為所以SO=1，所以圓錐SO的母線長(zhǎng)（2）在軸截面SAB中,SO=1,SA=7,△SBC的面積上上CSB，當(dāng)上時(shí)，截面SBC面積有最大值，最大值為號(hào).【經(jīng)典例題五圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征辨析】1322–23高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）圓臺(tái)的兩底面面積分別為1和49，平行于底面的截面面積的2倍等于兩底面面積之和，則圓臺(tái)的高被截面分成的兩線段的比為()【答案】C【分析】畫出圓臺(tái)的軸截面圖，根據(jù)圖像結(jié)合三角形相似的比例關(guān)系計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：上下底面圓心分別為O1，O2，截面圓心為O，圓臺(tái)母線延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A，故選：C141422–23高二下·浙江杭州·期中）已知圓臺(tái)上底面半徑為，下底面半徑為，母線長(zhǎng)為2，AB為圓臺(tái)母線，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)繞圓臺(tái)側(cè)面一圈到點(diǎn)B，則螞蟻經(jīng)過的最短路徑長(zhǎng)度為.【答案】25【分析】根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)間的最短距離，由此即可求解．【詳解】Q圓臺(tái)上底面半徑為1,下底面半徑為3由相似三角形的知識(shí)得，B點(diǎn)為圓錐母線的中點(diǎn)，,母線長(zhǎng)為23將圓臺(tái)所在的圓錐展開如圖所示：則線段AB就是螞蟻經(jīng)過的最短距離，因?yàn)閳A錐的底面邊緣的周長(zhǎng)=扇形的弧長(zhǎng)，所以扇形的弧長(zhǎng)扇形的半徑等于圓錐母線長(zhǎng)=4，:扇形圓心角為所以AB=23，即螞蟻經(jīng)過的最短路徑長(zhǎng)度為23．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了曲面上兩點(diǎn)的最短距離問題，將曲面問題轉(zhuǎn)化為平面距離問題是解決問題的關(guān)鍵、本題屬于基礎(chǔ)題.1522-23高一·全國(guó)·課后作業(yè)）一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為12cm，兩底面面積分別為4pcm2和25pcm2．（1）求圓臺(tái)的高；（2）求截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)．【分析】（1）作出圓臺(tái)的軸截面圖示，利用勾股定理計(jì)算相關(guān)長(zhǎng)度2）將軸截面的梯形補(bǔ)形成三角形，利用相似的知識(shí)去計(jì)算出母線長(zhǎng).于點(diǎn)M，連接O1O.由已知可得上底半徑O1A=2cm，下底半徑OB=5cm，且腰長(zhǎng)AB=12cm，即:即截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為20cm.【點(diǎn)睛】本題考查圓臺(tái)的相關(guān)量的簡(jiǎn)單計(jì)算，難度一般【點(diǎn)睛】本題考查圓臺(tái)的相關(guān)量的簡(jiǎn)單計(jì)算，難度一般.處理圓臺(tái)有關(guān)問題時(shí)一定要將圓臺(tái)和圓錐聯(lián)系在一起，有時(shí)利用圓錐能很方便解決圓臺(tái)問題.【經(jīng)典例題六球的截面的性質(zhì)及計(jì)算】的內(nèi)切球，所得截面的面積為()【答案】【答案】BC的中點(diǎn)，可得,則過A、C、D1三點(diǎn)的截面為球內(nèi)過這三點(diǎn)的截面圓，求出截面圓的半徑可得結(jié)果.C的中點(diǎn).截面圓的半徑為其面積為故選：B.172024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，八面體Ω的每一個(gè)面都是邊長(zhǎng)為4的正三角形，且頂點(diǎn)B,C,D,E在同一個(gè)平面內(nèi)．