第十三章

三角形13.3三角形的內角與外角

13.3.1三角形的內角第1課時

三角形的內角和1、請回顧平角的定義及平行線的性質，并完成下面的填空:知識關聯

已知：如圖，點B、A、E在同一直線上，∠1=∠B.求證：∠C=∠2.證明：∵∠1=∠B(

)

∴AD∥BC(

)

∴∠C=∠2(

)已知同位角相等，兩直線平行兩直線平行，內錯角相等2、如圖，假如你正站在金字塔下，現有用于測量角的量角器，但為了保護文化遺產，在不允許人攀爬的情況下，你能想辦法測量塔尖處一個側面角的度數嗎？說一說你的做法.知識關聯分析：可以先測出側面三角形底邊上的兩個角，再求出塔尖處的側面角.解決方案：利用三角形的內角和問題1

在小學我們已經知道任意一個三角形三個內角的和等于180°，你還記得是怎么發現這個結論的嗎？請大家利用手中的三角形紙片進行探究．

探究與應用

【探究】三角形的內角和

探究與應用

【探究】三角形的內角和度量法600＋480＋720＝1800480720600

探究與應用

【探究】三角形的內角和折疊法

探究與應用

【探究】三角形的內角和ABC21剪拼法

探究與應用三角形的內角和定理的證明

在紙上任意畫一個三角形，將它的內角剪下拼合在一起，就得到一個平角.從這個操作過程中，你能發現證明的思路嗎？

【探究】三角形的內角和

探究與應用

【探究】三角形的內角和已知：△ABC.求證:∠A+∠B+∠C=180°.ABC24153

l證明：如圖,過點A作直線l,使l//BC.∵l//BC,∴∠2=∠4(兩直線平行，內錯角相等).

同理

∠3=∠5.∵∠1,∠4,∠5組成平角，∴∠1+∠4+∠5=180°(平角定義).∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代換).三角形內角和定理三角形三個內角的和等180°.驗證結論ABCBC

探究與應用

【探究】三角形的內角和證法2：

延長BC到D，過點C作CE∥BA，∴∠A=∠1.(兩直線平行，內錯角相等)∠B=∠2.(兩直線平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.ED12CBAABCAB

探究與應用

【探究】三角形的內角和CBAEDF關鍵是通過“平移”將分散的聚集在一起“轉化”為一個平角ABCDECAB12345l

探究與應用

【探究】三角形的內角和在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.思路總結為了證明三個角的和為180°,轉化為一個平角或同旁內角互補等，這種轉化思想是數學中的常用方法.作輔助線探究與應用

【理解應用】例1

如圖，在△ABC

中，∠BAC=40°，∠B=75°,AD是△ABC的角平分線.求

∠ADB的度數.CBDA解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分線，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°－∠B－∠BAD

=180°－75°－20°=85°.

【理解應用】探究與應用變式.在△ABC

中，∠A

的度數是∠B

的度數的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度數.解:設∠B為x°，則∠A為(3x)°，∠C為(x＋

15)°，從而有3x＋

x＋(x＋

15)＝

180°.解得

x＝

33°.所以

3x＝

99°

，x＋

15

＝

48°.答：∠A，∠B，∠C的度數分別為99°，

33°，48°.幾何問題借助方程來解.這是一個重要的數學思想.

探究與應用【理解應用】例2

下圖是A、B、C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向。從B島看A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A、B兩島的視角∠ACB呢？北北CABDE分析：A，B，C三島的連線構成ABC，所求的∠ACB是△ABC的一個內角.如果能求出∠CAB,∠ABC,就能求出∠ACB.

探究與應用【理解應用】

解：∠CAB=∠BAD－∠CAD=80°－50°=30°.

由

AD//BE，得

∠BAD

+∠ABE=180°.

所以∠ABE=180°－∠BAD=180°－80°=100°,∠ABC=∠ABE－∠EBC=100°－40°=60°.

在△ABC中，∠ACB=180°－∠ABC－∠CAB

=180°－60°－30°=90°.答：從B島看A、C兩島的視角∠ABC是60°,從C島看A、B兩島的視角∠ACB是90°.北北CABDE

你能想出一個更簡捷的方法來求∠C的度數嗎？探究與應用【理解應用】方法二：BDCE北A1250°解：過點C畫CF∥AD∴∠1＝∠DAC＝50°,

∵CF∥AD,又AD∥BE，∴CF∥BE，∴∠2＝∠CBE

＝40°∴∠ACB＝∠1＋∠2＝50°＋40°＝90°F探究與應用

【拓展提升】

如圖，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，寫出∠BPC與∠A

之間的數量關系．解：∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A

．BACP變式一如圖在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線BE、CD相交于點F，∠A=60°,則∠BFC的度數為 ()A.118°

B.119°

C.120°

D.121°探究與應用C

【拓展提升】

BACFDE變式二如圖在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC=115°,

則∠A的度數是 ()A.50° B.57.5° C.60° D.65°探究與應用A

【拓展提升】

BACF課堂小結與檢測

【小結】證法應用轉化為一個平角或同旁內角互補三角形的內角和等于180°輔助線求角度

【檢測】課堂小結與檢測1.下列各組角中,屬于同一個三角形的內角的是()A.95°、75°、10° B.60°、73°、67°C.34°、36°、50° D.25°、160°、15°A2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，則△ABC是_____三角形