若點(diǎn)M在四邊形BCDE內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，當(dāng)MA丄ME時(shí)，點(diǎn)M到BC的最小值為.【分析】根據(jù)MA丄ME可知M點(diǎn)軌跡是以AE為直徑的球與四邊形BCDE（包括邊界）的交線，求出在四邊形BCDE內(nèi)的圓的半徑即可得出結(jié)果.【詳解】以AE為直徑作球N，球N半徑R=2，A,E與球上任意一點(diǎn)(除去點(diǎn)A,E)均能構(gòu)成直角，故M點(diǎn)軌跡為球N與四邊形BCDE（包括邊界）的交線.易知A在平面BCDE上的投影O為菱形BCDE的外心，且Rt△AOB,Rt△AOC,Rt△AOD,Rt△AOE都全等,故四邊形BCDE為正方形，四棱錐A-BCDE為正四棱錐，A在平面BCDE上的投影為正方形BCDE的中心記球心N在平面BCDE上的投影為故平面BCDE截球N的小圓半徑即點(diǎn)M的軌跡以O(shè)E中點(diǎn)K為圓心，半徑為2的圓在四邊BCDE內(nèi)（包含邊界）的一段弧，易知K到BC的距離為3，弧上的點(diǎn)到BC的距離最小值為.故答案為：1821-22高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知△ABC各頂點(diǎn)均在球O的球面上，若球半徑為10，分別求球心到平面ABC的距離．（以上結(jié)果均保留2位小數(shù)）【答案】(1)9.85(2)9.11【分析】結(jié)合圖形，利用正弦定理求得r，再利用d2=R2-r2即可求得所求.【詳解】（1）記△ABC所在小圓的半徑為r1，球心到平面ABC的距離為d1，則有d=R2-r12，因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為3的正三角形，利用正弦定理得r1=3，（2）記△ABC所在小圓的半徑為r2，球心到平面ABC的距離為d2，則有d=R2-r22，所以由余弦定理得所以【經(jīng)典例題七斜二測(cè)畫法中有關(guān)量的計(jì)算】1924-25高二上·江西景德鎮(zhèn)·階段練習(xí)）用斜二測(cè)畫法畫水平放置的△ABC的直觀圖，得到如圖所示的等【答案】【答案】C【分析】在直觀圖中A￠C￠//y￠軸，可知原圖形中AC//y軸，故求直觀圖中A￠C￠的長(zhǎng)即可求解.根據(jù)直觀圖中平行于y軸的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话耄訴ABC的邊BC上的高故選：C.2024-25高二上·上海·期中）已知VABC用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖是邊長(zhǎng)為1的正三角形△A￠B￠C￠（如【答案】6【分析】由斜二測(cè)畫法的特點(diǎn)可知平行于x軸的邊長(zhǎng)不變，在直觀圖中由正弦定理求出O￠C￠,然后求出原圖中OC的長(zhǎng)度即可求解.【詳解】由于VABC用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖是邊長(zhǎng)為1的正三角形△A￠B￠C￠,則VABC中邊長(zhǎng)與△A￠B￠C￠的邊長(zhǎng)相等的邊為A￠B￠=AB，，所以故答案為：6.所以原圖VABC中AB邊上的高為2122-23高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知點(diǎn)A(-1,1)，B(1,3)，C(3,1).求該水平放置的四邊形ABCO用斜二測(cè)畫法作出的直觀圖的面積.【答案】【答案】【分析】首先根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，畫出四邊形的直觀圖，再結(jié)合面積公式，即可計(jì)算.AC2【經(jīng)典例題八棱錐表面積的有關(guān)計(jì)算】2224-25高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)中，有四個(gè)頂點(diǎn)A，B1，C，D1恰好是正四面體的頂點(diǎn)，則此正四面體的表面積與正方體的表面積之比為()【答案】【答案】D【分析】設(shè)出正方體的棱長(zhǎng)，求出正方體的表面積，再求正四面體的表面積，求比值即可．【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則正方體的表面積是6a2，因此正四面體的表面積與正方體的表面積之比為1:3．故選：D．2a，它的表面積是2323-24高二下·江蘇連云港·期末）用油漆涂一個(gè)正四棱錐形鐵皮做的冷水塔塔頂（鐵皮的正反面都要涂漆其高是1m，底面的邊長(zhǎng)是1.5m，已知每平方米需用油漆150g，共需用油漆kg.（精確到【分析】求出正四棱錐的側(cè)面積S正四棱錐側(cè)=3.75(m2)，因?yàn)殍F皮的正反面都要涂漆，所以共需用油漆【詳解】如圖，正四棱錐S-ABCD表示冷水塔塔頂，O表示底面中心，SO是高，SE是斜高，則SO=1m，底面的邊長(zhǎng)是1.5m，在Rt△SOE中，由勾股定理得所以S正四棱錐側(cè)因?yàn)殍F皮的正反面都要涂漆，所以共需用油漆3.75×2×由精確到0.1kg，實(shí)際問題向上取整，可得共需用油漆1.2kg.故答案為：1.2.2421-22高一下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐P-ABC中，PC丄平面ABC,AC丄CB，已知AC=2PB=2，則當(dāng)PA+AB最大時(shí)，求三棱錐P-ABC錐的各個(gè)面面積，相加可得答案錐的各個(gè)面面積，相加可得答案.【詳解】設(shè)BC【詳解】設(shè)BC=x，則PC=立，立，的表面積為：三棱錐P-ABC的表面積為：22+2+2S△PBC△PACSS26+++=..【經(jīng)典例題九臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算】2524-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）如圖1的方斗杯古時(shí)候常作為盛酒的一種容器，有如圖2的方斗杯，其形狀是一個(gè)上大下小的正四棱臺(tái)，AB=6，A1B1=2，現(xiàn)往該方斗杯里加某種酒，當(dāng)酒的高度是方斗杯高度的一半時(shí)，用酒28ml，則該方斗杯可盛該種酒的總?cè)莘e為()A．74mlB．76mlC．104ml【答案】C【分析】設(shè)線段AA1、BB1、CC1、DD1的中點(diǎn)分別為A、B2、C、D2，利用臺(tái)體的體積公式計(jì)算出棱臺(tái)2B2C2D2的體積之比，即可得該方斗杯可盛該種酒的總?cè)莘e.【詳解】設(shè)線段AA1、BB1、CC1、DD1的中點(diǎn)分別為A、B2、C易知四邊形AA1B1B為等腰梯形，因?yàn)榫€段AA1、BB1的中點(diǎn)分別為A、B2，2B2C2D2的高為h，體積為V1，則棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的高為2h，設(shè)其體積為V，,所以，該方斗杯可盛該種酒的總?cè)莘e為故選：C.2624-25高二上·四川內(nèi)江·期末）已知四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的上下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，且每條側(cè)棱長(zhǎng)均相等，若BB1丄DD1，則該四棱臺(tái)的體積為.【分析】根據(jù)題意得該四棱臺(tái)為正四棱臺(tái)，且該四棱臺(tái)補(bǔ)全后的正四棱錐的高等于底面正方形對(duì)角線的一半，從而利用棱臺(tái)的體積公式，即可求解．【詳解】根據(jù)題意可得該四棱臺(tái)為正四棱臺(tái)，又BB1丄DD1，可知該四棱臺(tái)補(bǔ)全后的正四棱錐的高等于底面正方形對(duì)角線的一半，即為可知該四棱臺(tái)補(bǔ)全后的正四棱錐的高等于底面正方形對(duì)角線的一半，即為又上下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，正四棱臺(tái)的高為，該四棱臺(tái)的體積為故答案為：【分析】（1）過點(diǎn)B1構(gòu)造與BC1有關(guān)的平行四邊形，并計(jì)算出邊長(zhǎng)，由AB1丄BC1轉(zhuǎn)化后解出AB1長(zhǎng)度，再在等腰梯形ABB1A1內(nèi)作垂線，利用勾股定理解出線段長(zhǎng).（2）過點(diǎn)B1作面的垂線，并解出垂線段長(zhǎng)，利用臺(tái)體體積公式求得結(jié)果.【詳解】（1）延長(zhǎng)CB到點(diǎn)D，使BD=1，連接B1D，AD，由余弦定理，得:AB1，過點(diǎn)B1作B1H丄AB交AB于點(diǎn)H，故（2）作B1Q丄平面ABC交平面ABC于點(diǎn)Q，連接QH，BQ，∵ABì平面ABC，故BQ丄AB，又HQì平面B1HQ，故BH丄HQ，得.【經(jīng)典例題十圓柱表面積的有關(guān)計(jì)算】2824-25高三上·河南·期末）“牟合方蓋”是指由兩個(gè)相同的圓柱成直角相交而得到的公共部分對(duì)應(yīng)的幾何體，如圖(1)，若圓柱的底面半徑為r，則組成的牟合方蓋的表面積為16r2.現(xiàn)有底面半徑為1，高為3的兩個(gè)圓柱成直角相交形成一個(gè)“十字”幾何體，如圖(2)，則該幾何體的表面積為()【分析】運(yùn)用圓柱表面積公式，即可求解【分析】運(yùn)用圓柱表面積公式，即可求解.【詳解】解：由題可知該幾何體的表面積等于兩個(gè)圓柱表面積的和減去“牟合方蓋”的表面積，故選：故選：A.292024·江蘇南通·一模）已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的側(cè)面積為．【答案】【答案】【分析】根據(jù)圓柱與球體的位置關(guān)系及球的對(duì)稱性求圓柱底面半徑，再由圓柱側(cè)面積的求法求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，已知球?yàn)閳A柱的外接球，且球體半徑R=1，圓柱高為h=1，根據(jù)球的對(duì)稱性，圓柱底面半徑為則圓柱側(cè)面積s=2mh=.故答案為：3π3024-25高二上·上海·課堂例題）下面兩圖為同一個(gè)健身啞鈴，它是由兩個(gè)全等的大圓柱和中間一個(gè)連桿圓柱構(gòu)成，中間的連桿圓柱為實(shí)心，已知大圓柱的底面半徑為6cm，高為2cm，連桿圓柱的底面半徑為2cm，高為12cm．求該健身啞鈴的表面積．【答案】【答案】216π(cm2)．【分析】由題意知道健身啞鈴表面積為兩個(gè)大圓柱的表面積加上小圓柱的側(cè)面積減去小圓柱的上下底面積.【詳解】健身啞鈴表面積為兩個(gè)大圓柱的表面積加上小圓柱的側(cè)面積減去小圓柱的上下底面積.【經(jīng)典例題十一球的體積的有關(guān)計(jì)算】312025·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知裝滿水的無(wú)蓋圓柱容器的底面圓周的半徑為r，高為4r，圓柱的側(cè)面積為8π,在圓柱里面放入兩個(gè)半徑為r的鐵球，則圓柱中剩余水的體積為()【答案】【答案】B【分析】首先根據(jù)圓柱側(cè)面積的條件求出半徑，再依據(jù)半徑計(jì)算圓柱下剩余水的體積即可.【詳解】已知圓柱的側(cè)面積為8π,根據(jù)圓柱側(cè)面積公式為可得方程2πr×4r=8π.先求圓柱的體積公式為V=πr2h（這里h=4r所以圓柱體積V=πr2×4r=4πr3.那么圓柱下剩余水的體積故選：B.3224-25高三上·河北·期末）三棱錐P-ABC中，PA丄平面ABC，上ABC=90°,PA=AB=BC=6，一球球心在平面ABC內(nèi)，并且與三個(gè)側(cè)面都相切，則球的半徑為.【分析】先求出錐體體積，再結(jié)合等體積法求解內(nèi)切球的半徑即可【分析】先求出錐體體積，再結(jié)合等體積法求解內(nèi)切球的半徑即可.【詳解】設(shè)球半徑為r，PA丄平面ABC→顯然PA丄BC,又上ABC=90°,AB∩AP=A,AB,APì平面PAB,故BC丄平面PAB，BPì平面PAB,則上PBC=90°.故三棱錐側(cè)面積為18+362，故答案為3324-25高二上·廣西柳州·開學(xué)考試）如圖，圓臺(tái)的上底面直徑AD=4，下底面直徑BC=8，母線(1)求圓臺(tái)的表面積與體積；(2)若圓臺(tái)內(nèi)放入一個(gè)圓錐AO1和一個(gè)球O，其中O1在圓臺(tái)下底面內(nèi)，當(dāng)圓錐AO1的體積最大時(shí)，求球O體積的最大值.【答案】(1)表面積為44π,體積為【分析】（1）根據(jù)圓臺(tái)表面積以及體積公式計(jì)算可得結(jié)果；（2）利用圓錐與圓臺(tái)的位置關(guān)系求得圓錐體積最大值，再根據(jù)圓內(nèi)切條件可得球O的最大半徑為3，即可求得球O體積的最大值.【詳解】（1）由上、下底面直徑可得上底面面積為S=4π,下底面面積S2=16π,所以圓臺(tái)的表面積為S=4π+16π+24π=44π.取圓臺(tái)軸截面ABCD，易知ABCD為等腰梯形，高為即為圓臺(tái)的高；可得圓臺(tái)的體積為（2）如下圖所示：、5，當(dāng)其底面圓的半徑最大時(shí)，其體積最大；圓錐AO1底面圓的最大半徑為BO1=2，此時(shí)底面右側(cè)以EC為直徑刻畫最大圓，而AD=EC=AE=CD=4，則圓臺(tái)上底面與該圓可得一個(gè)傾斜的圓柱，且軸截面為菱形，當(dāng)球O與上述傾斜圓柱軸截面各邊都相切時(shí)，其體積最大，作DF丄AE于點(diǎn)F，易知DF=2、F,因此球O的直徑為DF=23時(shí)，體積最大，此時(shí)圓臺(tái)的高也能滿足條件，所以球O體積的最大值為【經(jīng)典例題十二平面的基本性質(zhì)的有關(guān)計(jì)算】342024·內(nèi)蒙古烏蘭察布·一模）四棱錐P-ABCD中，AB//CD，M為PC中點(diǎn)，平面ADM交【答案】C【分析】延長(zhǎng)CB，DA交于E，連接EM與PB交點(diǎn)為Q，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和已知條件可得出點(diǎn)Q為△PEC的重心，由此可得選項(xiàng).【詳解】延長(zhǎng)CB，DA交于E，連接EM與PB交點(diǎn)為Q，因?yàn)锳B//CD，所以又B為SC中點(diǎn)，又M為PC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)Q為△PEC的重心，所以故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查直線與平面的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于得出點(diǎn)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查直線與平面的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于得出點(diǎn)Q為△PEC的重心，由此得以解決問題.352023高二下·浙江·學(xué)業(yè)考試）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架ABCD，ABEF的邊長(zhǎng)都是2，且所在的平面互相垂直.可以滾動(dòng)的彈珠M，N分別從A，F(xiàn)出發(fā)沿對(duì)角線AC，F(xiàn)B勻速移動(dòng)，已知彈珠N的【答案】【答案】【分析】設(shè)出AM與NF長(zhǎng)度，根據(jù)已知的面面垂直得到MH丄NH，再利用余弦定理與勾股定理求得MN的長(zhǎng)度表達(dá)式，即可得到MN最小值.【詳解】過點(diǎn)M做MH垂直AB于H，連接NH，如圖所示，因?yàn)槊鍭BCD^面ABEF，面ABCD∩面ABEF=AB，MH在面ABCD內(nèi)，MH丄AB，則MH丄面ABEF，NHì面ABEF，所以MH丄NH.設(shè)AM=a，則因?yàn)锳BCD，ABEF為正方形，所以，所以由余弦定理可得lNHl2=BH2+BN2-2BH.BNcos45。所以故答案為：.3622-23高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若點(diǎn)P，Q，R分別在AB，BC，CC1上，且AP=5，PB=15，BQ=15，CR=10，那么平面PQR與正方體的交線組成的多邊形的面【答案】【答案】525.【分析】首先根據(jù)平面的性質(zhì)，作出截面，再求面積.【詳解】連接AC，因?yàn)锽P=BQ，所以PQ//AC．如圖，過點(diǎn)如圖，過點(diǎn)R作平行于PQ的直線交AA1于點(diǎn)U，連接PU，過點(diǎn)R作SR//UP交D1C1于點(diǎn)S，過點(diǎn)U作TU//RQ交A1D1于點(diǎn)T，連接ST，則六邊形PQRSTU為平面PQR與正方體的交線組成的多邊形．UR的中點(diǎn)是正方體的中心，所以六邊形PQRSTU上的點(diǎn)關(guān)于正方體的中心對(duì)稱．因此六邊形因此六邊形PQRSTU的面積是梯形PQRU面積的2倍．所以梯形PQRU的高故所求面積為【經(jīng)典例題十三證明線面平行】3724-25高二上·福建莆田·階段練習(xí)）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=2，E為棱CD的中點(diǎn)，則異面直線A1D與D1E之間的距離為()【答案】【答案】C【分析】通過線面平行的判定定理，證明D1E//平面A1DM，將異面直線A1D與D1E之間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)E與平面A1DM之間的距離，再利用等體積法求解即可.【詳解】取AB中點(diǎn)M，連接A1M,DM,EM,A1E，由AD//A1D1，AD=A1D1，AD//ME，AD=ME，則A1D1//ME,A1D1=ME，:四邊形A1D1EM為平行四邊形，則D1E//A1M，又D1E丈平面A1DM，A1Mì平面A1DM，則D1E//平面A1DM，故異面直線A1D與D1E之間的距離?D1E與平面A1DM之間的距離?點(diǎn)E與平面A1DM之間的距離，設(shè)點(diǎn)E與平面A1DM之間的距離為d，由題意可得,AD=AM=DM=、Z,則三棱錐E-A1DM的體積△,則三棱錐A1-DME的體積△,故選：C.382024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E,F分別為棱DD1，C1D1的中點(diǎn)，三棱錐B-AEF的體積為2【答案】23【分析】先證得D1C1//平面ABE，再利用等體積法求解.【詳解】解：在正方體中，因?yàn)椤驹斀狻拷猓涸谡襟w中，因?yàn)锳B//D1C1，ABì平面ABE，D1C1丈平面ABE，所以D1C1//平面ABE，2即三棱錐B-AEF的體積為故答案為：3392024高二上·河南安陽(yáng)·學(xué)業(yè)考試）如圖所示，已知圓錐SO，AB是圓O的直徑，△ASB是等腰直角三角形，C是圓周上不同于的A、B的一點(diǎn)，D為BC中點(diǎn)，且BC=2AC=4.(1)求證：OD//平面SAC；(2)求四棱錐S-ACDO的體積.【答案】(1)證明見解析【分析】（1）由線面平行的判定定理證明即可；（2）先由幾何關(guān)系得到四邊形ACDO是直角梯形，再求出其面積，然后由棱錐的體積公式求出體積即可；【詳解】（1）證明：因?yàn)锽D=DC,BO=OA，所以O(shè)D//AC.又因?yàn)锳Cì平面SAC,ODì/平面SAC，所以O(shè)D//平面SAC.（2）由題意知SO為四棱錐S-ACDO的高.因?yàn)锳B是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓錐底面圓O上，所以上ACB=90°.由(1)知所以四邊形ACDO是直角梯形.,在Rt△ACB中，BC=4AC=2，所以,在等腰直角三角形ASB中，因?yàn)锳B=25，所以SO=5.在直角梯形ACDO中的面積所以直角梯形ACDO的面積所以四棱錐所以四棱錐S-ACDO的體積.【經(jīng)典例題十四證明面面平行】4023-24高一下·河南洛陽(yáng)·期中）長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，BB1=1，M為A1B1的中點(diǎn)，P為下底面ABCD上一點(diǎn)，若直線PD1Ⅱ平面BMC1，則△D1DP的面積的最小值為()【答案】A【分析】取CD中點(diǎn)N，證明平面AD1N//平面BMC1，確定P在AN上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)DP丄AN時(shí)面積最小，計(jì)算得到答案.【詳解】取CD中點(diǎn)N，連接AN,AD1,D1N，因?yàn)锳B//D1C1,AB=D1C1，所以四邊形ABD1C1是平行四邊形，所以AD1//BC1，BC1ì平面BMC1，AD1丈平面BMC1，故AD1//平面BMC1，同理可證AN//平面BMC1，又AN∩AD1=A，AN,AD1ì平面AD1N，故平面AD1N//平面BMC1，平面AD1N∩平面ABCD=AN，結(jié)合P為下底面ABCD上一點(diǎn)，故P在AN上運(yùn)動(dòng)，且△D1DP為直角三角形，當(dāng)DP丄AN時(shí)，DP最小，最小值為，此時(shí)△D1DP的面積最小，求得.故選：A4124-25高二上·上海·期中）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=CC1=2，M，N分別為BC，CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在矩形BCC1B1內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包括邊界），若A1P//平面AMN，則A1P取最小值時(shí)，三棱錐P-MA1B的體積為.【分析】先利用面面平行的判定定理證得平面【分析】先利用面面平行的判定定理證得平面A1EF//平面AMN，從而得到點(diǎn)P的軌跡，進(jìn)而求得A1P取得最小值時(shí)點(diǎn)最小值時(shí)點(diǎn)P的位置，再利用三棱錐的體積公式即可得解.【詳解】在長(zhǎng)方體【詳解】在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，取BB1的中點(diǎn)E，B1C1的中點(diǎn)F，連接EF，A1E，A1F，而而M,N分別為BC,CC1的中點(diǎn)，則EF//BC1//MN，由由AA1//BB1//MN,AA1=BB1=MN，得四邊形AMNA1為平行四邊形，A1F//AM，又又EF丈平面AMN，MNì平面AMN，則EF//平面AMN，同理A1F//平面AMN，又又A1F∩EF=F,A1F,EFì平面A1EF，因此平面A1EF//平面AMN，又A1P//平面AMN，則則A1Pì平面A1EF，即點(diǎn)P在平面A1EF與平面BCC1B1的交線EF上，故答案為：故答案為：142浙江省七彩陽(yáng)光新高考研究聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，四邊形ABCD是正方形，四邊形AEPD是直角梯形且PD//EA，PD丄CD，PD丄AD，AD=PD=2EA=2，BP，BE，PC(1)證明：平面FGH//平面ADPE，并求直線CE與平面FGH所成角的正弦值；(2)設(shè)截面FGH與平面ABCD的交線為l，確定l的位置并說明理由.【答案】【答案】(1)證明見解析，(2)答案見解析【分析】（1）先用線面平行證明面面平行，然后利用線面垂直作出CE與平面ADPE所成的角,在直角三角形中求出該角正弦值，最后利用面面平面，得出該正弦值即為所求；（2）通過作圖得出截面FGH與平面ABCD的交線，然后利用平行確定共面，最后得證.【詳解】（1）證明：因?yàn)镕是BP中點(diǎn)，H是PC中點(diǎn)，所以FH//BC，又BC//AD，所以FH//AD又FH丈平面AEPD，ADì平面AEPD，所以FH//平面AEPD，同理FG//平面AEPD，又FH∩FG=F,FHì平面AEPD，F(xiàn)Gì平面FGH所以平面FGH//平面ADPE；因?yàn)镃D丄AD，CD丄PD，AD∩AD=D，ADì平面PDAE,PDì平面PDAE，所以CD丄平面PDAE，則上CED就是CE與平面ADPE所成的角，又平面FGH//平面ADPE，所以上CED就是直線CE與平面FGH所成角.因?yàn)樵谥苯翘菪蜛DPE中，AD=PD=2EA=2，所以在RtΔCDE中，CE=CD=所以sin上,即直線CE與平面FGH所成角的正弦值為.延長(zhǎng)延長(zhǎng)PE交DA于點(diǎn)Q連接BQ，延長(zhǎng)FG與BQ交于點(diǎn)R，因?yàn)橛蒄，G分別為中點(diǎn)，所以FG//PE，所以FR//PQ，所以R是BQ中點(diǎn)，取CD中點(diǎn)M，則RM就是所求的直線l.理由如下：由以上作圖過程可知，R是BQ中點(diǎn)，M是CD中點(diǎn)，所以RM//DQ,即RM//AD，又FH//AD所以RM//FH，所以R,M,F,H四點(diǎn)共面，所以R,M∈平面FGH，又R,M∈平面ABCD所以平面F